1、第第4 4章章 几何公差及其检测几何公差及其检测 学习目的及要求：学习目的及要求：1、了解几何公差和几何要素的基本概念、理解典型的几何公差带的定义及特征 2、掌握几何公差的识读和标注、公差原则有关术语的定义、含义及应用 3、理解几何误差的评定及检测原则，基本掌握形位误差检测方法 重点：重点：各类要素、各类几何公差的定义难点：难点：几何公差的标注、公差原则概述概述形状误差及公差形状误差及公差几何公差的标注几何公差的标注4.14.14.24.24.34.3方向误差及公差方向误差及公差跳动误差及公差跳动误差及公差位置误差及公差位置误差及公差4.44.44.54.54.64.6公差原则公差原则几何误差
2、的检测几何误差的检测几何公差的选择几何公差的选择4.74.74.84.84.94.94.1 4.1 概概 述述 4.1.1 4.1.1 几何公差的作用几何公差的作用 如下图所示的光轴，尽管如下图所示的光轴，尽管光轴各段的截面尺光轴各段的截面尺寸都在寸都在28f728f7尺寸范围内尺寸范围内，但，但由于由于轴发生轴发生弯曲弯曲，孔轴配合时就孔轴配合时就不能满足配合要求不能满足配合要求，甚至无法装配。甚至无法装配。因此，为了保因此，为了保证零件的互换证零件的互换性，性，仅仅研究仅仅研究零件的尺寸公零件的尺寸公差是远远不够差是远远不够的！的！还必须对零件提出还必须对零件提出形状形状、方向方向和和位置
3、位置等方面等方面的精度要求。的精度要求。零件加工后零件加工后，其表面、中心线、中心面等的，其表面、中心线、中心面等的实际实际形状、方向和位置形状、方向和位置相对于相对于所要求所要求的的理想理想形状、形状、方向和位置方向和位置，不可避免地存在着误差，此误差是，不可避免地存在着误差，此误差是由于机床精度、加工方法等多种因素形成的，叫由于机床精度、加工方法等多种因素形成的，叫做做几何误差几何误差。下图下图(a)(a)是一阶梯轴是一阶梯轴图样图样，要求，要求d1 d1 表面为理想圆柱面表面为理想圆柱面，d1 d1 轴线应与轴线应与d2 d2 左端面相垂直左端面相垂直。图。图(b)(b)是是加工后加工后
4、的实际零的实际零件，件，d1d1表面表面圆柱度不好圆柱度不好，d1d1轴线与端面也不垂直轴线与端面也不垂直，前者为，前者为形状误差形状误差，后者为，后者为方向误差方向误差（两者均是几何误差）。（两者均是几何误差）。几何误差对机械产品工作性能的的影响不容忽视，是衡量几何误差对机械产品工作性能的的影响不容忽视，是衡量产品质量的重要指标。产品质量的重要指标。4.1.2 4.1.2 几何公差的研究对象几何公差的研究对象几何要素几何要素 各种零件尽管形状特征不同，但均可将其分各种零件尽管形状特征不同，但均可将其分解成若干基本几何体。解成若干基本几何体。基本几何体均由基本几何体均由点点、线线、面面构成，这
5、些点、构成，这些点、线、面称为线、面称为几何要素几何要素（简称（简称要素要素）。）。如下图所示的如下图所示的零件零件就可以看成由就可以看成由球球、端面端面、圆柱圆柱和和圆锥圆锥等等基本几何体基本几何体组成。组成。组成这个零件的几何要素有：组成这个零件的几何要素有：点点如如球心球心、锥顶锥顶；线线如如轴线轴线、圆锥素线圆锥素线、圆柱素线圆柱素线；面面如如球面球面、圆锥面圆锥面、端平面端平面、圆柱面圆柱面。零件的几何要素可分为以下几类：1接存在状态分（1）理想要素 具有几何学意义的要素称为理想要素。理想要素是没有任何误差的纯几何的点、线、面。在检测中，理想要素是评定实际要素形位误差的依据。(图样中
6、表示的要素均为理想要素)（2）实际要素 零件上实际存在的要素称为实际要素。即具有几何误差的要素。2 2按在几何公差中按在几何公差中所处地位所处地位分分（1 1）提取组成要素提取组成要素 给出了几何公差要求给出了几何公差要求的要素称为的要素称为提取组成提取组成要素要素。提取组成要素也就是。提取组成要素也就是需要研究和测量的需要研究和测量的要素要素。（2 2）基准要素基准要素 用来用来确定确定提取组成要素的提取组成要素的理想方向理想方向或（和）或（和）位置位置的要素称为基准要素。的要素称为基准要素。理想的理想的基准要素基准要素简简称为称为基准基准，在图样上用在图样上用基准符号基准符号表表示。示。3
7、 3按按功能关系功能关系分分（1 1）单一要素单一要素 仅对仅对要素要素本身本身提出几何公差要求的要素称为提出几何公差要求的要素称为单一要素。此要素单一要素。此要素与与零件上零件上其他其他要素要素无功能关系无功能关系。（2）关联要素关联要素 与零件上其它要素有功能关系的要素称为关联要素，如在图样上关联要素均给出方向公差（或位置公差和跳动公差）要求。4按几何特征几何特征分（1）组成要素组成要素(轮廓要素轮廓要素)构成零件外形且能直接为人们所感觉到的点、线、面称为组成要素。如图中的球面、圆锥面、端面、素线等都属于组成要素。(看得见、摸得着看得见、摸得着)（2）导出要素（中心要素）导出要素（中心要素
8、）由一个或几个组成要素得到的中心点、中心线和中心面。它是随着组成要素的存在而存在的。如图中的球心、轴线等均为导出要素。4.2 4.2 几何公差的标注几何公差的标注4.2.14.2.1 几何公差的几何特征、符号及附加几何公差的几何特征、符号及附加符号符号 按国家标准，几何公差的几何特征共有14种。几何特征及符号见表4-1。形状公差形状公差位置公差位置公差 项目项目符号符号直线度直线度平面度平面度 圆度圆度 圆柱度圆柱度 线轮廓度线轮廓度面轮廓度面轮廓度项目项目符号符号定向定向定位定位跳动跳动平行度平行度垂直度垂直度倾斜度倾斜度同轴度同轴度对称度对称度位置度位置度圆跳动圆跳动全跳动全跳动形位公差项
9、目及其符号 形状或位置（轮廓）形状或位置（轮廓）形状公差是对单一要素提出的要求，因此没有基准要求；方向公差、位置公差和跳动公差是对关联要素提出的要求，因此在绝大多数情况下都有基准要求。当几何特征为线轮廓度和面轮廓度时，若无基准要求时，则为形状公差；若有基准要求时，则为方向公差或位置公差。4.2 4.2 几何公差的标注几何公差的标注4.2.14.2.1 几何公差的几何特征、符号及附加几何公差的几何特征、符号及附加符号符号 附加符号见表4-2。4.2.2 4.2.2 几何公差标注几何公差标注 在技术图样中，几何公差采用符号符号标注。几何公差的标注包括：公差框格公差框格、提取组成要提取组成要素指引线
10、素指引线、公差特征符号公差特征符号、几何公差值几何公差值及有关有关符号符号、基准符号基准符号及相关要求符号相关要求符号等。1.公差框格公差框格 公差要求在矩形方框矩形方框中给出，该方框由两格两格或多格多格组成。几何公差框格应水平水平绘制。框格自左至右填写以下内容，见下图：第一格第一格，几何公差特征符号特征符号；第二格第二格，几何公差值公差值和有关符号有关符号，公差值用线值，如公差带是圆形圆形或圆柱形圆柱形，则在公差值前加“”，如是球形球形的则加“SS”；第三格及以后各格第三格及以后各格，表示基准的字母基准的字母（用一个基准字母表示单个基准或用几个字母表示基准体系或公共基准）和有关符号。公差框格
11、填写示例图（1）当某项公差应用于几个相同几个相同的要素时，应在公差框格的上方被测要素的尺寸之前注明要素的个数，并在两者这间加上符号“”，见下图；如果有解释性的说明，只能标在框格的下方。（2）如果需要限制被测要素在公差带内的形状，应在公差框格的下方注明，见下图(a)。（3）如果需要就某个要素给出几种几何特征的公差，且测量方向相同时，为方便起见，可将一个框格放在另一个框格的下面，用同一指引线指向被测要素，见下图(b)。如测量方向不完全相同，则应将测量方向不同的项目分开标注分开标注。NC（a）限制提取组成要素公差带内形状的标注（b）测量方向相同的同一要素多项要求的标注 2.提取要素及指引线提取要素及
12、指引线 用带箭头的指引线连接框格与提取要素，指引线原则上从框格一端的一端的中间中间位置引出，指引线的箭头应指向公差带的宽度或直径宽度或直径方向。具体标注方法是：（1）当公差涉及轮廓线或轮廓表面轮廓线或轮廓表面时，箭头指向该要素的轮廓线或其延轮廓线或其延长线上长线上（但必须与尺寸线明显错与尺寸线明显错开），见下图（a)和(b）；（2）当公差涉及表面时，箭头也可指向引出线的水平线，引出线引自被测面，见下图(c)。(a)(b)(c)提取组成要素为轮廓要素的标注图（3）当公差涉及要素的中心线、中心面或中心点时，箭头应位于相应尺寸线的延长线上，见下图。3.3.基准基准 对有方向、位置和跳动公差要求的零件
13、，在图样上必须标明基准。与提取组成要素相关的基准用一个大写的英文字母大写的英文字母表示。字母水平水平书写书写在基准方框内，与一个涂黑的或空白的三角形（涂黑的和空白的基准三角形含义相同）相连以表示基准，见下图。被测要素为中心要素的标注图 (a)(b)基准代号图带基准字母的基准三角形应按如下规定放置：（1）当基准要素是轮廓线或轮廓轮廓线或轮廓面时，基准三角形放置在要素的轮廓轮廓线或其延长线上线或其延长线上（但应与尺寸线明显错开应与尺寸线明显错开），见下图（a）；基准三角形也可放置在该轮廓面引出线的水平线上，见下图（b）。（2）当基准是尺寸要素确定的轴线、中心平面或中心点时，基准三角形应放置在该尺寸
14、线的延长线上，见下图；如果没有足够的位置标注基准要素尺寸的两个箭头，则其中一个箭头可用基准三角形代替，见下图（b）和（c）。(a)(b)基准要素为轮廓线或轮廓面的标注图 (a)(b)(c)基准要素为中心要素的标注图 如果只以要素的某一局部作基准，则应用粗点画线示出该部分并加注尺寸，见下图。以单个要素作基准时，用一个大字字母表示，见下图；以两个要素建立公共基准时，用中间加连字符的两个大写字母表示，写在一个框格内，见下图；以两个或三个基准建立基准体系（即采用多基准）时，表示基准的大写字母按基准优先顺序自左至右填写在各框格内，见下图。局部基准要素的标注图 单个要素作基准的标注 公共要素作基准的标注
15、基准体系的标注 4 4特殊表示方法特殊表示方法（1）全周符：当轮廓度特征适用于横截面的整周轮廓或由该轮廓所示的整周表面时，应采用“全周”符号表示，见下图。全周符号并不包括整个工件的所有表面，只包括由轮廓和公差标注所表示的各个表面，如下图中所涉及的要素，不涉及图中的前表面a和后表面b。(a)适用于线轮廓的标注 (b)适用于面轮廓的标注 全周符号标注图（2）螺纹、齿轮和花键的标注 以螺纹轴线为被测要素或基准要素时，默认为螺纹中径圆柱的轴线，否则应另有说明，例如用“MD”表示大径，用“LD”表示小径，见下图。以齿轮、花键轴线为被测要素或基准要素时，需说明所指的要素，如用“PD”表示节径，用“MD”表
16、示大径，用“LD”表示小径。适用于大径轴线的被测要素的标注 适用于小径轴线的基准要素的标注（3）限定性规定 1）需要对整个被测要素上任意限定范围标注同样几何特征的公差时，可在公差值的后面加注限定范围的线性尺寸值，并在两者之间用斜线隔开，见图（a）；如果标注的是两项或两项以上同样几何特征的公差，可直接在整个要素公差框格的下方放置另一个公差框格，见图（b）。2）如果给出的公差仅适用于要素的某一指定局部，应采用粗点画线示出该局部的范围，并加注尺寸，见下图。(a)(b)公差限制值的标注图(a)(b)提取组成要素局部限定的标注（4）理论正确尺寸 当给出一个或一组要素的位置、方向或轮廓度公差时，分别用来确
17、定其理论正确位置、方向或轮廓的尺寸称为理论正确尺寸（TED）。TED也用于确定基准体系中各基准之间的方向、位置关系。TED没有公差，并标注在一个方框中，见下图。理论正确尺寸标注示例图（5）延伸公差带 延伸公差带用规范的附加符号表示，见下图。延伸公差带的标注（6）具有相同几何特征和公差值的分离要素 1)一个公差框格可以用于具有相同几何特征和公差值的若干个分离要素。2)若干个分离要素（共面或共线）给出单一公差带时，可按下图在公差框格内公差值的后面加注公共公差带的符号CZ。要求相同的分离提取组成要素的标注 同一公差带控制几个提到组成要素的标注（7）最大实体要求、最小实体要求和可逆要求(a)(b)(c
18、)最大实体要求的标注图 (a)(b)(c)最小实体要求的标注图 (a)(b)可逆要求的标注图（8）自由状态下的要求非刚性零件自由状态下的公差要求应该用在相应公差值的后面加注规范的附加符号“”（Free State Condition）的方法表示，见下图。F(a)(b)自由状态条件的标注图 4.3 4.3 形状误差及公差形状误差及公差 4.3.1 4.3.1 形状误差及其评定形状误差及其评定1.1.形状误差形状误差 形状误差是指提取形状误差是指提取(实际实际)要素对其理想要素的变动量。要素对其理想要素的变动量。将提取将提取(实际实际)要素与其理想要素比较，如果提取要素与其理想要素比较，如果提取(
19、实际实际)要素与理想要素完全重合，则形状误差为零；如果提取要素与理想要素完全重合，则形状误差为零；如果提取(实际实际)要素对其理想要素有偏离，其偏离（变动）量即为要素对其理想要素有偏离，其偏离（变动）量即为形状误差。形状误差。但对同一提取但对同一提取(实际实际)要素，若理想要素处于不同的位要素，若理想要素处于不同的位置，就会得到大小不同的变动量，见下图。因此，在评定置，就会得到大小不同的变动量，见下图。因此，在评定形状误差时，理想要素相对于提取形状误差时，理想要素相对于提取(实际实际)要素的位置，应要素的位置，应遵循形状误差评定原则遵循形状误差评定原则最小条件。最小条件。2.形状误差评定准则形
20、状误差评定准则最小条件最小条件 最小条件是指提取(实际)要素相对于理想要素的最大变动量为最小。（1）对于组成要素：“最小条件”就是理想要素位于零件实体之外并与提取（实际）要素相接触，使提取（实际）要素的最大变动量为最小的条件，如下图(a)所示。理想要素A1B1，A2B2，A3B3 处于不同的位置，提取要素相对于理想要素的最大变动量分别是h1，h2，h3。图中，h1h2h3，其中h1值最小，则符合最小条件的理想要素为A1B1。（2）对于导出要素：“最小条件”就是理想要素穿过实际导出要素，并使实际导出要素对理想要素的最大变动量为最小的条件，如下图(b)所示，d1d2，且d1最小，则符合最小条件的理
21、想轴线为L1。最小条件轴心线的最小条件理想要素位置的确定理想要素位置的确定:对轮廓要素对轮廓要素被测实际要素被测实际要素f1f2f最小区域最小区域被测实际要素最小区域f最小区域被测实际要素 (a)(b)最小条件3.3.形状误差评定方法形状误差评定方法最小区域法最小区域法 评定形状误差时，形状误差数值可用最小包容区域的评定形状误差时，形状误差数值可用最小包容区域的宽度宽度或或直径直径表示。表示。所谓所谓最小包容区域最小包容区域是指包容提取（实际）要素时，具有最小宽度是指包容提取（实际）要素时，具有最小宽度f f或直径或直径ff的包容区域。的包容区域。按最小包容区域评定形状误差值的方法，称为按最小
22、包容区域评定形状误差值的方法，称为最小区域法最小区域法。显然按最小区。显然按最小区域法评定的形状误差值是域法评定的形状误差值是唯一唯一的、的、最小最小的，可以的，可以最大限度最大限度地保证合格件通过。地保证合格件通过。最小区域法是评定形状的一个基本方法，因这时的理想要素是符合最小条最小区域法是评定形状的一个基本方法，因这时的理想要素是符合最小条件的。在实际测量中，只要能满足零件功能要求，允许采用近似的评定方法。例件的。在实际测量中，只要能满足零件功能要求，允许采用近似的评定方法。例如，以两端点连线法评定直线度误差，用三点法评定平面度误差等。当采用不同如，以两端点连线法评定直线度误差，用三点法评
23、定平面度误差等。当采用不同的评定方法所获得的测量结果有争议时，应按最小区域法评定的结果作为仲裁的的评定方法所获得的测量结果有争议时，应按最小区域法评定的结果作为仲裁的依据。依据。1.1.直线度公差直线度公差限制提取（实际）直线对理想直线变动量的一项指标（1 1）在给定平面内：）在给定平面内：公差带为间距等于公差值公差带为间距等于公差值t t的两平行直线所限定的区域，如图（的两平行直线所限定的区域，如图（a a）。）。即在任一平行于图示投影面的平面内，上平面的提取即在任一平行于图示投影面的平面内，上平面的提取(实际实际)线应限定线应限定在间距等于在间距等于0.10.1的两平行直线之间的两平行直线
24、之间 ，如图（，如图（b b）。）。4.3.2 4.3.2 形状公差带定义、标注及解释形状公差带定义、标注及解释 形状公差是指单一实际要素的形状所允许的变动全量。形状公差带是限制单一实际要素变动的区域，合格零件的实际要素应位于此区域内。（a）（b）在给定平面内的直线度（2 2）在给定方向上：）在给定方向上：公差带为间距等于公差值公差带为间距等于公差值t t的两平行平面所限定的区域，如图（的两平行平面所限定的区域，如图（a a）。）。即提取即提取(实际实际)的棱边应限定在间距等于的棱边应限定在间距等于0.10.1的两平行平面之间，如图（的两平行平面之间，如图（b b）。）。（a）（b）（3 3）
25、任意方向上：）任意方向上：公差带为真径等于公差值公差带为真径等于公差值tt的圆柱面所限定的区域，如图（的圆柱面所限定的区域，如图（a a）。）。即外圆柱面的提取即外圆柱面的提取(实际实际)中心线应限定在直径等于中心线应限定在直径等于0.080.08的圆柱面内。的圆柱面内。如图（如图（b b）。）。（a）（b）给定一个方向时:给定两个方向在任意方向上的直线度:2 2.平面度公差平面度公差限制实际平面对其理想平面的变动量的一项指标限制实际平面对其理想平面的变动量的一项指标公差带为间距等于公差值公差带为间距等于公差值t t的两平行平面所限定的区域，如图（的两平行平面所限定的区域，如图（a a）。）。
26、即提取即提取(实际实际)表面应限定在间距等于表面应限定在间距等于0.080.08的两平行平面之间的两平行平面之间 ，如图（，如图（b b）。）。（a）（b）3.圆度公差圆度公差限制实际圆对其理想圆变动量的一项指标 公差带为在给定横截面内半径差等于公差值公差带为在给定横截面内半径差等于公差值t t的两同心圆所限定的区域的两同心圆所限定的区域(圆环带圆环带)，如图（，如图（a a）。）。即在圆柱面和圆锥面的任意截面内，提取即在圆柱面和圆锥面的任意截面内，提取(实际实际)圆周应限定在半径差圆周应限定在半径差等于等于0.030.03的两共面同心圆之间。如图（的两共面同心圆之间。如图（b b）。）。（a
27、）（b）4.4.圆柱度公差圆柱度公差限制实际圆柱面对其理想圆柱面变动量的一项指标限制实际圆柱面对其理想圆柱面变动量的一项指标公差带为半径差等于公差值公差带为半径差等于公差值t t的两同轴圆柱面所限定的区域，如图（的两同轴圆柱面所限定的区域，如图（a a）。）。即提取即提取(实际实际)圆柱面应限定在半径差等于圆柱面应限定在半径差等于0.10.1的两同轴圆柱面之间。如图（的两同轴圆柱面之间。如图（b b）。）。（a a）（b b）5.5.线轮廓度线轮廓度限制实际平面曲线对其理想曲线变动量的一项指标限制实际平面曲线对其理想曲线变动量的一项指标 （1 1）无基准）无基准 公差带为直径等于公差值公差带为
28、直径等于公差值t t，圆心位于具有理论正确几何形状上的，圆心位于具有理论正确几何形状上的一系列圆的两包络线所限定的区域。如图（一系列圆的两包络线所限定的区域。如图（a a）。）。即在任一平行于图示投影面的截面内，提取即在任一平行于图示投影面的截面内，提取(实际实际)轮廓线应限定轮廓线应限定在直径等于在直径等于0.040.04、圆心位于被测要素理论正确几何形状上的一系列圆、圆心位于被测要素理论正确几何形状上的一系列圆的两等距包络线之间。如图（的两等距包络线之间。如图（b b）。）。（a）（b）（2 2）相对于基准体系：）相对于基准体系：公差带为直径等于公差值公差带为直径等于公差值t t，圆心位于
29、由基准平面，圆心位于由基准平面A A和基准平面和基准平面B B确定的确定的被测要素理论正确几何形状上的一系列圆的两包络线所限定的区域。如图被测要素理论正确几何形状上的一系列圆的两包络线所限定的区域。如图（a a）。）。即在任一平行于图示投影面的截面内，提取即在任一平行于图示投影面的截面内，提取(实际实际)轮廓线应限定在直径轮廓线应限定在直径等于等于0.040.04、圆心位于由基准平面、圆心位于由基准平面A A和基准平面和基准平面B B确定的被测要素理论正确几何确定的被测要素理论正确几何形状上的一系列圆的两等距包络线之间。如图（形状上的一系列圆的两等距包络线之间。如图（b b）。）。（a）（b）
30、5.5.线轮廓度线轮廓度限制实际平面曲线对其理想曲线变动量的一项指标限制实际平面曲线对其理想曲线变动量的一项指标ajk=1 有向支路有向支路 k 背离背离 j 节点。节点。-1 有向支路有向支路 k指向指向 j 节点。节点。0 有向支路有向支路 k 与与 j 节点节点无关。无关。1.关联矩阵：关联矩阵：Aa=ajkn b节点数节点数 支路数支路数 643521Aa=1234 1 2 3 4 5 6 支支节节 1 0 0 -1 0 1-1 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 -1 -1 0 0 -1 1 1 0设为参考节点，划去设为参考节点，划去第第4行。行。-1 -1 1 0 0 0A=12
31、3 1 2 3 4 5 6 支支节节 1 0 0 -1 0 1 0 1 0 0 -1 -1称称A为降阶关联矩阵为降阶关联矩阵(n-1)b，表征独立节点与支路的关联表征独立节点与支路的关联性质。也性质。也称关联矩阵。称关联矩阵。各行不独立。各行不独立。一、关联矩阵、割集矩阵和回路矩阵的定义一、关联矩阵、割集矩阵和回路矩阵的定义2.割集矩阵割集矩阵1 支路支路k与割集与割集j方向一致。方向一致。-1 支路支路k与割集与割集j方向相反。方向相反。0 支路支路k 不在割集不在割集 j 中。中。qjk=12345678(a)Q1 Q2Q3 Q4Q=qjkn-1 b基本割集数基本割集数 支路数支路数 (1
32、,2,3)，(1,4,5)，(2,6,8)，(5,7,8)是该图的一组是该图的一组独立割集，独立割集，流出流出闭合面方向为割闭合面方向为割集方向。集方向。Q1Q2Q3Q414283576 -=11010000101000100001100100000111Q 支路支路 割集割集 (2)支路排列顺序为先树支后连支。支路排列顺序为先树支后连支。约定约定:(1)割集方向与树支方向相同。割集方向与树支方向相同。12345678(b)Q1 Q2Q4Q3基本割集矩阵基本割集矩阵Qf选选 2、4、5、8为树支，连支为为树支，连支为1、3、6、7。Q1Q2Q3Q428475163-=0111100011110
33、1001110001000110001fQ支路支路 割集割集 =1 Ql EtQl3.回路矩阵回路矩阵B=bjk l b基本回路数基本回路数 支路数支路数 1 支路支路k与回路与回路j关联，方向一致。关联，方向一致。-1 支路支路k 与回路与回路j关联，方向相反。关联，方向相反。0 支路支路k 不在回路不在回路 j中。中。bjk=(a)12345678l2l3 l4l1-=11100000001001100101100000001101B14283576l1l2l3l4支路支路 回路回路 12345678 (2)支路排列顺序为先连支后树支。支路排列顺序为先连支后树支。约定约定:(1)回路电流的
34、参考方向取连支电流方向。回路电流的参考方向取连支电流方向。基本回路矩阵基本回路矩阵Bf选选 2、4、5、8为树支，连支为为树支，连支为1、3、6、7。-=01101000111001001111001011010001fB17386254b1b3b6b7支路支路 回路回路 =1 Bt ElBt1.用矩阵用矩阵A描述的基尔霍夫定律的矩阵形式描述的基尔霍夫定律的矩阵形式(1)KCL的矩阵形式的矩阵形式以节点为参考节点以节点为参考节点Aib=1 1 1 0 0 0 0 0 0 -1 1 1 0 0 0 0 0 0 -1 -1 1n-1个独立个独立方程方程矩阵形式的矩阵形式的KCL:Aib=0二、用矩
35、阵二、用矩阵A、Q、B表示的基尔霍夫定律的矩阵形式表示的基尔霍夫定律的矩阵形式1234567(2)KVL的矩阵形式的矩阵形式矩阵形式矩阵形式 -=n3n2n1nT100100110010011001001uuuuA=-=n3n3n3n2n2n2n1n2n1uuuuuuuuu矩阵形式的矩阵形式的KCL：07655435421=-=iiiiiiiiii矩阵形式的矩阵形式的KCL：Qf ib=0(1)KCL的矩阵形式的矩阵形式取（取（2，3，6）为树，）为树，1234567Q2Q1 Q3-=7654321bf111000000111000011011iiiiiiiiQ2.用用矩阵矩阵Qf 描述的基尔
36、霍夫定律的矩阵形式描述的基尔霍夫定律的矩阵形式 电路中的（电路中的（n-1）个树支电压可用（）个树支电压可用（n-1）阶列向量）阶列向量表示，即表示，即T1)t(t2t1t.-=nuuuutTfbuQu=(2)KVL的的矩阵形式矩阵形式，bt3t3t3t2t1t2t1t2t1t1t3t2t17654321tTf100100111011010001001uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuQ=-=-=l个独立个独立KVL方程方程矩阵形式的矩阵形式的KVL：Bf ub=03.用矩阵用矩阵Bf表示的基尔霍夫定律的矩阵形式表示的基尔霍夫定律的矩阵形式1234567011000000110110
37、00011100000011766532432217654321bf=-=-=uuuuuuuuuuuuuuuuuuuB(1)KVL的的矩阵形式矩阵形式(2)KCL的的矩阵形式矩阵形式独立回路电流独立回路电流1234567b44332323211432176543211000110001000010011001110001iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiilllllllllllllll=-=-=li矩阵形式的矩阵形式的KCL：ib=Bf TilQ Qi=0 QTut=u 小结：小结：ul=-Btut A B Ai=0 BTil=i KCL KVL ATun=u Bu=0 13-1电路
38、的有向图如图所示，电路的有向图如图所示，(1)节点为参考写出节点为参考写出其关联矩阵其关联矩阵A，(2)以实线为树枝，虚线为连支，写以实线为树枝，虚线为连支，写出其单连支回路矩阵出其单连支回路矩阵Bf(3)写出单树支割集矩阵写出单树支割集矩阵Qf。123456789(1)以节点为参考节点，以节点为参考节点，其余其余4个节点为独立节点个节点为独立节点的关联矩阵的关联矩阵A为为(2)以实线以实线(1,2,3,4)为树枝，虚线为树枝，虚线(5,6,7,8,9)为连支，其为连支，其单连支回路矩阵单连支回路矩阵Bf为为123456789(3)以实线以实线(1,2,3,4)为树枝，虚线为树枝，虚线(5,6
39、,7,8,9)为连支，其为连支，其单树支割集矩阵单树支割集矩阵Qf为为1234567891.对于一个含有对于一个含有n个节点个节点b条支路的条支路的电路，关联矩阵电路，关联矩阵反映了什么关联反映了什么关联性质？性质？2.对于一个含有对于一个含有n个节点个节点b条支路的电路，回路矩条支路的电路，回路矩阵反映了什么关联性质？阵反映了什么关联性质？3.对于一个含对于一个含有有n个节点个节点b条条支路的电路，支路的电路，割集矩阵反映割集矩阵反映了什么关联性了什么关联性质质？4.对于一个含有对于一个含有n个节个节点点b条支路的电路，用条支路的电路，用矩阵矩阵A、Qf、Bf表示的表示的基尔霍夫定律的矩阵形
40、基尔霍夫定律的矩阵形式分别是什么？式分别是什么？13.3 回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式 kUSkUkIekI-Zk-kIS一、复合支路一、复合支路 第第k条支路条支路,kkUI 第第k条支路的阻抗，只能是单一的电阻、电感条支路的阻抗，只能是单一的电阻、电感 或电容，不允许是它们的组合。或电容，不允许是它们的组合。阻抗上电压、阻抗上电压、电流的参考方向与支路方向相同电流的参考方向与支路方向相同。kZSkU独立电压源，其独立电压源，其参考方向和支路方向相反参考方向和支路方向相反。SkI独立电流源，其独立电流源，其参考方向和支路方向相反参考方向和支路方向相反。,kkUI支路电压、支路
41、电流，取关联参考方向。支路电压、支路电流，取关联参考方向。1.电路中不含互感和受控源的情况电路中不含互感和受控源的情况(相量法相量法)SS()kkkkkUZ IIU=-111S1S1SSSS00000000000000000000kkkkkbbbbbZUIIUZUIIUZUIIU=-按定义写开按定义写开 kUSkUkIekI-Zk-kIS二、支路方程的矩阵形式二、支路方程的矩阵形式 2.电路中含有互感的情况电路中含有互感的情况 设第设第k条、条、j条支路有耦合关系，编号时把它们相邻的编在条支路有耦合关系，编号时把它们相邻的编在一起（设两个电流都为一起（设两个电流都为流入同名端流入同名端）：）：
42、eeSSSSeeSSSSj()j()jj()()kkkkjjkkkkkjjjkjjkkjjjjkkkjjjjUZ IM IUZIIMIIUUM IZ IUMIIZ IIU=-=-=-=-()()()-11e1S111S1S122e2S222S2S2eSSSbbbbbbbbUZ IUZIIUUZ IUZIIUUZ IUZIIU=-=-=-=-=-=-其余支路电压、电流的关系为：其余支路电压、电流的关系为：=111S1S1222S2S2SSS0000000000j000j00000kkjkkkkjjjjjbbbbZUIIUZUIIUZMUIIMZUIIZUII -SSSkjbUUUSS()UZ I
43、IU=-故回路电流方程不变，只是阻抗阵故回路电流方程不变，只是阻抗阵Z不再为对角阵，不再为对角阵，其非对角线元素的其非对角线元素的第第k行、第行、第j列列和和第第j行、第行、第k列列的两个元的两个元 素是两条支路的互阻抗。互阻抗前的素是两条支路的互阻抗。互阻抗前的“”，电流流入同电流流入同名名 端的对应取端的对应取“”，反之取，反之取“”。仍可统一写为仍可统一写为 3.电路中含有受控源的情况电路中含有受控源的情况 deS()kkjjkjjjUr IrII=SdS()kkkkkkUZIIUU=-=-而而 这时含有受控源的支路阻抗这时含有受控源的支路阻抗 Z 为非对角阵，非对角线为非对角阵，非对角
44、线上的元素是与受控电压源的控制系数有关的元素。因支路方上的元素是与受控电压源的控制系数有关的元素。因支路方程的右端加上受控电压源，故支路阻抗阵变为：程的右端加上受控电压源，故支路阻抗阵变为：kU ISkSkUkIekI-Zk+dkU=12kkjbZZZZrZk j 取回路电流（连支电流）为未知变量。取回路电流（连支电流）为未知变量。0 =-=SkSkkkkkUBIBZIBZUBSkkSklkIBZUBIBBZ-=T SkSkkkkUIIZU-=)(回路方程矩阵形式回路方程矩阵形式 支路电压与支路电流的关系支路电压与支路电流的关系 代入上面方程，整理后得代入上面方程，整理后得 SkU.Zk+-k
45、U.kI.SkI.ekI.+-lSllUIZ=回路矩阵方程回路矩阵方程（回路电压源相量）（回路电压源相量）Zl（回路阻抗阵）（回路阻抗阵）三、回路电流方程的矩阵形式三、回路电流方程的矩阵形式 13.2列出图示电路矩阵形式回路电流方程的频域表达式。列出图示电路矩阵形式回路电流方程的频域表达式。124356+-U2Z3Z6 IS6+-Z2Z5Z1+-U2US1TS6S00000II-=-=111000001101000011fB-=652321000000000000000000000000000000ZZZZZZZ 画出有向图，给支路编号，选树画出有向图，给支路编号，选树(1,4,6)。TS1S
46、00000UU-=6523121121Tff000ZZZZZZZZZZZBBZlTS66S1S1SSSIZUUIBZUBUl-=-=-=S66S1S15326523121121000IZUUIIIZZZZZZZZZZSlU计算计算Zl 和和 。矩阵形式回路电流方程的频域表达式为矩阵形式回路电流方程的频域表达式为13-3列出图示电路矩阵形式回路电流方程的复频域列出图示电路矩阵形式回路电流方程的复频域表达式。表达式。R1C2L3L5uS4uS5*M12435 画出有向图，给支路编号，选树画出有向图，给支路编号，选树(1,4)。TS5S4)()(000(s)sUsUU-=0)(=sI-=110000
47、110100011fB-=532100000000000000100000)(sLsMsMsLsCRsZ 计算计算Z(s)UlS(s)。-=5311121Tff001)()(sLsMsMsLRRRsCRBsZBsZlTS5S4S4fS)()()(0)()(sUsUsUsUBsUl-=-=-)()()(0)()()(001S5S4S45325311121sUsUsUsIsIsIsLsMsMsLRRRsCR矩阵形式回路电流方程的复频域表达式为矩阵形式回路电流方程的复频域表达式为小结小结列写回路电流方程矩阵形式的步骤如下：列写回路电流方程矩阵形式的步骤如下：(1)画有向图，给支路编号，选树。画有向图
48、，给支路编号，选树。(2)写出支路阻抗矩阵写出支路阻抗矩阵Z(s)和回路矩阵和回路矩阵Bf。按标准。按标准 复合支路的规定写出支路电压列向量复合支路的规定写出支路电压列向量)()()(sUsIsZlSll=(4)写出矩阵形式回路电流方程的复频域表达式写出矩阵形式回路电流方程的复频域表达式SlllUIZ=或或TlBZBZ=(3)求出回路阻抗矩阵求出回路阻抗矩阵。1.什么是复什么是复合支路？合支路？2.矩阵形式回路电矩阵形式回路电流方程的列写中，流方程的列写中，若电路中含有无伴若电路中含有无伴电流源，将会有何电流源，将会有何问题？问题？13.4 节节点电压方程的矩阵形式点电压方程的矩阵形式一一、复
49、合支路复合支路ekI 元件电流元件电流 支路电流支路电流 kI 受控电流受控电流 dkI 支路的复导纳（阻抗）支路的复导纳（阻抗）)(kkZY 支路电压支路电压 kUSkU 独立电压源独立电压源 SkI 独立电流源独立电流源 按复合支路的规定，电路中不允许有受控电压源，也不允许按复合支路的规定，电路中不允许有受控电压源，也不允许存在存在“纯电压源支路纯电压源支路”。复合支路规定了一条支路可以最多包含的元件数，可以缺少复合支路规定了一条支路可以最多包含的元件数，可以缺少某些元件，但不能缺少阻抗。某些元件，但不能缺少阻抗。dkISk.UZk(Yk)+-k.Uk.ISk.Iek.I+-二、支路方程的
50、矩阵形式二、支路方程的矩阵形式 分三种不同情况进行分析。分三种不同情况进行分析。1.电路中电路中不含互感和受控源不含互感和受控源skskkkkkIUYUYI -=skkskkkUZIIU -=)(Sk.U Zk(Yk)+-k.ISk.Iek.I+-kU支路阻抗阵、支路导纳阵为支路阻抗阵、支路导纳阵为 bb 矩阵矩阵：111S1S1SSSS00000000000000000000kkkkkbbbbbYIUUIYIUUIYIUUI=-按定义列写按定义列写T12T12TSS1S2STSS1S2S.bbbbUUUUIIIIUUUUIIII=其其中中支支路路电电压压列列向向量量 支支路路电电流流列列向向
