1、sTzsze ,关关系系TTTz j)j(eee sT Tr2:e:幅角幅角半径半径所以所以 代入代入比较比较z平面与s平面的映射关系sTzze 号号变换的定义时，引入符变换的定义时，引入符在引入在引入ssj)(：直角坐标直角坐标 Oj0j0 sj s平面平面 je)(rzz：极极坐坐标标 jerz )Re(z)Im(jzOz平面平面0r0 TS2重复频率重复频率s平面平面z平面平面几种情况（1 1）s s平面的原点平面的原点 ，z z平面平面 ，即，即 。00 01r1 z0 0 0 :为为常常数数 1 r1 r1 r0:为常数为常数r左半平面左半平面虚轴虚轴右半平面右半平面左向右移左向右移
2、单位圆内单位圆内单位圆上单位圆上 单位圆外单位圆外半径扩大半径扩大（2 2）（3 3），正实轴，正实轴平面平面：实轴：实轴平面平面00 zs（4 4）zs映射不是单值的。映射不是单值的。2s 9.8 离散时间系统系统函数与Z域分析9.8.1利用Z变换解差分方程 描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法：求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法：时域方法时域方法第第7 7章中介绍，烦琐章中介绍，烦琐z变换方法变换方法差
3、分方程经差分方程经z变换变换代数方程；代数方程；可以将时域卷积可以将时域卷积频域（频域（z域）乘积；域）乘积；部分分式分解后将求解过程变为查表；部分分式分解后将求解过程变为查表；求解过程自动包含了初始状态（相当于求解过程自动包含了初始状态（相当于0 0-的的条件）。条件）。一应用z变换求解差分方程步骤(1)对差分方程进行对差分方程进行单边单边z变换变换（移位性质移位性质）；(2)由由z变换方程求出响应变换方程求出响应Y(z)；(3)求求Y(z)的反变换，得到的反变换，得到y(n)。一步骤例1求系统的完全响应。求系统的完全响应。若边界条件若边界条件达式为达式为已知系统的差分方程表已知系统的差分方
4、程表,1)1()(05.0)1(9.0)(ynunyny 105.019.01 zzyzYzzY 9.019.09.0105.02 zzyzzzzY解：解：方程两端取方程两端取z变换变换 9.0121 zzAzzAzzY 9.0121 zzAzzAzzY45.0 5.021 AA 9.045.015.0 zzzzzzY 0 9.045.05.0 nnyn例2解：解：已知系统框图已知系统框图列出系统的差分方程。列出系统的差分方程。求系统的响应求系统的响应 y(n)。（1）列差分方程，从加法器入手列差分方程，从加法器入手 nynynynxnx 22131 12213 nxnxnynyny所所以以
5、,010,0002yynnnxn 452,211 yy 21213121 yyzzYzyzYzzY 1 01221 xzzzzz（3）差分方程两端取）差分方程两端取z变换，利用右移位性质变换，利用右移位性质（2）由由方方程程迭迭代代出出用用变变换换求求解解需需要要用用0,1,2,1yyyyz a.由激励引起的零状态响应由激励引起的零状态响应 2123121zs zzzzzY 22zs2 zzzY零状态响应为零状态响应为 nunnyzYn21zszs 即即b.由储能引起的零输入响应由储能引起的零输入响应都都成成立立）（对对2 n 221312231121zi yyyzzzzY 1223121zi
6、 zzzzzzzzzY 01223zizi nnyzYnn即即零输入响应为零输入响应为c.整理（整理（1）式得全响应）式得全响应 22112221212 zBzBzAzzzzY 222122dd!121221 zzzzzB 2222212 zzzzzY所所以以 2222212 zzzzzzzY 0 22212 nnnynnn2,221BA 2212 zzzzY二差分方程响应y(n)的起始点确定 2212 zzzzY全全响应响应y(n)根据根据输入输入信号信号加上加上的时刻定的时刻定对因果对因果系统系统y(n)不可能出现在不可能出现在x(n)之前之前观察观察Y(z)分子分母分子分母的幂次的幂次分
7、母分母高高于分子的于分子的次数次数是响应的是响应的起点起点 。有不为零的值有不为零的值开始开始从从 2nyn 三差分方程解的验证 解解答答是是正正确确的的两两种种迭迭代代结结果果相相同同解解的的表表达达式式迭迭代代出出原原方方程程迭迭代代出出,2,1,02,1,0yyyyyy9.8.2 离散系统的系统函数单位样值响应与系统函数单位样值响应与系统函数系统函数的零极点分布对系统特性的影响系统函数的零极点分布对系统特性的影响确定单位样值响应确定单位样值响应稳定性稳定性因果性因果性一单位样值响应与系统函数1.1.定义定义2.2.h(n)和和H(z)为一对为一对z z变换对变换对 NkkkMrrrzaz
8、bzXzYzH00 zHnhZ MrrNkkrnxbknya001定义线性时不变离散系统由线性常系线性时不变离散系统由线性常系数差分方程描述，一般形式为数差分方程描述，一般形式为 MrrrNkkkzbzXzazY00 NkkkMrrrzazbzXzYzH00 所以所以 021 xx 021 yy激励为因果序列激励为因果序列系统处于零状态系统处于零状态上式两边取上式两边取z变换得变换得 只与系统的差分只与系统的差分方程的方程的系数、结构系数、结构有有关，描述了系统的关，描述了系统的特特性。性。zH 数数。离离散散时时间间系系统统的的系系统统函函：zH2 h(n)和H(z)为一对z变换 1 zXn
9、nx，则，则若若 zHnhZ zXzHzYnxnhny zs系统的零状态响应：系统的零状态响应：zHZnhnhzH1:求求由由系系统统)(n)(nh例1 12213 nxnxnynyny，121123 zzXzYzzYzzY则则 zXzYzH 解：解：求系统的零状态响应求系统的零状态响应在零状态条件下，对差分方程两边取单边在零状态条件下，对差分方程两边取单边z变换变换已知离散系统的差分方程为：已知离散系统的差分方程为：激励激励 。及零状态响应及零状态响应求系统函数求系统函数nyzHnunxnzs ,2 2222 zzzzzzzXzHzY nunnyn21 zs 所所以以 22112311211
10、 zzzzzzzzz二系统函数的零极点分布对系统特性的影响1.1.由零极点分布确定单位样值响应由零极点分布确定单位样值响应2.2.离散系统的稳定性离散系统的稳定性3.3.系统的因果性系统的因果性 的的特特性性确确定定单单位位样样值值响响应应的的零零极极点点分分布布情情况况，所所以以可可以以从从因因为为nhzHzHnh1由零极点分布确定单位样值响应 NkkMrrzpzzG111111 NkkkMrrrzazbzH00极点极点零点零点:krpz展成部分分式：（假设无重根）展成部分分式：（假设无重根）NkkkNkkkpzzAApzzAzH100 NkkkpzzAAZnh101 所所以以 zHnh 因
11、为因为 NknkknupAnA10 NknkknupAnAnh10 的极点，可以是不同的实数或共轭复数，的极点，可以是不同的实数或共轭复数，决定了决定了 的特性。其规律可能是指数衰减、上升，的特性。其规律可能是指数衰减、上升，或为减幅、增幅、等幅振荡。或为减幅、增幅、等幅振荡。zHpk:nh:与与H(z)的零点、极点分布都有关。的零点、极点分布都有关。kAA,0由零极点分布确定单位样值响应(续)OzRezjIm1 1 极点位置与h(n)形状的关系s平面平面z平面平面极点位置极点位置h(t)特点特点极点位置极点位置h(n)特点特点虚轴上虚轴上等幅等幅单位圆上单位圆上等幅等幅原点时原点时 左半平面
12、左半平面衰减衰减单位圆内单位圆内减幅减幅右半平面右半平面增幅增幅单位圆外单位圆外增幅增幅 stu10 1 zznu利用zs平面的映射关系1 z2离散系统的稳定性 nnh对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必定是有界的（定是有界的（BIBO)。(2)(2)稳定性判据稳定性判据(1)定义：定义：判据判据1 1：离散系统稳定的充要条件：单位样值响应绝对离散系统稳定的充要条件：单位样值响应绝对可和。可和。判据判据2 2：对于因果系统，其稳定的充要条件为：对于因果系统，其稳定的充要条件为：H(z)的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包括单的全部极点应落在单位圆之内
13、。即收敛域应包括单位圆在内位圆在内:。1 ,aaz(3)连续系统和离散系统稳定性的比较 tthd nnh连续系统连续系统离散系统离散系统系统稳定的充系统稳定的充要条件要条件极点极点H(s)的极点全的极点全部在左半平面部在左半平面H(z)的极点全部的极点全部在单位圆内在单位圆内收敛域收敛域含虚轴的右半含虚轴的右半平面平面含单位圆的圆含单位圆的圆外外临界稳定的极临界稳定的极点点沿虚轴沿虚轴3系统的因果性系统因果性的判断方法：系统因果性的判断方法：z域：域：收敛域在圆外收敛域在圆外 输出不超前于输入输出不超前于输入 nunhnh ：时时域域例2 1224.012.0 nxnxnynyny 1224.
14、012.0 nxnxnynyny下面方程所描述的系统是否为因果系统？下面方程所描述的系统是否为因果系统？解：解：输出未超前于输入，输出未超前于输入，所以是因果系统。所以是因果系统。例3解：解：。，判判断断因因果果性性，稳稳定定性性系系统统nunh LTI nnh不稳定系统不稳定系统 0,00,1nnnunh从时域判断从时域判断因果系统因果系统 1 :ROC 1 zzzzH，从从z域判断域判断极点在单位圆上，收敛域不包括单位圆极点在单位圆上，收敛域不包括单位圆不稳定（边不稳定（边界稳定）。界稳定）。h(n)为右边序列，收敛域为圆外，为因果系统。为右边序列，收敛域为圆外，为因果系统。例4LTILT
15、I系统，系统，判断因果性、稳定性。，判断因果性、稳定性。nunhn 5.0注意：注意：对于因果系统，极点在单位圆内稳定。对于因果系统，极点在单位圆内稳定。3215.05.05.0nh 325.015.015.01 112121225.0nnnnnzzzzzzzH从时域判断：从时域判断：nnh 所所以以不稳定不稳定从从z域判断：域判断：21 z21 z收敛域收敛域 ，极点在处，极点在处 ，是非因果系统，极点在单位圆内也不稳定。是非因果系统，极点在单位圆内也不稳定。从时域判断：从时域判断：不是因果系统不是因果系统 0,00,1nnnu三补充1两个加法器情况下，列差分方程两个加法器情况下，列差分方程
16、2如何由如何由H(z)列系统的差分方程列系统的差分方程 )()1(4)()()1(3.0)(nynwnwnwnwnx )()(4)()()(3.0)(11zYzWzzWzWzWzzX3.03373403.04)()()()()(zzzzzXzWzWzYzH所所以以例5解：解：分别取分别取z变换变换系统框图如下，求系统框图如下，求H(z),h(n)。1 z nx ny43.0 )1()3.0(337)()()3.0(337)(340)(nunnunnhnn方法：设中间序列方法：设中间序列w(n)列差分方程列差分方程 nw 1 nw9.9求解频率响应的几何求法 与6.3节情况相近，只是这里变化的点
17、在单位圆上运动。9.10 离散时间系统实现离散时间系统实现 由由 可看出：可看出：方程中包括三种基本运算：乘系数、相加、移位方程中包括三种基本运算：乘系数、相加、移位（延迟）（延迟）。可用以下符号表示：。可用以下符号表示：0101()()()MNkkkky nb x nka y nkaaababD()x n(1)x n若令若令 ,则则0()()Mkkw nb x nk101()()()Nkky nw na y nka直接直接型型据此可得方框图：据此可得方框图：DDD()x n()w n0b1b2b1MbMbMMDDD()w n()y n01/a1a2a1NaNaMM0()()Mkkw nb x nk 将其级联起来将其级联起来,就成为就成为LCCDE描述的系统，它具描述的系统，它具有与差分方程完全相同的运算功能。显然有与差分方程完全相同的运算功能。显然,它可以看它可以看成是两个级联的系统，可以调换其级联的次序成是两个级联的系统，可以调换其级联的次序,并将并将移位单元合并，于是得到：移位单元合并，于是得到：直接直接型型DDD()x n()y n0b1b2b1NbNb01/a1a2a1NaNaMMM
