1、导数法求最值导数法求最值公开课示范课公开课示范课主讲人：万源中学主讲人：万源中学 唐德隆唐德隆 2015.4.132015.4.13玲珑画板展示玲珑画板展示 玲珑学习玲珑学习QQ群群116929301 问题一：导数有那几个方面的应用？问题一：导数有那几个方面的应用？回顾旧知回顾旧知 (1)(1)求导函数求导函数f f(x)(x)；（求导）；（求导）(2)(2)求解方程求解方程f f(x)=0(x)=0；（找零点）；（找零点）(3)(3)检查检查f f(x)(x)在方程在方程f f(x)=0(x)=0的根的左右的根的左右 的符号，并根据符号确定极大值与极小的符号，并根据符号确定极大值与极小 值值
2、.（定极值）（定极值）口诀：口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。左负右正为极小，左正右负为极大。问题二：用导数法求解函数极值的问题二：用导数法求解函数极值的 步骤？步骤？注：导数等于零的点不一定是极值点注：导数等于零的点不一定是极值点问题三：求函数最值的一般方法有？问题三：求函数最值的一般方法有？情境导入情境导入一一.是利用函数性质是利用函数性质二二.是利用不等式是利用不等式三三.是利用导数是利用导数 导数的应用之三、导数的应用之三、求函数最值求函数最值.1)1)在某些问题中，往往关心的是函数在整在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问个定义域区间上，哪个值最大
3、或最小的问题，这就是我们通常所说的题，这就是我们通常所说的最值问题最值问题.2)2)在在闭区间闭区间a,ba,b上的函数上的函数y=f(x)y=f(x)的图象是一的图象是一条条连续不断连续不断的曲线的曲线,则它则它必有必有最大值和最小值最大值和最小值.x xy y0a ab bx x1 1x x2 2x x3 3x x4 4f(a)f(a)f(xf(x3 3)f(b)f(b)f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)gg导数的应用之三：导数的应用之三：求函数最值步骤求函数最值步骤？(2)(2)将将y=f(x)y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)f(a)、f(b)(f(b)(端点处端点处)比较
4、比较,其中最大的一个为最大值，最小的其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值一个最小值.求求f(x)f(x)在在闭区间闭区间a,ba,b上的最值的步骤上的最值的步骤(1)(1)求求f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内极值内极值(极大值或极小值极大值或极小值).4 3 141232 23上上的的最最大大值值和和最最小小值值，在在求求 xxxy例例1 1解：解：12662 xxxf)1)(2(6 xx 0 xf令令 ;233 f ;342 f ;71 f .1424 f .711424为为最最小小值值为为最最大大值值，比比较较得得 ff12 2,1xx 得abxyo探究新知探究新知
5、3,5.变式:如果将例1中条件换成呢?知识点一：知识点一：证明不等式证明不等式111011xxx则 f(x)=例2.求证:x1时,xln(1+x).ln(1).(1)xx x分 析:令 f(x)=ln(2)0.最小f(x)=f(1)=1应用举例应用举例111011()(1,).1,(1)1ln 20.()(1)01,ln(1)0.xxxfxxffxfxxx 则 求 导 得,f(x)=在上 是 增 函 数又当时即 当 x 1 时,x l n(x+1)成 立.例2.求证:x1时,xln(1+x).练习练习:(证明不等式证明不等式):当当0 xg(x)(f(x)0(或0)恒成立.再得用导数方法探讨F
6、(x)单调性及最值.思考：同步P19变式训练3知识点三：知识点三：数形结合数形结合例例4 4（福建卷文（福建卷文12）已知已知f(x)=x3-6x2+9x-abc，ab0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0,f(x)极小极小=f(3)=-abc0,0 abc 4 f(0)=-abc 0 f(a)=f(b)=f(c)=0(abc)拓展：创新型高考题欣赏例5：（2007年北京卷理科）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2 r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S.（1）求面积S以及经x 为自变量的函数式，并
7、写出其定义域；(2)求面积S的最大值.XYADBC0思考题：思考题：xy变式变式:如图如图,在二次函数在二次函数f(x)=4x-x2的图象与的图象与x轴所围成的图形中轴所围成的图形中有一个内接矩形有一个内接矩形ABCD,求这个矩形的最大面积求这个矩形的最大面积.（2007年北京卷理科）解答2222222222().1(0)4,(0)1(22)222().|0.CxxyCyyrrrxxrSxrrxxrrxxxr解:(1)依题意,以AB的中点O为原点,建立直角坐标系XOY 如图则点 的横坐标为点 的纵坐标 满足方程解得y=2定义域为0XYADBC（2007年北京卷理科）解答222222,(0)()
8、8()0,.20()0;()0;22()().23 3,().2223 3.()2xrf xrf xxrrxf xxrf xrff xrrrxSfrS (2)记f(x)=4(x+r)(r-x)则(x+r)(r-2x).令得因为当时,当时,是的最大值当时 也取得最大值,最大值为即梯形面积 的最大值为显然本题也可用均值不等式来求解1.要充分掌握导数应用的基本思想与基本方法要充分掌握导数应用的基本思想与基本方法.2.要认识导数应用的本质要认识导数应用的本质,强化应用意识强化应用意识.3.认真梳理知识认真梳理知识,夯实基础夯实基础,善于利用等价转化善于利用等价转化,数形结合等数学思想方法数形结合等数学
9、思想方法,发展延拓发展延拓,定能不断定能不断提高解题的灵活性和变通性提高解题的灵活性和变通性.小结小结练习练习1:已知函数已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在在x=-2/3与与x=1处都处都取得极值取得极值.(1)求求a、b的值的值;(2)若若x-1,2时时,不等式不等式f(x)c2恒成立恒成立,求求c的取的取值范围值范围.xy2:如图如图,在二次函数在二次函数f(x)=4x-x2的图象与的图象与x轴所轴所围成的图形中有一个围成的图形中有一个内接矩形内接矩形ABCD,求这求这个矩形的最大面积个矩形的最大面积.P P3232 B B 组组 1 1（3 3）（）（4 4）选选何何处处，运运费费最最省省？：为为费费之之比比公公路路上上每每公公里里货货运运的的运运运运费费与与已已知知铁铁路路每每公公里里货货运运的的D,5 3 :15.ADxkm答案时运费最省ABCDkm20km100工厂工厂铁路铁路公路公路x预习：实际问题中的最大值最小值问题预习：实际问题中的最大值最小值问题生活中的最值生活中的最值：
