1、第四章 函数应用1函数与方程1.1利用函数性质判定方程解的存在1.了解函数的零点的概念,理解函数的零点与方程的根的关系.2.掌握函数零点的判定定理,会探究在某区间上图像连续的函数存在零点的判定方法.3.会求简单函数的零点,体会函数与方程思想及数形结合思想等数学思想的应用.1.函数的零点【做一做1-1】函数y=x的零点是()A.(0,0)B.0C.1D.不存在答案:B【做一做1-2】函数f(x)=x2-2x的零点个数是()A.0B.1C.2D.3答案:C2.函数零点的判定定理若函数y=f(x)在闭区间a,b上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)f(b)0,则在区间(a,b
2、)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解.名师点拨当函数y=f(x)同时满足:函数的图像在闭区间a,b上是连续的曲线;f(a)f(b)0,则可以判断函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,但是不能明确说明有几个零点.当函数y=f(x)的图像在闭区间a,b上不是连续的曲线,或不满足f(a)f(b)0,所以有f(3)f(4)=0,但3是函数f(x)的一个零点.函数f(x)=x2在区间-1,1上有f(-1)f(1)=10,但是函数f(x)在区间-1,1上存在零点0.函数 在区间-1,1上有f(-1)f(1)0,但是由其图像知函数f(x
3、)在区间-1,1内无零点.【做一做2-1】已知函数f(x)=x3-x-1仅有一个正零点,则此零点所在的区间是()A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)解析:利用零点存在的判定条件,判断零点存在的区间.f(0)=-10,f(1)=-10,f(3)=230,f(4)=590.根据选项,只有区间(1,2)满足.答案:C【做一做2-2】已知函数f(x)=mx-1在(0,1)内有零点,则实数m的取值范围是.解析:由f(0)f(1)0得(-1)(m-1)1.答案:(1,+)题型一题型二题型三题型四题型一 求函数的零点【例1】判断下列函数是否存在零点,若存在,请求出零点:分析:求函数的零点
4、就是求相应方程的实数解.题型一题型二题型三题型四(2)令3x-9=0,即3x=9,解得x=2,所以函数f(x)=3x-9存在零点,且零点为2.(4)令1-log3x=0,解得x=3,所以函数f(x)=1-log3x存在零点,且零点是3.题型一题型二题型三题型四反思求函数零点的方法求函数f(x)的零点即求方程f(x)=0的实数解.若方程f(x)=0有实数解,则函数f(x)存在零点,否则函数f(x)不存在零点.(1)对于二次函数的零点,可以用多种方法求解,如公式法、因式分解法、配方法等.(2)对于三次及三次以上的高次函数的零点,一般采用因式分解法.(3)对于指数、对数函数的零点,一般是解指数、对数
5、方程.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】若f(x)=ax-b(b0)有一个零点3,则函数g(x)=bx2+3ax的零点是.解析:由f(x)=ax-b(b0)有一个零点3,得3a-b=0,即3a=b,又g(x)=bx2+3ax=x(bx+3a)=x(bx+b).令g(x)=0,解得x1=0,x2=-1.答案:0和-1题型一题型二题型三题型四题型二 判断函数的零点个数【例2】求函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数.分析:方法一,借助函数f(x)的单调性确定;方法二,借助函数f(x)的图像确定.解:(方法一)f(0)=1+0-2=-10,f(x)=0在(0,2)上必定存在实根.又f(
6、x)=2x+lg(x+1)-2在定义域(-1,+)上为增函数,故f(x)有且只有一个零点.题型一题型二题型三题型四(方法二)在同一平面直角坐标系下分别作出函数h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+1)在(-1,+)上的图像,如图.由图像知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x有且只有一个交点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.题型一题型二题型三题型四反思判断函数零点个数的方法主要有:(1)解方程:当能直接求解零点时,就直接求出.(2)用定理:零点存在性定理.(3)利用图像的交点:有些题目可先画出某两个函数y=f(x),y=g(x)的图像,其交点的横坐标就是h(x)=
7、f(x)-g(x)的零点.题型一题型二题型三题型四x0,x3-1=0.(x-1)(x2+x+1)=0.x=1或x2+x+1=0.方程x2+x+1=0的判别式=12-4=-30,方程x2+x+1=0无实根.函数f(x)只有一个零点.在同一平面直角坐标系中画出h(x)和g(x)的图像,可知两图像只有一个交点,题型一题型二题型三题型四题型三 判断方程的根所在的大致区间【例3】求证:方程5x2-7x-1=0的根一个在区间(-1,0)上,另一个在区间(1,2)上.分析:证明方程5x2-7x-1=0的两个根分别位于(-1,0)和(1,2)上,即证f(x)=5x2-7x-1在(-1,0)和(1,2)上各有一
8、个零点.证明:设f(x)=5x2-7x-1,则f(-1)f(0)=11(-1)=-110,f(1)f(2)=(-3)5=-150.而二次函数f(x)=5x2-7x-1的图像是连续的曲线,所以f(x)在(-1,0)和(1,2)上各有一个零点,即方程5x2-7x-1=0的根一个在区间(-1,0)上,另一个在区间(1,2)上.题型一题型二题型三题型四反思判断方程的根所在的大致区间可转化为判断函数的零点所在的大致区间.判断函数f(x)是否在(x1,x2)上存在零点,除验算f(x1)f(x2)0是否成立外,还需考察函数的图像在(x1,x2)上是否连续.若要判断根的个数,还需结合函数的单调性.题型一题型二
9、题型三题型四【变式训练3】函数f(x)=x+lg x-3的零点所在的大致区间是()答案:C 题型四题型一题型二题型三题型四 易错辨析易错点:忽略对参数的分类讨论而致误【例4】若函数f(x)=ax2-x-1只有一个零点,求实数a的值.错解:因为函数f(x)=ax2-x-1只有一个零点,所以即1+4a=0,所以a=-.错因分析错解的原因在于没有对函数f(x)=ax2-x-1的二次项系数a进行讨论,直接把f(x)=ax2-x-1当作二次函数来处理,忽略了当a=0时,f(x)=-x-1的情况,从而导致了漏解.题型四题型一题型二题型三正解:当a=0时,函数f(x)=-x-1,显然,该函数图像与x轴只有一
10、个交点,满足题意.当a0时,函数f(x)=ax2-x-1是二次函数,因为f(x)=ax2-x-1只有一个零点.所以方程ax2-x-1=0有两个相等的实根.题型四题型一题型二题型三【变式训练4】关于x的方程(m-1)x2+2(m+1)x-1=0有且只有一个实数根,则实数m的取值集合为.解析:当m=1时,原方程可化为4x-1=0,即x=,符合题意;当m1时,由题意得=4(m+1)2+4(m-1)=0,解得m=-3或m=0,故满足题意的m的取值集合为-3,0,1.答案:-3,0,11234561下列函数不存在零点的是()解析:令y=0,得选项A和C中函数的零点均为1和-1;选项B中函 答案:D 12
11、34562在下列四个区间中,函数 一定存在零点的一个区间是()A.(6,7)B.(7,8)C.(8,9)D.(9,10)解析:f(9)=lg 9-10,f(10)=f(9)f(10)0,f(3)0,即f(2)f(3)0,又函数的图像是连续的,所以断定f(x)的零点所在的一个区间为(2,3).同理可得f(x)的零点所在的区间为(3,4),(4,5).答案:1234564已知函数f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比0大,一个零点比0小,则实数a的取值范围为.解析:由题意可知f(0)=a-20,解得a2.答案:(-,2)1234565已知函数f(x)=2x-3x2,问方程f(x)=0在区间-1,0内有没有实数解?为什么?解:有实数解.理由如下:f(-1)=-30,又函数f(x)=2x-3x2的图像是连续曲线,f(x)在区间-1,0上有零点,故f(x)=0在区间-1,0内有实数解.1234566已知函数f(x)=ln x+x2-a有一个零点在(1,2)内,求a的取值范围.解:因为y1=ln x和y2=x2在区间(1,2)上都是增加的,所以函数f(x)=ln x+x2-a在区间(1,2)上也是增加的,由题意知f(1)f(2)0,即(ln 1+1-a)(ln 2+4-a)0,解得1a4+ln 2.故a的取值范围为(1,4+ln 2).
