1、第二节 参 数 方 程1.1.参数方程参数方程参数方程的概念参数方程的概念一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标（x,yx,y）都是某个变数）都是某个变数t t的函数的函数 ，并且对于，并且对于t t取的每一个取的每一个允许值，由这个方程组所确定的点允许值，由这个方程组所确定的点P(x,y)P(x,y)都在这条曲线上，那都在这条曲线上，那么这个方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系么这个方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x,yx,y之间关系之间关系的变数的变数t t叫作叫作_，简称，简称_._.相对于参数方程，我们把直接用坐标（相对
2、于参数方程，我们把直接用坐标（x,yx,y）表示的曲线方程）表示的曲线方程f(xf(x，y)y)0 0叫作曲线的普通方程叫作曲线的普通方程.x f(t)y g(t)参变数参变数参数参数2.2.直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹轨迹普通方程普通方程参数方程参数方程直线直线y-yy-y0 0=tan(x-x=tan(x-x0 0)(点斜式点斜式)x=_,x=_,y=_.y=_.（t t为参数）为参数）圆圆(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2x=_,x=_,y=_.y=_.（为参数）为参数）椭圆椭圆(a(ab b0)0)x=_,
3、x=_,y=_.y=_.（为参数）为参数）2，x x0 0+tcos+tcos y y0 0+tsin+tsin a+rcos a+rcos b+rsin b+rsin acos acos bsin bsin 2222xy1ab3 3参数方程与普通方程参数方程与普通方程普通方程与参数方程普通方程与参数方程普通方程用普通方程用_直接表示点的坐标之间的关系；参数方程直接表示点的坐标之间的关系；参数方程是借助于是借助于_间接地反映点的坐标之间的关系间接地反映点的坐标之间的关系.代数式代数式参数参数判断下面结论是否正确（请在括号中打判断下面结论是否正确（请在括号中打“”“”或或“”）.（1 1）曲线的
4、参数方程中的参数都有实际意义）曲线的参数方程中的参数都有实际意义.().()（2 2）参数方程与普通方程互化后表示的曲线是一致的）参数方程与普通方程互化后表示的曲线是一致的.().()（3 3）圆的参数方程中的参数）圆的参数方程中的参数与椭圆的参数方程中的参数与椭圆的参数方程中的参数的几何意义相同的几何意义相同.().()（4 4）普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一）普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一.().()【解析解析】（1 1）错误）错误.曲线的参数方程中的参数，可以具有物理曲线的参数方程中的参数，可以具有物理意义，可以具有几何意义，也可以没有明显的实际意义意义，可以具有
5、几何意义，也可以没有明显的实际意义.（2 2）错误）错误.把普通方程化为参数方程后，很容易改变变量的取把普通方程化为参数方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致.（3 3）错误）错误.圆的参数方程中的参数圆的参数方程中的参数表示半径的旋转角，而椭表示半径的旋转角，而椭圆的参数方程中的参数圆的参数方程中的参数表示对应的大圆或小圆半径的旋转角，表示对应的大圆或小圆半径的旋转角，即离心角即离心角.（4 4）正确）正确.用参数方程解决转迹问题，若选用的参数不同，那用参数方程解决转迹问题，若选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的
6、形式就不同么所求得的曲线的参数方程的形式就不同.答案：（答案：（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）考向考向 1 1 参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互化【典例典例1 1】已知参数方程：已知参数方程：(1)(1)若若t t为常数，为常数，为参数，判断方程表示什么曲线？为参数，判断方程表示什么曲线？(2)(2)若若为常数，为常数，t t为参数，方程表示什么曲线？为参数，方程表示什么曲线？【思路点拨思路点拨】将参数方程消去参数化为普通方程将参数方程消去参数化为普通方程F(x,y)=0F(x,y)=0，再，再判断曲线形状判断曲线形状.1x(t)sin t(t0)1y(t)cos t【规
7、范解答规范解答】(1)(1)当当tt1 1时，由得时，由得 由得由得它表示中心在原点，长轴长为它表示中心在原点，长轴长为 短轴长为短轴长为 焦点在焦点在x x轴上的椭圆；轴上的椭圆；当当t=t=1 1时，时，y=0y=0，x=x=2sin,x2sin,x2,22,2,它表示在它表示在x x轴上轴上2,22,2的线段的线段.xsin 1tt，22yxycos()()1111tttttt，12tt，12t,t(2)(2)当当 时，由得时，由得 由得由得平方相减得平方相减得 即即它表示中心在原点，实轴长为它表示中心在原点，实轴长为4|sin|4|sin|，虚轴长为，虚轴长为4|cos|4|cos|，
8、焦点在，焦点在x x轴上的双曲线；轴上的双曲线；当当=k(kZ)=k(kZ)时，时，x=0 x=0，它表示，它表示y y轴；轴；当当 时，时，y=0y=0，由于当由于当t t0 0时，时，当当t t0 0时，时，于是于是|x|2.|x|2.方程方程y=0y=0（|x|2|x|2）表示）表示x x轴上以（轴上以（2 2，0 0）和（）和（2 2，0 0）为端）为端点的向左和向右的两条射线点的向左和向右的两条射线k(k Z)2x1tsin t，y1tcos t，2222xy4,sincos2222xy14sin4cosk(k Z)2 1x(t).t 1t2t ；1t2t，【拓展提升拓展提升】将参数
9、方程化为普通方程时消参的常用方法将参数方程化为普通方程时消参的常用方法(1)(1)代入法代入法:先由一个方程求出参数表达式先由一个方程求出参数表达式(用直角坐标变量表用直角坐标变量表示）示）,再代入另一方程再代入另一方程.(2)(2)利用代数或三角函数中的恒等式消参利用代数或三角函数中的恒等式消参.【变式训练变式训练】已知椭圆方程为已知椭圆方程为 写出参数方写出参数方程程.【解析解析】即为所求参数方程即为所求参数方程.22x 1y 21.35x 1y 2cos,sin,35x 13cos,y25sin 设则为参数考向考向 2 2 圆的参数方程与应用圆的参数方程与应用【典例典例2 2】已知直线的
10、极坐标方程为已知直线的极坐标方程为 圆圆M M的参的参数方程为数方程为（1 1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程.（2 2）求圆）求圆M M上的点到直线的距离的最小值上的点到直线的距离的最小值.【思路点拨思路点拨】（1 1）利用三角函数恒等式化简后得到直线的直）利用三角函数恒等式化简后得到直线的直角坐标方程角坐标方程.（2 2）利用直线与圆的位置关系以及几何性质计算最小值）利用直线与圆的位置关系以及几何性质计算最小值.2sin()42，x2cos,y2 2sin.（其中 为参数）【规范解答规范解答】（1 1）sin+cos=1sin+cos=1，所以直线的
11、直角坐标方程为所以直线的直角坐标方程为x+y-1=0.x+y-1=0.（2 2）圆）圆M M的普通方程为的普通方程为x x2 2+(y+2)+(y+2)2 2=4=4，圆心圆心M(0,-2)M(0,-2)到直线到直线x+y-1=0 x+y-1=0的距离的距离所以直线与圆相离，圆所以直线与圆相离，圆M M上的点到直线的距离的最小值为上的点到直线的距离的最小值为2sin()42，22sin cos,22 0 2 13 2dr222，3 22.2【拓展提升拓展提升】直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系（1 1）设圆的半径为）设圆的半径为r r，圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为d d，直线与圆的
12、普，直线与圆的普通方程联立所得的一元二次方程的根的判别式为通方程联立所得的一元二次方程的根的判别式为，则，则（2 2）当直线与圆相离时，圆上的点到直线的距离的最大值为）当直线与圆相离时，圆上的点到直线的距离的最大值为d+rd+r，最小值为，最小值为d-r.d-r.位置位置关系几何性质关系几何性质判别式判别式相交相交d dr r0 0相切相切d=rd=r=0=0相离相离d dr r0 0【提醒提醒】判断直线与圆的位置关系有几何法和解析法（即判别判断直线与圆的位置关系有几何法和解析法（即判别式法）两种，解题时要灵活选取不同的方法式法）两种，解题时要灵活选取不同的方法.【变式训练变式训练】已知圆的方
13、程为已知圆的方程为x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0,+2x-6y+9=0,将它化为参数将它化为参数方程方程.【解析解析】把把x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化为标准方程为化为标准方程为:(x+1):(x+1)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1.=1.参数方程为参数方程为x1 cos,.y 3 sin 为参数考向考向 3 3 极坐标方程与参数方程的综合题极坐标方程与参数方程的综合题【典例典例3 3】（20122012辽宁高考）在直角坐标系辽宁高考）在直角坐标系xOyxOy中，圆中，圆C C1 1:x:x2 2+y+y2 2=4=4，圆，圆C
14、C2 2:(x-2):(x-2)2 2+y+y2 2=4.=4.(1)(1)在以在以O O为极点，为极点，x x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆圆C C1 1,C,C2 2的极坐标方程，并求出圆的极坐标方程，并求出圆C C1 1,C,C2 2的交点坐标的交点坐标(用极坐标表用极坐标表示示).).(2)(2)求出求出C C1 1与与C C2 2的公共弦的参数方程的公共弦的参数方程.【思路点拨思路点拨】（1 1）由公式求得极坐标方程，再将极坐标方程）由公式求得极坐标方程，再将极坐标方程联立方程组求交点坐标联立方程组求交点坐标.（2 2）将两圆交点的极坐标化
15、为直角坐标，再求公共弦的参数）将两圆交点的极坐标化为直角坐标，再求公共弦的参数方程方程.【规范解答规范解答】(1)(1)由公式由公式 得得x x2 2+y+y2 2=2 2，所以圆所以圆C C1 1:x:x2 2+y+y2 2=4=4的极坐标方程为的极坐标方程为=2=2，圆圆C C2 2:(x-2):(x-2)2 2+y+y2 2=4=4的极坐标方程为的极坐标方程为=4cos.=4cos.解解所以圆所以圆C C1 1,C,C2 2的交点的极坐标为的交点的极坐标为(2)(2)由（由（1 1）知，圆）知，圆C C1 1,C,C2 2的交点的直角坐标为的交点的直角坐标为所以圆所以圆C C1 1,C,
16、C2 2的公共弦的参数方程为的公共弦的参数方程为xcos,ysin 2,2,4cos 3得，2,2,.33()，()1,31,3()，()，x 1,(3t3).y t【拓展提升拓展提升】圆与圆的位置关系以及应用圆与圆的位置关系以及应用(1)(1)两圆的位置关系以及意义（两圆的半径分别为两圆的位置关系以及意义（两圆的半径分别为R,rR,r，且，且Rr,dRr,d为圆心距）为圆心距）位置位置图形图形几何性质几何性质交点个数交点个数外离外离 dR+rdR+r0 0个个外切外切d=R-rd=R-r1 1个个位置位置图形图形几何性质几何性质交点个数交点个数相交相交R-rdR+rR-rdR+r2 2个个内
17、切内切d=R-rd=R-r1 1个个内含内含dR-rdR-r0 0个个(2)(2)若圆若圆C C1 1与圆与圆C C2 2外离，圆心距为外离，圆心距为d,d,两圆的半径分别为两圆的半径分别为R R1 1,R,R2 2，动点动点A A在圆在圆C C1 1上，动点上，动点B B在圆在圆C C2 2上，则上，则A A，B B之间距离的最小值为之间距离的最小值为d-Rd-R1 1-R-R2 2，最大值为，最大值为d+Rd+R1 1+R+R2 2.(3)(3)若两圆相交，则公共弦所在直线的方程可直接由两圆的直若两圆相交，则公共弦所在直线的方程可直接由两圆的直角坐标方程相减得到角坐标方程相减得到.【变式训
18、练变式训练】（1 1）（）（20122012湖南师大附中模拟）在极坐标系湖南师大附中模拟）在极坐标系中，圆中，圆C C1 1的方程为的方程为 以极点为坐标原点，极轴为以极点为坐标原点，极轴为x x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C C2 2的参数方程为的参数方程为 若圆若圆C C1 1与圆与圆C C2 2外切，求实数外切，求实数a a的值的值.（2 2）(2012(2012湖北高考改编湖北高考改编)在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中，以原点中，以原点O O为为极点，极点，x x轴的正半轴为极轴建立极坐标系轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知射线已知射线 与与曲
19、线曲线 相交于相交于A A，B B两点，求线段两点，求线段ABAB的中点的的中点的直角坐标直角坐标.4 2cos()4，x1 acos,y1 asin （为参数），42x t 1,tyt 1（为参数）【解析解析】(1)(1)圆圆C C1 1的方程的方程 化为化为 即即x x2 2+y+y2 2-4x-4y=0-4x-4y=0，其圆心，其圆心C C1 1（2,22,2），半径），半径 圆圆C C2 2的参数方程化为普通方程为的参数方程化为普通方程为(x+1)(x+1)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=a=a2 2，其圆心，其圆心C C2 2（-1,-1-1,-1），半径），半径r r2 2=
20、|a|=|a|，因为两，因为两圆外切，所以圆外切，所以4 2cos()4，2224 2(cos sin)22，1r2 2,12a2 2CC3 2,a2.解得（2 2）射线）射线 在直角坐标系下的直角坐标方程为在直角坐标系下的直角坐标方程为y=xy=x(x(x0)0)，将参数方程，将参数方程 转化为直角坐标系下转化为直角坐标系下的普通方程为的普通方程为y=(t-1)y=(t-1)2 2=(x-1-1)=(x-1-1)2 2=（x-2x-2）2 2，表示一条抛物，表示一条抛物线，联立上面两个方程，消去线，联立上面两个方程，消去y y有有x x2 2-5x+4=0-5x+4=0，设，设A,BA,B两点及其两点及其中点的横坐标分别为中点的横坐标分别为x xA A,x,xB B,x,x0 0，则由根与系数的关系，得，则由根与系数的关系，得 又由于中点在直线又由于中点在直线y=xy=x上，因此上，因此ABAB的中点坐标的中点坐标为为42x t 1,tyt 1（为参数）AB0 xx5x,225 5(,).2 2感谢大家观看最新学习可编辑资料
