1、第14讲 混凝土的裂缝与刚度理论 n混凝土的裂缝与刚度n裂缝计算理论n刚度及挠度计算n受弯构件裂缝与刚度的关系及其应用n小结n本章参考文献混凝土的裂缝与刚度 裂缝与刚度密切相关:裂缝的开展会使刚度降低，挠度增大；刚度较小的构件，会提早开裂，加剧刚度变小。1、裂缝 裂缝的出现：是混凝土材料本身固有的物理性质，它对弹塑性、徐变、强度、变形、泊松比、刚度、化学反应等有较大影响。结构外观的破损、力筋的腐蚀、结构功能的丧失、结构的破损和倒塌均与其相关。研究裂缝机构：美国ACI224委员会、英国C&CA、德国DIN、法国CCBA、欧洲CEB、CEBFIP。裂缝分类:微观裂缝,宏观裂缝 在荷载作用下，微观裂
2、缝会扩展并迅速增多，相互之间串连起来，形成工程上广泛研究的宏观裂缝，直至完全破坏。宏观裂缝：指各种作用（外荷载、温度、收缩、沉陷、变位等）作用下产生的裂缝，宏观裂缝按形状分为：表面的、贯穿的、纵向的、横向的、上宽下窄、下宽上窄、枣核形、对角线式、斜向的、外宽内窄的和纵深的（深度达1/2厚度）裂缝的型状：与结构应力分布有直接关系，裂缝方向一般同主拉应力方向垂直或与剪应力平行 裂缝研究结论：（1）平均应变符合平截面假定，但量测区段必需有足够的长度（2）受拉钢筋应变和量测平均应变曲线间存在近似平行关系（3）钢筋混凝土受弯构件，在使用荷载范围内计算受压边缘混凝土平均应变的截面弹塑性抵抗矩系数可取为常数
3、（4）裂缝平均间距和平均宽度大致分别为钢筋直径和配筋率之比及钢筋应力的线性函数，可近似地正比（5）预应力梁和非预应力梁，弯矩挠度曲线间存在近似平行关系混凝土梁荷载混凝土梁荷载挠度变化曲线挠度变化曲线2、刚度 挠度：短期、长期 挠度的计算：与混凝土裂缝的开展、混凝土的徐变和收缩特性有密切关系。钢筋混凝土构件中开裂前、后挠度的计算是不同的，开裂后的计算与配筋率有密切的关系 研究挠度的理论：就是研究刚度的理论。RCRC梁的弯矩梁的弯矩曲率曲线曲率曲线 刚度研究结论：（1）三个受力阶段：整体、带裂缝、极限变形阶段（2）未开裂梁的全截面都参与工作，曲线近似地呈直线变化（3）弯矩达到开裂弯矩，混凝土开裂，
4、由于有裂缝出现，梁的刚度不再是常量，挠度计算也趋于复杂（4）弯矩达到极限，受拉钢筋屈服，受压区混凝土的塑性得到充分发挥，结构进入延性阶段裂缝计算理论 裂缝计算模式：粘结滑移理论（Saligar）无滑移理论（Base）基于实验的统计公式 有滑移和无滑移统一理论ctcssssfAAA21 轴心受拉裂缝计算轴心受拉裂缝计算 crmssssulAA21sssdAdu/41、粘结滑移理论（1）受拉构件裂缝理论（英国Saligar、1936）认为钢筋的应力是通过钢筋与混凝土之间的粘结应力传给混凝土的，由于钢筋和混凝土之间产生相对滑移，变形不再一致而导致裂缝开展smctssmctcmctccrdfAdfAu
5、fAl44scrdklcsAA/rdkklcr21无穷大时趋于零无穷大时趋于零?受弯构件应用：配筋率改为有效截面的配筋率 ，取 高度范围内的受拉区混凝土的面积来计算有效截面te2/h 矩形、T形：bhAhbAstete/2,2 倒T、I字形：ffstefftehbbbhAhbbbhA)(5.0,)(21裂缝宽度：裂缝间距范围内钢筋和混凝土的变形差：混凝土的平均应变很小，若忽略不计，平均裂缝宽度 crcsmlmssmlE钢筋应变钢筋应变不均匀系数不均匀系数fbbhfh 钢筋应变不均匀系数：与钢筋应力有关，配筋率、粘结力、混凝土强度等有关。建议式：丹麦Efsen：s601 Hemuponckun：
6、MMfcrctct11丁大均：MMcr111.赵国藩：sctf21混凝土拉应力完整性系数xcrssxxlxAu 0 0d21的的分分布布图图式式x裂缝间钢筋应力：若 按直角三角形变化规律分布，应力差xsslxsssAxuA2/0 crd)(（2）受弯构件裂缝分析（a）Hognestad理论 按三角形变化，混凝土握裹钢筋的面积abAr2 受弯构件开裂处受力图式 裂缝间距中点处混凝土应力达到 ：ctfulAAcrsssss2)(sdnu2ctrssfAAulfAcrctr22ufAlctrcrrsAdn424sctcrdfl力平衡：41maxsctssdfE 忽略混凝土的伸长量：crsslE1ma
7、x 函数关系：ctsssfdEf,1maxcmtcof2ABCD隔离体平衡条件：cmtcefssfAA41cefscmtsAAf/41cefsAA/cmtsf41 裂裂缝缝间间受受力力状状态态（b）Tssios理论cmtcefcoceffAA2121混凝土的最混凝土的最大弯曲应力大弯曲应力D点混凝土点混凝土的应力的应力CD截面上混凝截面上混凝土的面积土的面积CD面上承受的力：钢筋的平衡条件：crsssldA2124142crscmtsldfdscmtcrdfl81普遍表达式：scrdKKl21与结构受力方与结构受力方式有关的系数式有关的系数混凝土极限拉伸强度与混凝土极限拉伸强度与粘结应力的有关
8、参数粘结应力的有关参数裂缝宽度裂缝宽度crsmfl2、无滑移理论 假设沿钢筋的水平面上钢筋与混凝土之间不存在相对滑移，钢筋处的裂缝宽度应该为零，裂缝开展的外形呈楔形，在混凝土边沿上裂缝最宽。裂缝形成的重要原因是钢筋周围混凝土的变形所引起的mfkcmax使用规范：英国BS8110规范与钢筋表面类型有关系数3、统计方法 Grergely和Lutz对六组不同研究者所进行的612个底面裂缝宽度和355个侧面裂缝宽度的实测数据进行了统计分析，给出梁底裂缝宽度3maxrbsAak)/()(0 xhxhnAAer/：应变梯度参数：一根钢筋周围有效混凝土的面积与钢筋面积形心相重与钢筋面积形心相重合的外围混凝土
9、面积合的外围混凝土面积最下排钢筋离最下排钢筋离梁底的距离梁底的距离使用规范：使用规范：美国美国ACIACI规范、规范、中国公路桥梁规范中国公路桥梁规范sssrEdAKcK21max4、有滑移无滑移统一理论 Beeby认为混凝土完全开裂之前，已经产生粘结破坏，破坏机理可能是由于纯滑移产生，也可能是由于内部开裂产生。裂缝宽度是有滑移与无滑移的组合 中国GBJ规范演变为：sessswmdKcKEK21sesmdKcKKl211 系数 根据理论和试验研究分析结果确定K5、王铁梦裂缝模型简介 理论：滑移理论 假定：粘结应力与滑移量成正比 裂缝间距与混凝土保护层的厚度 之比小于或等于0.1 方法：建立力的
10、平衡方程，求解钢筋应力（1）中心受拉混凝土构件 中心受拉钢筋混凝土构件建立裂缝分析模型Cs0)(d)(dxxdnAxsss0ddsssAxdnxx)()(中中心心受受拉拉构构件件开开裂裂内内力力分分析析模模型型 xsExxCsxssdddd)(,)(42ssdnA04dd22sdECxsssssdEC4xBAsxshchxlExlEApxssssssh2chsh2ch)(max位移：最大位移发生在 处：2/lx 2tmaxmaxlhEsss 粘结应力分布：xlECCsxsssh2ch)(max钢筋应力分布：2chchdd)(maxlxxsExsss混凝土微段的内力平衡条件：ccssssAxAx
11、A)()(max2chch1)(maxlxxsc)N/mm(13pC 当 时，混凝土开裂，则开裂荷载 ctcfcP2chch1maxlxAfAPsctssc 混凝土的应力在裂缝中间（混凝土的应力在裂缝中间（）处为最大。）处为最大。当构件裂缝中间的混凝土应力已经达到极值而未开当构件裂缝中间的混凝土应力已经达到极值而未开裂时，裂缝间距为最大，但裂缝间的混凝土刚达到裂时，裂缝间距为最大，但裂缝间的混凝土刚达到抗拉强度并即开裂，则此裂缝间距为是最小抗拉强度并即开裂，则此裂缝间距为是最小0 xcutcctcEf1ch0 xxllsc1maxch1cutcssElmaxmaxminarcch1minmax
12、2ll 平均裂缝宽度：22/),(lxsscsm 22th2th2 d)(2th2d)(22/0 max2/0 maxccccsslccsslccmAElAElEAlPxExlExExs 受弯构件应力分布受弯构件应力分布（2）受弯构件 开裂截面中性轴 和未开裂截面中性轴 ，混凝土应变呈直线分布，平衡方程：fcsfsbzA210zfzffcffcsfzzhzzh0cccEffscsfssfzzhnE0222bhnAzbAnzssfssfhnnzssf121未开裂截面，平衡方程：ccctssbzbzhA002121)(hnnzs1210 取开裂截面与未开裂截面之间的一梁段为隔离体：Mbhzhxzh
13、Axctss322300)()(fctssfszz 00,max3fssfzhAM开裂截面：假定两裂缝间钢筋应力分布与中心受拉杆件相同：2chchlxxsfs)(混凝土的应力分布：2ch3ch31300lzhxzhbhzhMxfct)()(混凝土开裂时：cutcctctEfx)(cutcfbhEzhMzhzhMl333arcch200max 裂缝宽度：2th333232th12000lzhzhbhEzhMbhEzhMlEfccss)()(maxccssfbhEzhMlbhEzhzhEAlzhM0max00maxmax3)(3312th32maxmin21ll2/minmaxlllm6 6、裂缝
14、宽度计算的规范公式、裂缝宽度计算的规范公式（1 1）公路桥涵设计规范）公路桥涵设计规范统计方法统计方法 JTJ023-85JTJ023-85：距（距（T T、I I）形）形RCRC受弯构件受弯构件1028030321.maxsssfdEccc1028.030321dEcccWsssfk JTG D62-2019JTG D62-2019：a a、距（、距（T T、I I）形）形RCRC（B B类类PCPC）受弯、拉、偏拉、）受弯、拉、偏拉、偏压构件，偏压构件，p60p60式（式（6.4.36.4.3）b b、圆形、圆形RCRC偏压构件，偏压构件，p62式（式（6.4.5-1）)52.1004.0
15、(03.021CdEccWsssfK（2）铁路桥涵设计规范（TB10062.3-99）统计方法zsssfdErkk4088021.（3）混凝土结构设计规范（GB50010-2019）有无滑移、统计方法tessskcrdcE08091.max （4）ACI318规范统计方法63100211Aabs.从受拉混凝土表面从受拉混凝土表面及从钢筋中心至中及从钢筋中心至中性轴距离之比性轴距离之比 （5）BS8110规范无滑移理论 xhcaacrmcrmin213)()(xdAExaxhbssslm31121xIEMccl混凝土表面至最混凝土表面至最近钢筋的距离近钢筋的距离受拉钢筋的最受拉钢筋的最小保护层厚
16、度小保护层厚度从中性轴到计算裂从中性轴到计算裂缝宽度点（即要计缝宽度点（即要计算处）的距离算处）的距离 若 为负值，表明不开裂；m 若 ，则 无滑移理论mincacrmcmin3mxh)(.max 51取法取法cra（7）CEB-TFP模式规范有滑移理论)(maxcscmsml 裂缝间距；在 段内钢筋平均应变；在 段内混凝土的平均应变；由于收缩引起的混凝土应变。maxlsmmaxlcmmaxlcs详细规定7（8）前苏联ChhII规范（1984年）统计法 受弯及偏压构件的垂直截面裂缝宽度3)1005.3(20sssldE7、裂缝宽度计算比较（1）A.W.Beey的裂缝宽度对比图（2）S.Sygu
17、la的裂缝宽度对比图（3）周氐的裂缝宽度对比图（4）张士铎的裂缝宽度对比图一（5)张士铎的裂缝宽度对比图二8、长期及反复荷载作用对裂缝宽度的影响 长期荷载与反复荷载作用，裂缝宽度将增大，长期荷载影响比反复荷载影响大 （1）长期裂缝宽度普遍公式：),(maxflEcrss钢筋应力不钢筋应力不均匀系数均匀系数钢筋的蠕变影钢筋的蠕变影响系数响系数混凝土长期收缩及梁混凝土长期收缩及梁曲率影响系数曲率影响系数徐变影徐变影响系数响系数 文献2（丁大均）：02.),(f 文献9（水规）：81.),(f 前苏联1972年规范草案：51.),(f J.M.Illston根据试验结果：02.),(f 系数均取极值
18、，长荷荷载作用下裂缝宽度crssllE42.maxmax 最大值 平均值 最小值crssllE51.minmaxcrssmllE951.max 系数取值建议：文献3（张士铎）：=0.91.0，=1.2 =1.62.0，=1.051.0（2）重复荷载作用（J.M.Loveyrove）NNNg l)g l0227.0382.0(0 按常用公式计算的初期裂缝宽度0 重复加载次数 当 =2106时，系数为1.58NN 对于长期及重复荷载作用下裂缝计算理论研究不多9、部分预应力混凝土裂缝计算方法简介 方法一：按弹性力学计算混凝土受拉边缘的名义拉应力或钢筋应力增量，限制应力的来代替裂缝宽度的计算。目前公路
19、桥梁设计多采用此方法 方法二：直接计算裂缝宽度，不超过容许值（1）CEB-FIP（1970年）)()(maxmm10403p 当荷载重复100次以上时)(maxmm103p（2）日本部分PC梁设计准则（草案）csssessEdcc)(.704消压后的消压后的应力增量应力增量纵筋的中纵筋的中心距（心距（cm）（CM）混凝土的收缩应变610150内力 引起的钢筋应力增量，且，其中 、分别为恒、活荷载的内力，对列车荷载 可取为0.2eSrpeSkSS2pSrS2k（3）英国E.W.Bennett)(mm21cEss 钢筋最小保护层厚度；残余裂缝宽度及预应力钢筋受拉前在混凝土 梁底部已有的微小开裂，其
20、值为0.020.04mm；c1 两套系数试验常数，当为螺纹钢筋时，该值 为3.8和6.5；2 、普通钢筋的拉应力和弹性模量。ssE（4）Nawy（Ks1单位）pctuA510max 系数；先张梁5.85；后张梁6.53；后张无粘结梁6.83（5）赵国藩（中国公路桥梁规范）mm)1028030321(.maxesessdEccc)(87.0)1()(87.0000pspssAAhMAAhMM212211nndndndse0.02时，取0.02ffpsehbbbhAA)(0 考虑荷载特征、钢筋粘结特性、长期及重复荷载影响系数 ic（6）荷兰规范（1974年）)(.maxmm10522805spss
21、pdc 消压后预应力筋与钢筋重心处的应力增量；sp 预应力筋和普通钢筋的平均直径；sd 计算裂缝宽度配筋率sp0100bhAAspsp/)(（7）丁大均2 早期建议：ppsEd1max16.080 文献2修改（2000）：01max7.01)21(16.080hAMEdpcrpps（8）国内有关规范 铁路桥梁规范（TB10002.3-99）采用“特征裂缝宽度”概念（指小于该特征值的保证率为95%的裂缝宽度），建议公式形式为)(.mm42321ssspspsfkEdc1裂缝宽度扩大系数5)(2.1),(1.110)9910002TB(8.1板式梁式2 裂缝长期增长系数55.2)993.10002
22、TB(5.110)(4.1),(2.1长期组合短期组合-钢筋粘结特性系数3由力筋应力增量替换钢筋由力筋应力增量替换钢筋混凝土裂缝计算中的应力混凝土裂缝计算中的应力 10、PC梁裂缝计算值对比11、裂缝计算理论小结 （1）裂缝宽度qfcs轴拉构件：csNmax 受弯构件：)()(max承拉面侧面侧qfcscsN 滑移裂缝宽度s 混凝土弹性回缩值c 受弯构件挠曲变形使裂缝增加部分f 钢筋表面处到外表面总的剪切变形q（2）斜、剪切和受扭裂缝 当主拉应力过大时，会出现比直裂缝更为危险的斜裂缝，斜裂缝的机理与剪跨比有密切关系 剪跨比M=截面的弯曲应力/剪应力 当M3时，首先出现斜裂缝，然后沿斜裂缝被拉断
23、，最为危险 对于剪切裂缝、受扭裂缝及各种复杂应力状态下的混凝土开裂问题，还没有规范对此作出建议（3）裂缝宽度计算理论展望 短期荷载作用下混凝土裂缝宽度计算理论已基本成熟，但各家计算公式差异很大，所反映的参数不一，各自对其试验数据可能符合较好，还远未达成统一。目前有向有滑移与无滑移统一理论发展的趋势。长期荷载作用下混凝土裂缝理论，资料收集难度大，试验周期长，文献也较少，有待进一步研究。断裂力学（fracture mechanics）、损伤力学（damage mechanics）、微观力学（micromechanics）在混凝土上的应用是非常重要的科研课题。非线性断裂力学的虚拟裂缝模型（ficti
24、fious crack Model,FCM）11具有代表性。基于损伤力学的混凝土构件累积损伤模型亦获试验验证。特别参考：Fatigue of Diagonally Cracked RC Girders Repaired with CFRP,ASCE,ASCE,Journal of Bridge Engineering,NO.1,2019 Flexural Crack Widths in Concrete Girders with High-Strength Reinforcement.ASCE,J.Bridge Eng.,17(5),804812.(2019).粘贴纤维后裂缝验算 1028.0
25、30321maxdEcccss影响系数bspAAa)(11刚度及挠度计算1、短期刚度理论（1）解析法（苏联，穆拉谢夫）假定裂缝间受拉混凝土仍参与受力，钢筋及混凝土应力、中性轴、曲率等均取其平均值几何关系：01hrcmsmcm物理关系：ssssmEccccmE 平衡关系：20bhMc 则受压混凝土的应力：20bhMc 受拉钢筋应力：0hAMss020000hbhEMhAEMhEEhcssccsscmsm20201bhEhAEMcss穆氏综合参数（混凝土受压边缘平均应变综合系数）nhAEbhEhAEMBsscss202020110bhAEEnscs/,/简化后：202020bhEbhEbhMccm
26、ccc抗弯刚度：fssnhAEB5.3162.015.120钢筋混凝土构件钢筋混凝土构件使用规范：前苏联规范，我国混凝土规范（2）有效惯矩法（美国，D.E.Branson）crcrumcrcrcrueffMMIIMMIMMII)(钢筋混凝土m=3.0 开裂的部分PC，Alis.Alameh和Muhamed H.Harajli建议：ucrcrcreffIIMMII11使用规范：美国ACI规范、AASHTO规范1989版、1977年加拿大房屋建筑规范混凝土承受的拉力：bhhkTcmtc)(021等等效效拉拉力力计计算算（3）等效拉力法3 原理：用裂缝间混凝土所承受的拉力，去折算按混凝土不受拉假定所
27、计算的裂缝处钢筋拉力，从而起到修正刚度的作用混凝土的弯拉混凝土的弯拉极限应力极限应力钢筋应力：200bhMhAMcscsc 不计混凝土受拉时裂缝处钢筋应力：20bhMs 近似计钢筋的平均应力为 即scs20bhMMcsm截面截面曲率曲率mcccscssmIEMMMbhnEMbhEMMhE111130300)()()()(313232320000hhbhkhThhhTMcmtccc 引起的截面抵抗力矩：MMbhnEIccm1130)(采用规范：英国CP-110规范2、短期荷载作用下挠度计算 方法：曲率法、刚度法 曲率法：直接求解曲率和荷载的关系，再用数值方法求解挠度 刚度法：选择上述方法求解刚度
28、，再按一般结构力学方法求解挠度3、长期荷载刚度理论与挠度计算方法：刚度修正法、挠度修正法。（1）刚度修正法 将短期刚度修正（折减）后，按结构力学方法计算挠度 长期荷载效应组合 ，短期荷载效应组合 ，长期荷载效应组合对挠度的增大系数 ，受弯构件的总挠度：lMsMBlMSlBMMSflls22长期刚度：lsBlMf2BMMMBslsl)(1(a)长期刚度折减0bhAs/0bhAs/混凝土规范建议的 取值：受拉区配筋率：压区配筋率：00.26.1中间数值时，直线内插 将弹性模量看成是时间的函数，随时间延长，弹模在降低csectE1（b）弹性模量折减（美国康奈尔大学，George Winters）单位
29、应力下混凝土单位应力下混凝土的收缩、徐变应变的收缩、徐变应变31yctcs单位应力下混凝单位应力下混凝土的弹性应变土的弹性应变05.293.0tc 31yctEEEccct（2）挠度修正法（a）短期挠度增大法 短期挠度乘以增大系数pelfff)(1活载引起的活载引起的瞬时挠度瞬时挠度短期挠度短期挠度长期总挠度长期总挠度修正系数修正系数 ACI规范（1977）：AASHTO（1994），5年以上构件：6.12.10.25012研究表明，约在1.32.0公路桥梁 =211 （b）直接计算法 按混凝土收缩、徐变理论，直接计算由其产生的挠度erlfkf)(1混凝土徐变和收缩的混凝土徐变和收缩的综合影响
30、系数综合影响系数 受弯构件裂缝与刚度的关系及其应用1、裂缝统计参数梁裂缝及其参数梁裂缝及其参数裂缝统计参数随弯矩的变化裂缝统计参数随弯矩的变化micricrcrmicrimcrmicrimcrmlmllmhh1111112、裂缝统计参数与截面特征参数的关系分析 对三个统计参数、梁底应变和截面特征参数受压区高度、截面变形曲率分析：mcrcrcrmcrmcrhllhxh随荷载增加而逐渐变小，趋向1逐渐增加但趋于稳定crcrlrmcrehh1122crcrlrmcrcrmcrcrmcrmcrehllhhhhx1122)(统计系数统计系数3、刚度及承载力预测/MIEecxcyxyhyybM00d)()
31、(xcecyxyhyybIE00d)()(由于换算截面惯矩 是截面外形尺寸、配筋率 等的函数，当截面外型尺寸可量测时，其配筋率可由 eI),(0hnafEIEIieece解出 解出 后，可根据有关公式计算梁的承载能力小结（1）混凝土裂缝计算理论虽然基本趋于一致，但所建议公式相差较大，一时统一尚难。（2）采用有无滑移统一理论计算也许大有可为，但还有很多工作要做。（3）从混凝土刚度理论可以看出，混凝土这种特殊材料的刚度与荷载有关系，随着荷载增加，刚度会逐渐变小，并趋于稳定。这与裂缝的开展是分不开的（4）裂缝这一外观表现形式为评价结构提供了信息，尽管其内在机理还不十分清楚，大量的研究工作已经展开。（
32、5）非荷载（变形）裂缝是影响混凝土耐久性的一个重要因素，不可忽视本章参考文献1王铁梦工程结构裂缝控制北京：中国建筑工业出版社，20002丁大均：现代混凝土结构学北京：中国建筑工业出版社，20003张士绎现代混凝土基础理论上海：同济大学出版社，19944中华人民共和国交通部标准（JTJ023-85）公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范北京：人民交通出版社，19855中华人民共和国行业标准（TB10002.3-99）铁路桥涵钢筋混凝土和预应力混凝土结构设计规范北京：中国铁道出版社，20006中华人民共和国国家标准混凝土结构设计规范（GB50010-2019）报批稿混凝土结构设计规范国家标准管理
33、组，20197江见鲸混凝土结构工程学北京：中国建筑工业出版社，20198张士铎新规范裂缝公式的探讨重庆交通学院学报，NO.3,19859中华人民共和国国家标准给水排水工程结构设计规范（GBJ69-84）北京：中国建筑工业出版社，198210部分预应力混凝土结构设计编写组部分预应力混凝土结构设计建议北京：中国铁道出版社，198611张士铎部分预应力混凝土北京：人民交通出版社，199012A.Carpenter.Stability of fracturing process in Reinforced concrete beams.Journal of Structural Divion,ASCE,110,1984:54455813A.Caxpinteri.Applications of Fracture Mechanics to Reinforced Concret.Elsevier Applied Science,London&Now York,199214崔军贺拴海、宋一凡、赵小星基于裂缝特征的钢筋混凝土板式结构评估研究中国公路学报，Vol.14,No.2,201915宋一凡、崔军、赵小星、贺拴海钢筋混凝土T型梁桥裂缝特征参数与结构评估试验研究交通运输工程学报，Vol.1,No.3,201916周谦、贺拴海等公路桥梁承载力快速检测技术长安大学，2019.12
