1、直观定义直观定义 事件事件A 出现的可能性大小出现的可能性大小.统计定义统计定义 事件事件A 在大量重复试验下在大量重复试验下 出现的频率的出现的频率的稳定值稳定值称为该事件的概率称为该事件的概率.古典古典定义定义；几何定义几何定义.非负性公理非负性公理：P(A)0;正则性公理正则性公理：P()=1;可列可加性公理可列可加性公理：若若A1,A2,An 互不相容，则互不相容，则定义定义1.2.1设设为样本空间，为样本空间，F 是由是由的一些子集的一些子集组成的事件域，若组成的事件域，若A F,实值函数实值函数P(A)满足满足:11().iiiiPAP A 从从 n 个元素中任取个元素中任取 r
2、个，求取法数个，求取法数.排列讲次序，组合不讲次序排列讲次序，组合不讲次序.全排列全排列：Pn=n!0!=1.重复排列重复排列：nr选排列选排列：!(1)(1)()!rnnPn nnrnr 组合组合：重复组合重复组合：!()!rrnnnPnCrnrrr 11rn rnrCr 求排列、组合时，要掌握和注意：求排列、组合时，要掌握和注意：加法原则加法原则、乘法原则乘法原则.加法原理加法原理 完成某件事情有完成某件事情有 n 类类途径途径，在第一类途径中有在第一类途径中有m1种方种方法，在第二类途径中有法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第种方法，依次类推，在第 n 类类途径中有途径中有mn
3、种方法，则完成这件事共有种方法，则完成这件事共有 m1+m2+mn种种不同的方法不同的方法.乘法原理乘法原理 完成某件事情需先后分成完成某件事情需先后分成 n 个个步骤步骤，做第一步有，做第一步有m1种种方法，第二步有方法，第二步有 m2 种方法，依次类推，第种方法，依次类推，第 n 步有步有mn种方种方法，则完成这件事共有法，则完成这件事共有 m1m2mn种不同的方法种不同的方法.随机试验可大量重复进行随机试验可大量重复进行.()()nn AfAn 进行进行n次重复试验，记次重复试验，记 n(A)为事件为事件A的频数，的频数，称称 为事件为事件A的的频率频率.频率频率fn(A)会稳定于某一常
4、数会稳定于某一常数(稳定值稳定值).).用频率的稳定值作为该事件的概率用频率的稳定值作为该事件的概率.古典概型古典概型 若一个随机试验若一个随机试验(,F,P)具有以下两个特征：具有以下两个特征：(1)有限性有限性:样本空间的元素样本空间的元素(基本事件基本事件)只有为有只有为有限个，即限个，即=1，2，n；(2)等可能性等可能性:每个基本事件发生的可能性是相等每个基本事件发生的可能性是相等的，即的，即 P(1)=P(2)=P(n).则称这类随机试验的数学模型为则称这类随机试验的数学模型为古典概型古典概型.则事件则事件A的概率为的概率为:P(A)=A中样本点的个数中样本点的个数/样本点总数样本
5、点总数抛一枚硬币三次抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次抛三枚硬币一次 1=(正正正正正正),(反正正反正正),(正反正正反正),(正正反正正反),(正反反正反反),(反正反反正反),(反反正反反正),(反反反反反反)此样本空间中的样本点此样本空间中的样本点等可能等可能.2=(三正三正),(二正一反二正一反),(二反一正二反一正),(三反三反)此样本空间中的样本点此样本空间中的样本点不等可能不等可能.六根草，头两两相接、六根草，头两两相接、尾两两相接求成环的概率尾两两相接求成环的概率.解：解：用乘法原则直接计算用乘法原则直接计算6 4 4 2 2 186 5 4 3 2 115 所求概率为所求概率为
6、n 个人围一圆桌坐，个人围一圆桌坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率求甲、乙两人相邻而坐的概率.解：解：考虑甲先坐好，则乙有考虑甲先坐好，则乙有n-1-1个位置可坐，个位置可坐，而而“甲乙相邻甲乙相邻”只有两种情况，所以只有两种情况，所以P(A)=2/(n-1-1)n个人坐成个人坐成一排一排，求甲、乙两人相邻而坐的概率求甲、乙两人相邻而坐的概率.(注意：请与上一题作比较注意：请与上一题作比较)解：解：1)先考虑样本空间的样本点数：先考虑样本空间的样本点数：甲先坐、乙后坐，则共有甲先坐、乙后坐，则共有n(n 1)种可能种可能.2)甲在两端，则乙与甲相邻共有甲在两端，则乙与甲相邻共有2种可能种可能.3)
7、甲在中间甲在中间(n 2)个位置上，则乙左右都可坐，个位置上，则乙左右都可坐，所以共有所以共有2(n 2)种可能由此得所求概率为：种可能由此得所求概率为：22(2)2(1)nn nn 几何概型几何概型若若 样本空间样本空间 充满某个区域，充满某个区域，其度量其度量(长度、面长度、面 积、体积积、体积)为为S；落在落在 中的任一子区域中的任一子区域A的概率，的概率，只与子区域的度量只与子区域的度量SA有关，有关，而与子区域的位置而与子区域的位置无关，无关，则事件则事件A的概率为的概率为:P(A)=SA/S 例例1.2.3 蒲丰蒲丰(Buffon)投针问题投针问题 平面上画有间隔为平面上画有间隔为
8、d 的等距平行线，的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为向平面任意投掷一枚长为l 的针，的针，求针与平行线相交的概率求针与平行线相交的概率.xdsin2l x O2dA解：解：以以x表示针的中点与最近一条平行线的距离，表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以又以 表示针与此直线间的交角表示针与此直线间的交角.易知样本空间易知样本空间 满足：满足：0 x d/2;0 .形成形成x-平面上的一个矩形，其面积为：平面上的一个矩形，其面积为：S =(d )/2.xdsin2l x O2dA A=“针与平行线相交针与平行线相交”的充要条件是的充要条件是:x (l/2)sin .针是任意投掷的，所以这个问题
9、可用几何方法针是任意投掷的，所以这个问题可用几何方法 求解得求解得0(/2)sind2()()/2AlSlP ASdd 由蒲丰投针问题知：长为由蒲丰投针问题知：长为l 的针与平行线相交的针与平行线相交的概率为的概率为:2l/d.而实际去做而实际去做 N 次试验，得次试验，得 n 次针与次针与平行线相平行线相交，则频率为交，则频率为:n/N.用频率代替概率得：用频率代替概率得：2lN/(/(dn).历史上有一些实验数据历史上有一些实验数据.蒙特卡罗（蒙特卡罗（Monte Carlo）法）法平面上画有间隔为平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意投的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为掷一个边长
10、为a,b,c(均小于均小于d)的的三角形三角形，求三角求三角形与平行线相交的概率形与平行线相交的概率 分析：分析：三角形与平行线相交有以下三种情况：三角形与平行线相交有以下三种情况：1)一个顶点在平行线上一个顶点在平行线上;2)一条边与平行线重合一条边与平行线重合;3)两条边与平行线相交两条边与平行线相交.前两种情况出现的概率为零前两种情况出现的概率为零.所以只要去确定两条边与平行线相交的概率所以只要去确定两条边与平行线相交的概率.解：解：记记Pab,Pac,Pbc,Pa,Pb,Pc分别为边分别为边ab,ac,bc,a,b,c与平行线相交的概率，则所求概率为与平行线相交的概率，则所求概率为 p
11、=P(三角形与平行线相交三角形与平行线相交)=Pab+Pac+Pbc.由蒲丰投针问题知由蒲丰投针问题知Pa=2a/(/(d),),Pb=2b/(/(d),),Pc=2c/(d).因为因为 Pa=Pab+Pac,Pb=Pab+Pbc,Pc=Pac+Pbc 所以所以 Pa+Pb+Pc=2(Pab+Pac+Pbc),由此得由此得 p=Pab+Pac+Pbc=(=(Pa+Pb+Pc)/2 =(=(a+b+c)/()/(d).).在单位圆内随机地取一条弦，其长超过该圆内在单位圆内随机地取一条弦，其长超过该圆内接等边三角形的边长接等边三角形的边长3的概率等于多少？的概率等于多少？这个问题看似简单，结果却让
12、人大跌眼镜我这个问题看似简单，结果却让人大跌眼镜我们可以用三个完全正确的方法，得到三个完全不同们可以用三个完全正确的方法，得到三个完全不同的答案！的答案！贝特朗奇论贝特朗奇论1根据几何学原理，圆内弦的长度根据几何学原理，圆内弦的长度与弦到圆心的距离有关从图一可与弦到圆心的距离有关从图一可以看出，当弦心距小于以看出，当弦心距小于1/2时，这条时，这条弦的长度大于三角形边长，所以这弦的长度大于三角形边长，所以这样求出的概率为样求出的概率为1/22将弦的一段固定在等边三角形的将弦的一段固定在等边三角形的某一个顶点上，然后另一端绕着圆周某一个顶点上，然后另一端绕着圆周旋转可以在图二中发现，只有当另旋转
13、可以在图二中发现，只有当另一端点位于上方的圆弧时，这条弦的一端点位于上方的圆弧时，这条弦的长度才会超过三角形的边长，由此可长度才会超过三角形的边长，由此可得所求概率为得所求概率为1/33再来考虑一条弦的中点，根据图再来考虑一条弦的中点，根据图三可以得出：只有当弦的中点位于半三可以得出：只有当弦的中点位于半径为径为1/2的小圆内部时这条弦的长度的小圆内部时这条弦的长度才满足要求，同时因为这个小圆的面才满足要求，同时因为这个小圆的面积是大圆的积是大圆的1/4，所以所求概率也是，所以所求概率也是1/4你能说出到底哪种方法是错的吗？如果它们都是你能说出到底哪种方法是错的吗？如果它们都是对的，那么这样的
14、一道客观题又怎么会有三个不同的对的，那么这样的一道客观题又怎么会有三个不同的答案呢？答案呢？其实这三种说法都是正确的但是它们的结果之其实这三种说法都是正确的但是它们的结果之所以不同，只是因为它们各自对问题的理解不同，采所以不同，只是因为它们各自对问题的理解不同，采用了不同的等可能性假定在第一种方法中，我们默用了不同的等可能性假定在第一种方法中，我们默认的是认的是“圆内弦到圆心的距离是均匀分布的圆内弦到圆心的距离是均匀分布的”；在第；在第二种方法中，我们默认的假设是二种方法中，我们默认的假设是“圆内弦的端点在圆圆内弦的端点在圆周上是均匀分布的周上是均匀分布的”；第三种方法默认的假设则是；第三种方
15、法默认的假设则是“圆内弦的中点在整个圆的内部是均匀分布的圆内弦的中点在整个圆的内部是均匀分布的”这这三种假设对应着三种不同的求解方法三种假设对应着三种不同的求解方法需要说的是，随意指责哪个假设是不合理的是需要说的是，随意指责哪个假设是不合理的是有所不妥，因为它们都是有依据的不妥的地方在有所不妥，因为它们都是有依据的不妥的地方在问题本身，这个问题问的并不严谨，没有对问题中问题本身，这个问题问的并不严谨，没有对问题中的的“基本空间基本空间”进行定义，导致在解题人求解时只进行定义，导致在解题人求解时只能依靠自己的理解补充解题所需条件如此一来，能依靠自己的理解补充解题所需条件如此一来，一问三解就不足为怪了一问三解就不足为怪了上述问题被称为上述问题被称为“贝特朗奇论贝特朗奇论”，是数学家贝，是数学家贝特朗在上世纪初提出来的，用于批判当时尚不严谨特朗在上世纪初提出来的，用于批判当时尚不严谨的概率论也正是在贝特朗工作的推动下，此后概的概率论也正是在贝特朗工作的推动下，此后概率论的研究开始向公理化方向发展率论的研究开始向公理化方向发展
