1、汪汪 晓晓 勤勤华东师范大学数学系华东师范大学数学系2013-05-23数学史与初中数学教学数学史与初中数学教学1背背 景景 数学教学的现实 学生的数学观 教师专业发展的需求 学术研究的背景2数学史与数学史与 初中数学教学初中数学教学类别类别教教 师师学学 生生概概念念视视角角（1）个体数学理解的发展遵循数学思想的历史发展过程（历史发生原理），因而数学历史是数学教学的指南；（2）了解数学史可以为教师提供预测学生认知障碍的工具；（3）丰富教师的知识储备和教学资源；（4）有助于更好地理解数学的本质。（1）帮助学生理解数学；）帮助学生理解数学；（2）使学生获得心理安慰；（3）通过古今数学方法的对比，
2、拓宽学生的思维；）通过古今数学方法的对比，拓宽学生的思维；（4）帮助学生以非线性方式（即非演绎方式）学习；（5）提供另类方法，促进学生思考。）提供另类方法，促进学生思考。文文化化视视角角（1）发展多元文化进路；（2）加强数学与其他学科之间的联系。（1）有助于解释数学在社会中的角色以及数学发展的内外因；（2）展现数学是人类的文化活动；）展现数学是人类的文化活动；（3）消除性别差异，鼓励女生学习数学。动动机机视视角角（1）创造活跃的课堂氛围；（2）获取有用的史料，激发教师对所教主题的热情。（1）增加学生的学习兴趣；）增加学生的学习兴趣；（2）创造学生的学习动机；）创造学生的学习动机；（3）使数学变
3、得更亲和、更令人愉悦、更激动人心；）使数学变得更亲和、更令人愉悦、更激动人心；（4）培养优秀生的远见卓识。）培养优秀生的远见卓识。3数学史与数学史与 初中数学教学初中数学教学类类 别别描描 述述 Tzanakis&Arcavi附加式附加式展示有关的数学家图片，讲述逸闻趣事等，去掉后对教学内容没有什么影响 直接运用法直接运用法复制式复制式直接采用历史上的数学问题、解法等直接运用法直接运用法顺应式顺应式根据历史材料，编制数学问题间接应用法间接应用法重构式重构式借鉴或重构知识的发生、发展历史间接运用法间接运用法4数学史与数学史与 初中数学教学初中数学教学知识点知识点数学史的运用方式数学史的运用方式知
4、识点知识点数学史的运用方式数学史的运用方式除法运算附加式勾股定理附加式 无理数附加式平均数顺应式用字母表示数顺应式不等式附加式一元一次方程复制式平面直角坐标系附加式全等三角形顺应式一元二次方程重构式二元一次方程组附加式，重构式平行四边形附加式同底数幂乘法重构式扇形面积复制式乘法公式附加式，复制式相似三角形复制式分式方程附加式锐角三角函数顺应式等腰三角形附加式5数学史与初中数学教学数学史与初中数学教学&附加式附加式&复制式复制式&顺应式顺应式&重构式重构式6案例案例0 零的危险零的危险 摩诃毗罗摩诃毗罗(Mahvra,9世纪世纪):计算方法刚要计算方法刚要 (The Ganita-Sra-San
5、graha)00 a 零的运算：Scripati(11世纪世纪):Ganita-tilaka0;000;aa aaa零的运算：婆罗摩笈多婆罗摩笈多(Brahmagupta,598-670):婆罗门修正体系婆罗门修正体系 (Brahmasphuta-Siddhanta)000 零的运算：7案例案例0 零的危险零的危险 0;00;0;00aaaaaa 零的运算：婆什伽罗婆什伽罗(Bhskara,1114 ca.1185):莉拉沃蒂莉拉沃蒂马丁马丁欧姆欧姆 (Martin Ohm,1792-1872)：0 000aa零的运算：德蒙维尔德蒙维尔(A.L.G.Demonville,?19世纪世纪)0 0
6、1 零的运算：8案例案例1 无理数无理吗？无理数无理吗？无理数的由来 不合常理的数？不合常理的数？没有秩序的没有秩序的数？数？没有理由的没有理由的数？数？9案例案例2 平方差公式平方差公式赵赵 爽：爽：负薪余日，聊观周髀10文字语言：两个数的和与文字语言：两个数的和与这这两个数的两个数的差的乘积等于这两个数的平方差。差的乘积等于这两个数的平方差。22)(bababa符号语言：符号语言：变形公式：变形公式：22)(bababa 案例案例2 平方差公式平方差公式11辨析：下列两个多项式相乘，那些可以使用平方差公辨析：下列两个多项式相乘，那些可以使用平方差公式，如果不能使用平方差公式，你用什么方法计
7、算？式，如果不能使用平方差公式，你用什么方法计算？mnnm2332)14)(14(aa（2）（1）（4）（3）)2)(2(yxyx)(baab)(baba（5）案例案例2 平方差公式平方差公式12yxyx2)2()3121)(3121(yxyx)3)(3(yxyx)4)(2)(2(22bababa例例1、计算：、计算：（2）（1）（4）（3）案例案例2 平方差公式平方差公式13981028.292.307697110例例2、用平方差公式进行简便计算：、用平方差公式进行简便计算：（2）（1）（3）案例案例2 平方差公式平方差公式14思考题：思考题：已知两数的和为已知两数的和为 ，积为，积为 ，求
8、这两个数。，求这两个数。公元公元3世纪，古希腊代数学鼻祖丢番图世纪，古希腊代数学鼻祖丢番图（Diophantus）在其）在其算术算术中运用了平方中运用了平方差公式。差公式。算术算术第第1卷第卷第27题：题：“已知两已知两数的和与积，求这两个数。数的和与积，求这两个数。”3111983案例案例2 平方差公式平方差公式15（1）说说应用平方差公式的条件，以及注意事项。）说说应用平方差公式的条件，以及注意事项。（2）你觉得平方差公式的历史对你的学习有帮助吗？）你觉得平方差公式的历史对你的学习有帮助吗？如果有帮助，主要是哪方面的？如果有帮助，主要是哪方面的？（3）本节课你记忆最深刻的是哪个环节，为什么
9、？）本节课你记忆最深刻的是哪个环节，为什么？案例案例2 平方差公式平方差公式16)32)(32(baba)31)(31)(91(22xyxyxy)2)(2()2)(2(yxyxyxyx)2)(2()2)(2(22xxxx练习题：计算：练习题：计算：（2）（1）（4）（3）（5）)(zyxzyx案例案例2 平方差公式平方差公式17Nicholas Saunderson(1682-1739):代数学基础4235234235234233528xxxxxxxxx8756423512670423352423523423523xxxxxxxxxxxx18192021真理：她的标志是永恒 一旦愚昧的世界见到
10、她的光芒毕达哥拉斯定理今天依然正确犹如初次被传授给兄弟会一样女神们以这束光芒相馈赠毕达哥拉斯回祭一份厚礼一百头牛，烤熟切片 表达对她们的无限感激Heinrich Heine(1797-1856)从那一天起，当它们猜测一个新的真理会被揭去面纱在那恶魔似的围栏里，一阵阵哀鸣立即爆发无力阻挡真理发现者的暴行毕达哥拉斯让它们永不安宁它们瑟瑟颤抖着绝望地闭上了眼睛 毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理22ABCDEFGHKL欧几里得的证明欧几里得的证明新娘的坐椅 23Henry Perigal(1801-1898)24数学史与初中数学教学&附加式附加式&复制式复制式&顺应式顺应式&重构式重构式25案例7 一元一
11、次方程时时 间间作作 者者文文 献献 名名内内 容容公元前公元前1800年年祭司（巴比伦）泥版YBC 4652四则、定和四则、定和公元前公元前1650年年祭司阿莫斯（埃及）莱因得纸草书 四则、定和、余数四则、定和、余数公元公元1世纪世纪 九章算术 四则、行程、合作、定和、余数四则、行程、合作、定和、余数公元公元4世纪世纪 孙子算经余数问题余数问题公元公元5世纪世纪米特洛多鲁斯（希腊）希腊选集合作、定和、余数合作、定和、余数公元公元8世纪世纪阿尔昆（英国）益智问题集行程、定和问题行程、定和问题公元公元12世纪世纪婆什迦罗（印度）丽罗娃蒂合作、余数问题合作、余数问题1202年年斐波纳契（意大利）计
12、算之书 四则、行程、合作、定和、余数四则、行程、合作、定和、余数1592年年程大位（中国）算法统宗四则、定和四则、定和16世纪世纪欧洲作者数学教科书行程、合作、定和、余数行程、合作、定和、余数26案例7 一元一次方程斐波纳契计算之书：树的7/12部分在地下，长21尺，求树长。”相当于方程。27案例7 一元一次方程计算之书：狮子在洞中，洞深50尺，狮子每天向上爬 1/7尺，向下爬1/9尺。问：狮子需要几天才能爬出洞？两只蚂蚁相距100步，朝同一点同向而行。第一只蚂蚁每天向前爬1/3步，又向后退1/4步；第二只蚂蚁每天向前爬1/5步，又向后退1/6步。问：第一只蚂蚁几天后追上第二只蚂蚁？狐狸在狗前
13、面50步；狗在后面追。狗每跑9步，狐狸跑6步。问狐狸跑几步后被狗追上？28案例7 一元一次方程 九章算术：“今有池，五渠注之。其一渠开之，少半日一满；次，一日一满；次，二日半一满；次，三日一满；次，五日一满。今皆决之，问几何日满池？”计算之书：“狮子4小时吃掉一只羊。豹子5小时，熊6小时。问：把一只羊扔给它们，几小时可吃完？”29案例7 一元一次方程阿尔昆益智问题集一人见山上羊群，他自言自语道：“我如果有这许多羊，再加上这许多，再加上一半，再加上四分之一，再加上我家里那一只，共有100只。”问：羊群有多少只羊？前苏联问题空中飞过一群雁，迎面又飞来一只雁，说：“您好，你们有100只吗？”雁队队长
14、说：“不，现有数加上现有数，再加上现有数的一半、再加上它的四分之一，连您算在内，才是100只。”问：雁群有几只雁？30案例案例 7 一元一次方程一元一次方程 行人啊，请稍驻足 这里埋葬着丢番图 上帝赋予他一生的六分之一 享受童年的幸福 再过十二分之一，两颊长胡 又过了七分之一，燃起结婚的蜡烛 贵子的降生盼了五年之久 可怜那迟到的宁馨儿 只活到父亲寿命的半数 便进入冰冷的坟墓 悲伤只有通过数学来消除 四年后，他自己也走完了人生旅途31案例7 一元一次方程计算之书一人经过7座大门进入乐园，摘苹果若干。当他离开果园时，他把一半苹果加上个苹果给了第一个门卫；把剩下的一半加上一个给了第二个门卫；类似地，
15、依次把剩下的苹果分给其他五个门卫。当他离开果园时，只剩下了1个苹果。问：此人在乐园摘了多少个苹果？32“鸡兔同笼”：今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡、兔各几何？你能用一元一次方程 来解这个问题吗？若把鸡和兔的只数分 别表示成x 和y，则如 何列方程？33u高彦休唐阙史 一位行人傍晚经过一个树林，忽听得林间有人在说话，细听方知是一群窃贼在讨论分赃之事。只听得窃贼说：“每人6匹，则多出5匹；每人7匹，则又少了8匹。”问：共有几个窃贼，几匹赃物？34u程大位算法统宗 昨日独看瓜，因事来家。牧童盗去眼昏花。信步庙东墙外过，听得争差。十三俱分咱，十五增加。每人十六少十八。借问人瓜各有几？已会先
16、答。35有盗布者，聚于桥下分赃。恰有过桥者，听得争论：每人12 匹，余12 匹；每人14 匹，不足 6 匹。问盗贼几人、盗布几匹？（日本：尘劫记）36骡子和驴驮着酒囊行走在路上。为酒囊重量所压迫，驴痛苦地抱怨着。听到驴的怨言，骡子给她出了这样一道题：“妈妈，你为何眼泪汪汪，满腹牢骚，抱怨的应该是我才对呀！因为，如果你给我一袋酒，我负的重量就是你的2倍；若你从我这儿拿去一袋，则你我所负重量刚好相等。”好心的先生，数学大师，请告诉我，他们所负酒囊各有几袋？（欧几里得，前3世纪）油画雅典学派中的欧几里得(梵蒂冈,1986）37为了鼓励儿子学好算术，儿子每做对一道题，父亲给他8分钱；做错一道题，罚5分
17、钱。做完26道题后，谁也不用给谁钱。问：儿子做对了几道题？（克拉维斯代数）案例 8 二元一次方程组38埃及的金字塔埃及的金字塔法国的卢浮宫入口法国的卢浮宫入口设计师：贝聿铭（华裔）设计师：贝聿铭（华裔）案例 9 等腰三角形的性质39等腰三角形：有两条边相等的三角形。等腰三角形的相关名称：等腰三角形的相关名称：腰腰腰腰底底 边边顶角顶角底角底角底角底角除了除了AB=AC，还有其它相等的量吗？还有其它相等的量吗？案例 9 等腰三角形的性质40等腰三角形的性质：等腰三角形的性质：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线。对称轴是顶角平分线所在的直线。等腰三角形的两
18、个底角相等。等腰三角形的两个底角相等。（简称：等边对等角）（简称：等边对等角）符号语言：符号语言：ABC中，中，AB=AC（已知）（已知）B=C（等边对等角）（等边对等角）案例 9 等腰三角形的性质41欧几里得:古希腊数学家，“几何之父”,几何原本是欧洲数学的基础，被认为是最成功的教科书。案例 9 等腰三角形的性质42如图：已知如图：已知ABC中，中，AB=AC，说明，说明ABC=ACB 的理由。的理由。案例 9 等腰三角形的性质43现代的桁架桥现代的桁架桥现代的桁架桥现代的桁架桥老城区里樱桃园的桁架式建筑老城区里樱桃园的桁架式建筑德国传统的木构桁架建筑德国传统的木构桁架建筑英国福斯湾桥钢悬臂
19、桁架梁英国福斯湾桥钢悬臂桁架梁44任务单一：有关任务单一：有关“等边对等角等边对等角”的练习的练习1、已知、已知ABC中，中，AB=AC，B=70，则则C=_,A=_。2、已知、已知ABC中，中，AB=AC，一个内角为，一个内角为70，则底角为则底角为_。3、已知、已知ABC中，中，AB=AC，一个外角为，一个外角为70，则底角为则底角为_。4、已知、已知ABC为等腰三角形，为等腰三角形，B=70，则则A=_。5、已知、已知ABC为等腰三角形，为等腰三角形，B=100，则则A=_。案例 9 等腰三角形的性质45 根据上面叠合法的说理，根据上面叠合法的说理，线段线段AD担任了什么角色？担任了什么
20、角色？等腰三角形的等腰三角形的顶角平分线、底顶角平分线、底边上的中线、底边上的中线、底边上的高互相重边上的高互相重合。合。简称：等腰三角形的三线合一简称：等腰三角形的三线合一 案例 9 等腰三角形的性质46“等腰三角形的三线合一等腰三角形的三线合一”性质用符号表性质用符号表述：述：（1）等腰三角形的顶角平分线平分底边）等腰三角形的顶角平分线平分底边 并且垂直于底边。并且垂直于底边。ABC中，如果中，如果AB=AC，1=2，那么，那么，_=_,且且_.（2）等腰三角形底边上的中线）等腰三角形底边上的中线 垂直于底边，并且平分顶角。垂直于底边，并且平分顶角。ABC中，如果中，如果AB=AC，_，那
21、么，那么，_,且且_.（3）等腰三角形底边上的高）等腰三角形底边上的高 平分底边和顶角。平分底边和顶角。ABC中，如果中，如果AB=AC，_，那么，那么，_,且且_.案例 9 等腰三角形的性质47埃及古墓中出土的测量工具形状的护身符埃及古墓中出土的测量工具形状的护身符 等腰三角形性质的应用：等腰三角形性质的应用：案例 9 等腰三角形的性质48 古代的水准仪由一个等腰三角形以及悬挂在顶点处的铅垂线组成。测量时，调整底边的位置，如果铅垂线经过底边中点，就表明底边垂直于铅垂线，即底边是水平的。案例 9 等腰三角形的性质49等腰三角形的性质在说理方面的应用：等腰三角形的性质在说理方面的应用：例例1：如
22、图，已知：如图，已知AB=AC，BAC=110 0，ADAD是是ABC的中线，求的中线，求1和和2的度数。的度数。例例2：如图，已知：如图，已知AB=AC，AE=AF，AO是是AEF的边的边EF上的中线，上的中线，AO的延长线交的延长线交BC于于D.说明说明ADBCDBC的理由。的理由。案例 9 等腰三角形的性质50例3、如图，在等腰直角ABC中，BAC90，CBA的平分线交AC于点D，过点C作BD的垂线于点E，CE与BA的延长线相交于点F，若CE5，求BD的长 B D C A F E案例 9 等腰三角形的性质51课堂小结：课堂小结：1、你知道了等腰三角形的哪些性质？、你知道了等腰三角形的哪些
23、性质？2、本节课的学习你还了解了哪些知识？、本节课的学习你还了解了哪些知识？案例 9 等腰三角形的性质52案例案例 10 扇形的面积扇形的面积12Slr开普勒(J.Kepler,1571-1630)53相似三角形的对应角相等，对应边成比例。相似三角形的对应角相等，对应边成比例。相似三角形对应高的比、对应中线的比和对相似三角形对应高的比、对应中线的比和对 应角平分线的以及周长的比都等于相似比。应角平分线的以及周长的比都等于相似比。相似三角形的面积的比等于相似比的平方。相似三角形的面积的比等于相似比的平方。相似三角形的性质：相似三角形的性质：案例案例11 相似三角形的应用相似三角形的应用541、九
24、章算术九章算术勾股章勾股章（17）：）：今有邑方二百步，各开今有邑方二百步，各开中门。出东门一十五步有中门。出东门一十五步有木。问：出南门几何步而木。问：出南门几何步而见木？见木？10010015EASTGATESOUTHGATETREE案例案例11 相似三角形的应用相似三角形的应用552、今有邑，东西七里，南北九里，各开中门。出、今有邑，东西七里，南北九里，各开中门。出东门一十五里有木。问：出南门几何步而见木？东门一十五里有木。问：出南门几何步而见木？（学生自己画图求解）（学生自己画图求解）3、九章算术九章算术勾股章（勾股章（19）：）：今有邑方不知大小，各开中门。出北门三十步有今有邑方不知
25、大小，各开中门。出北门三十步有木。出西门七百五十步见木。问：邑方几何？木。出西门七百五十步见木。问：邑方几何？案例案例11 相似三角形的应用相似三角形的应用564、九章算术九章算术勾股章勾股章（24）：）：今有井径五尺，不知其深。今有井径五尺，不知其深。立五尺木于井上，从木末望立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸。问：井深水岸，入径四寸。问：井深几何？几何？案例案例11 相似三角形的应用相似三角形的应用575、九章算术九章算术勾股章（勾股章（23）：）：今有山居木西，不知其高。山今有山居木西，不知其高。山去木五十三里，木高九十五尺。去木五十三里，木高九十五尺。人立木东三里，望木末适与山人立木
26、东三里，望木末适与山峰斜平。人目高七尺。峰斜平。人目高七尺。问：山高几何？问：山高几何？7953 li53 liEYES OF THEOBSERVERTREE-TOPSUMMIT OF THE HILL案例案例11 相似三角形的应用相似三角形的应用58介绍九章算术与刘徽：介绍九章算术与刘徽：九章算术九章算术是我国流传至今最古老的数学专著之一，它成书于西汉时期。是我国流传至今最古老的数学专著之一，它成书于西汉时期。是中国最重要的一部经典数学著作，它的完成奠定了中国古代数学发展的基是中国最重要的一部经典数学著作，它的完成奠定了中国古代数学发展的基础，在中国数学史上占有极为重要的地位。现传本础，在中
27、国数学史上占有极为重要的地位。现传本九章算术九章算术共收集了共收集了246个应用问题和各种问题的解法，分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、个应用问题和各种问题的解法，分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章。商功、均输、盈不足、方程、勾股九章。刘徽：魏晋时期山东人，出生在公元刘徽：魏晋时期山东人，出生在公元3世纪世纪20年代后期。是中国数学史上一年代后期。是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位。他的个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位。他的九章算九章算术注术注和和海岛算经海岛算经，是我国最宝贵的数学遗产。刘徽著作的，是我国
28、最宝贵的数学遗产。刘徽著作的“九章算术九章算术注注”，主要是给，主要是给“九章算术九章算术”的术文（命题）作解释和逻辑证明，更正其中的术文（命题）作解释和逻辑证明，更正其中的个别错误公式。有了刘徽的注释，的个别错误公式。有了刘徽的注释，“九章算术九章算术”才得以成为一部完美的古才得以成为一部完美的古代数学教科书。主要贡献：在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其代数学教科书。主要贡献：在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法。在几何方面，提出了加减运算的法则；改进了线性方程组的解法。在几何方面，提出了割圆术割圆术，并利用割圆术科学地求出了圆周率并利用割
29、圆术科学地求出了圆周率=3.14的结果。的结果。案例案例11 相似三角形的应用相似三角形的应用59金字塔：底部是金字塔：底部是正方形，四个侧正方形，四个侧面都是相同的等面都是相同的等腰三角形腰三角形早在公元前早在公元前6世纪，希腊几何世纪，希腊几何学的鼻祖泰勒斯（学的鼻祖泰勒斯（Thales）就）就是运用这个方法测量金字塔的是运用这个方法测量金字塔的高度的。高度的。POLE案例案例11 相似三角形的应用相似三角形的应用60课后思考题：（借助于相似三角形的性质，泰勒课后思考题：（借助于相似三角形的性质，泰勒斯还能快速测量出轮船离海岸的距离。）斯还能快速测量出轮船离海岸的距离。）在某沿海的海岸上有
30、一座灯塔，为遇难轮船提在某沿海的海岸上有一座灯塔，为遇难轮船提供紧急救援工作，但人们经常为无法确切得知轮供紧急救援工作，但人们经常为无法确切得知轮船离海岸的距离而苦恼，直到有一天泰勒斯解决船离海岸的距离而苦恼，直到有一天泰勒斯解决了这个问题，如图所示，你能说出他所设计的原了这个问题，如图所示，你能说出他所设计的原理与方法吗？理与方法吗？案例案例11 相似三角形的应用相似三角形的应用61案例案例11 相似三角形的应用相似三角形的应用62案例案例 12 平均数平均数公元前428年冬，普拉提亚人被伯罗奔尼撒人包围。不久，城中粮食短缺，他们处于绝望之中。由于无望从雅典人那里获得援助，也没有其他安全突围
31、的方法，他们计划弃城而去。他们打算做梯子翻过敌人的围墙，希望能杀出一条血路。梯子的高度要与敌人围墙的高度一样，为此，可以数敌人城墙上砖块的层数来计算城墙的高度。在相同的时间，很多人数了砖块的层数。问：问：如何确定砖块层数？如何确定砖块层数？63数学史与初中数学教学&附加式附加式&复制式复制式&顺应式顺应式&重构式重构式64案例案例13 用字母表示数用字母表示数65案例案例13 用字母表示数用字母表示数 三角形数66112312nn n 案例案例13 用字母表示数用字母表示数67正方形数案例案例13 用字母表示数用字母表示数682)12(31nn案例案例13 用字母表示数用字母表示数教师小结(1
32、)数学无处不在，关键是你有没有发现数学的眼睛？(2)形和数可以互相转化。(3)数量关系可以用字母简明地表示出来，用字母来表示数是数学中很重要的一个思想方法，在接下来的数学学习中我们将继续体会字母表示数的优越性。(4)毕氏学派还用字母表示出了各种形数的规律，有兴趣的同学可以在课下来跟老师探讨。69Thales（前6世纪）案例案例 14 全等三角形的应用全等三角形的应用行船测距70案例案例 14 全等三角形的应用全等三角形的应用有一个故事说，拿破仑军队在行军途中为一河流所阻，一名随军工程师用运用泰勒斯的方法迅速测得河流的宽度，因而受到拿破仑的嘉奖。因此，从古希腊开始，角边角定理在测量中一直扮演者重
33、要角色。71案例案例 14 全等三角形的应用全等三角形的应用在抗美援朝战争中，一名志愿军战士利用泰勒斯的方法测量敌营的距离。72案例案例 14 全等三角形的应用全等三角形的应用学生在课上演示泰勒斯的方法学生在课上演示泰勒斯的方法 73案例案例 14 全等三角形的应用全等三角形的应用学生在课上给出的测量全等三角形方案学生在课上给出的测量全等三角形方案 74案例案例 14 全等三角形的应用全等三角形的应用S1:所有的话题都让学生感兴趣，提高了上课的效率，多年之后故事会永远留在头脑中。在校外上辅导班时，用类似的问题去问别的学校的同学，他们都对“全等三角形如何用”没概念，感觉很骄傲，有种博士生的感觉，
34、在向其他同学讲授时，很津津乐道。S2:不会影响学习成绩，更不会影响学习时间。这样的课在我们理论的基础上多一种知识的了解，而且这个了解不是可有可无的而是有多有少的。在正课当中，无论从哪个角度讲解都会让我们对知识印象更深，增加对知识的理解，当然一定要以正课为主。75案例案例 14 全等三角形的应用全等三角形的应用T1：这样的课教师和学生都很感兴趣，很生动，学生的积极性完全调动起来，是数学与实际结合最好的范例。T2：最好能资源共享，多展示几节这样的课，让学生更好地体会数学与生活紧密相关，让学生发现生活中的数学问题，并用学过的知识解决它。如果所有的课都能以这种形式来上，那么学生一定都会喜欢数学课!76
35、案例案例15 天上人间天上人间u日晷（古埃及、巴比伦、古希腊Anaximander）ANGS77案例案例15 天上人间天上人间uAristarchus（310 B.C.-230B.C.）1820ESEM 3 M E S月亮半圆时刻日、地、月的位置关系 78数学史与初中数学教学数学史与初中数学教学&附加式附加式&复制式复制式&顺应式顺应式&重构式重构式79爱琴海爱琴海叙拉古城叙拉古城阿基米德（阿基米德（Archimedes,前前287-前前212）案例案例16 同底数幂的运算同底数幂的运算 80na1后面接连写上后面接连写上63个个0，这么大的数，真要写，这么大的数，真要写起来，简直是天方夜谭！
36、起来，简直是天方夜谭！1后面接连写上后面接连写上63个个0，就是，就是 ，它表示，它表示63个个10相乘相乘 6310n个个a相乘也可以写成相乘也可以写成na读作读作a的的n次方，其中次方，其中a表示表示底数，正整数底数，正整数n表示指数，表示指数，a的的n次乘方的结果叫做次乘方的结果叫做a的的n次幂次幂 指数指数底数底数幂幂a的的n次幂次幂 案例案例16 同底数幂的运算同底数幂的运算81阿基米德的阿基米德的数沙者数沙者给出了下面两行数：给出了下面两行数：21031041051061071081091010101098765432110第一行数某两项的乘积对应第一行数某两项的乘积对应第二行数相
37、应两项的和。第二行数相应两项的和。探索同底数幂探索同底数幂乘法的规律乘法的规律 给定两行数：给定两行数：a2a3a4a5a6a7a8a9a10a10987654321案例案例16 同底数幂的运算同底数幂的运算82文字表述文字表述:同底数幂相乘，底数不变，指数相加。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。符号表述：（符号表述：（1 1）mananma=（m、n、p都是正整数）都是正整数）同底数幂乘法法则同底数幂乘法法则 （2）manapnma=pa案例案例16 同底数幂的运算同底数幂的运算8332324565)4(2121)3()2(66)1(yyyxx)1()1()1)(9()()()(8()()(
38、7()()()(6()3()3)(5(411243324264aaayxyxyxbabaaaa例例1 1、计算下列各式，结果用幂的形式表示：、计算下列各式，结果用幂的形式表示：案例案例16 同底数幂的运算同底数幂的运算8424332423424363)()()(6()()(5()()(4()3()9(9)2(3)3)(1(yxxyyxabbaaaaxxx例例2 2、计算下列各式，结果用幂的形式表示：、计算下列各式，结果用幂的形式表示：案例案例16 同底数幂的运算同底数幂的运算854234235333233425)()()4()(3()2()1(aaaaxxxxaaaaaaxxxxxx例例3 3
39、、计算、计算：案例案例16 同底数幂的运算同底数幂的运算86小结：小结：你觉得了解幂的历史对你的学习有哪方面的帮助？你喜欢听有关数学史的故事吗？为什么？你理解并掌握了同底数幂乘法的法则了吗？能否用文字语言和符号语言叙述出来？在同底数幂乘法运算过程中应该注意哪些事项？你对本堂课中哪个环节比较感兴趣？原因是什么？案例案例16 同底数幂的运算同底数幂的运算87案例案例17 一元二次方程的概念一元二次方程的概念一元二次方程一元二次方程概念的引入概念的引入左：全国教材左：全国教材 华师大版华师大版右：上海教材右：上海教材88例例 1 (1)矩形面积为12，宽为长的3/4。问该矩形的长、宽各为多少？（Mo
40、scow纸草书）(2)已知矩形面积为12，长比宽多4。问该矩形的长为多少？列出矩形的长所满足的方程。案例案例17 一元二次方程的概念一元二次方程的概念89例例 2 (1)直角三角形一直角边是另一直角边的2 1/2倍，面积为20。两直角边各为多少？(2)直角三角形两条直角边之和为13，面积为20。两直角边各为多少？案例案例17 一元二次方程的概念一元二次方程的概念90学生对学生对数学史知识的看法数学史知识的看法 通过数学史上的问题，可以了解到数学与现实生活之间的密切联系；数学史展示了解某些定理的起源，有助于更好地理解数学；数学史引人入胜，激发了学习兴趣；通过数学史可以丰富知识，增长见识；数学史陶
41、冶情操、净化心灵；数学史让枯燥的数学课变得轻松；通过数学史可以学习古人的智慧。91HPM教学后教师的变化教学后教师的变化J教师的变化 初步形成了自己的教学风格初步形成了自己的教学风格一种超越一种超越。在J教师的HPM教学中，数学史不是摆设，而是改进教学的工具，实践表明，数学史的融入促进了学生的学习，最终也提高他们的学习成绩。一座桥梁一座桥梁。在J教师的课堂上，学生为萨默斯隧道的神奇而惊叹，为泰勒斯的智巧而称奇，为希帕索斯追求真理的执着而震撼，为阿基米德的海边奇思而顿悟，为赵爽的“负薪余日、聊观周髀”而感动，J教师的教学已经在数学和人文之间架起了一座美丽的桥梁。一个视角一个视角。HPM介入教学后
42、，J教师不再“吝惜”概念引入的时间，而常常采用发生教学法，追求自然无痕的境界，学生们在课堂里获得了如沐春风般的愉悦感。92HPM教学后教师的变化教学后教师的变化 对学生的认知规律有更深的理解对学生的认知规律有更深的理解HPM介入教学后，J教师经常会在教学中参照历史这面镜子，以历史指导自己的教学。比利时-美国科学史家萨顿（G.Sarton,18841956）说得好：“历史告诉我们，一种工具的采用几乎在每一种情形下都是极其缓慢的。”“用字母表示数”的历史横跨两千多年，直到16世纪末，法国数学家韦达（F.Vite,15401603）才首次用字母来表示任意数。历史启示我们：学生对这一思想的理解必定是一
43、个缓慢的过程，在后续的教学中要慢慢体会，绝不能一蹴而就。只有让学生明白这一点，他们才会有信心把它学好，并充满期待。93HPM教学后教师的变化教学后教师的变化 批判教材的能力得到了提升批判教材的能力得到了提升教师从HPM的视角来审视教材，批判能力也得到了提高。以下是她对教材中的全等三角形判定定理的思考。“边边边”则未经证明直接作为定理给出，只在注释中说明：我们将在以后补上关于“三边对应相等的两个三角形全等”的说理。翻阅教参，发现在该节课的“注意事项”中有这样的说法：“边边边”判定方法，教材是直接给出的，在八年级第一学期将对它进行证明。但事实上，教材利用拼接和等腰三角形知识，只对直角三角形全等作了
44、证明，并未进一步说明“边边边”定理。实际上，用拼接和等腰三角形知识说明“边边边”的方法，根本不用等到八年级，按照课本的体例安排，只要学完等腰三角形的知识，在七年级上学期就马上可以说明了。94HPM教学后教师的变化教学后教师的变化 拓展课本知识的意识得到了增强拓展课本知识的意识得到了增强用历史的眼光审视教材，J教师常发现其中的不足之处，于是，就常常拓展一些有利于学生理解、体现知识应用、引人入胜的内容。“全等三角形的应用”就是其中一例。从历史上看，全等三角形和相似三角形一样，也源于测量。但教材有相似三角形的应用，却无全等三角形的应用，对两个知识点的处理并不一致。J教师对全等三角形知识作了拓展，结合
45、数学史，增加了一节全等三角形应用课。95HPM教学后教师的变化教学后教师的变化教学研究能力得到了提高教学研究能力得到了提高经过两年的行动研究，J教师的教学研究能力有了很大的提高。在数学教学上发表了一篇HPM教学论文，并在上海市教学论文评比中获奖；另一篇论文也在投稿之中。2011年5月，在华东师范大学主办的第四届“数学史与数学教育国际研讨会”上，J教师作了“数学史融入初中数学教学的行动研究”的学术报告，获得与会者的好评。自此，J教师不定期与大学数学教育研究者、研究生以及具有共同爱好的中学数学教师聚会，讨论初中数学中的数学史以及HPM视角下的数学教学设计，J教师如今已经成为国内HPM学术共同体的一员。96 一门课程一门课程 “数学史与数学教育”应该成为数学教师在职培训的重要课程之一。一种模式一种模式 大、中学教师的合作是HPM实践研究的理想模式。一批案例一批案例 要让更多的数学教师接受HPM，就必须让他们看到HPM教学案例的成功之处以及HPM对于专业发展的巨大促进作用。结结 语语97谢谢 谢谢98
