1、数学探究数学探究与与数学建模数学建模 北京市第十五中学北京市第十五中学 隋丽丽隋丽丽2006.6.1一、数学探究的内涵和意义一、数学探究的内涵和意义二、二、课程标准中对数学探究的教学要求课程标准中对数学探究的教学要求三三 、数学探究学习的特点、数学探究学习的特点四、数学探究学习呈现的方式四、数学探究学习呈现的方式数学课数学课题学习题学习（一）（一）“数学探究数学探究”在高中数学在高中数学新课程中的定位、功能和呈现方新课程中的定位、功能和呈现方式式2数学探究与数学建模能给予学生什么数学探究与数学建模能给予学生什么？案例案例1 1瘦肉精检测中的数学问题瘦肉精检测中的数学问题 一篇报道，大致内容是：
2、在一篇报道，大致内容是：在20022002年年8 8月月2222日，广日，广东信宜发生严重的东信宜发生严重的“瘦肉精瘦肉精”中毒事件，有大约中毒事件，有大约530530人被送入医院，人被送入医院，.。根据农业部门的检查，有根据农业部门的检查，有20%20%的猪肉是含有的猪肉是含有“瘦肉精瘦肉精”的。猪肉到底还能不能吃，成为消费者的。猪肉到底还能不能吃，成为消费者心头一个疑问，同时也直接关系到我们每一个人的心头一个疑问，同时也直接关系到我们每一个人的切身利益，因此我校两位学生决定用所掌握的数学切身利益，因此我校两位学生决定用所掌握的数学知识来解决知识来解决“瘦肉精瘦肉精”检测方法的使用及选择问题
3、。检测方法的使用及选择问题。3改变过去的学习方式改变过去的学习方式：即由教师传递客观事实的即由教师传递客观事实的模仿性、维持性学习为建模仿性、维持性学习为建构主义的创新学习。构主义的创新学习。教育最终的目的不是传授已有的东西，教育最终的目的不是传授已有的东西，而是要把人的创造力诱发出来。而是要把人的创造力诱发出来。4案例案例2 背景材料背景材料墙角问题墙角问题 OMOM、ONON、OPOP两两垂直，作两两垂直，作平面与平面与OMOM、ONON、OPOP分别交于分别交于A A、B B、C C，试尽可能多的找出图形试尽可能多的找出图形中、线、面、角之间的关系中、线、面、角之间的关系，并加以证明。并
4、加以证明。（设（设 OA=a OA=a OB=b OC=c OB=b OC=c，作，作OHOH平面平面ABCABC于于H H，设，设OH=h OH=h、平面、平面OABOAB、OBCOBC、OACOAC与平面与平面ABCABC成角为）成角为）O N PM A C B5 ABAB2 2+BC+BC2 2+CA+CA2 2=2=2（a a2 2+b+b2 2+c+c2 2）ABCABC是锐角三角形是锐角三角形 H H是是ABCABC的垂心的垂心ABCAHBAOBSSS 22222COABOCAOBABCSSSS 1coscoscos222 2sinsinsin222 实际上，学生提出以下任何一个问
5、题，都是了不起的。实际上，学生提出以下任何一个问题，都是了不起的。6*提供提供基本内容的实际背景基本内容的实际背景*反映反映数学的应用价值数学的应用价值*倡导倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等数学自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等数学的学习方式的学习方式*学习过程成为在教师学习过程成为在教师引导引导下的下的“再创造再创造”过程过程*设立设立“数学探究数学探究”、“数学建模数学建模”的学习活动的学习活动*使学生使学生体验体验数学在解决实际问题中的作用数学在解决实际问题中的作用*通过各种通过各种不同形式不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验的自主学习、探究活动，让学生体验数学数学
6、发现发现和创造的历程，和创造的历程，体验体验数学与日常生活及其他学科数学与日常生活及其他学科的联系的联系*促进促进学生逐步形成和发展数学的应用意识，发展学生的学生逐步形成和发展数学的应用意识，发展学生的创新意识创新意识7 一、数学探究的内涵和意义一、数学探究的内涵和意义 （一）（一）“数学探究数学探究”在高中数学新课程中的定位、在高中数学新课程中的定位、功能和呈现方式功能和呈现方式 数学探究即数学探究性课题学习，是指学生围数学探究即数学探究性课题学习，是指学生围绕绕某个数学问题某个数学问题，自主探究、学习的过程。这个过，自主探究、学习的过程。这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问程
7、包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明或证明 8二、课程标准中对数学探究的教学要求二、课程标准中对数学探究的教学要求 课题的选择课题的选择:有助于学生对数学的理解有助于学生对数学的理解有助于学生体验数学研究的过程有助于学生体验数学研究的过程有助于学生形成发现、探究问题的意识有助于学生形成发现、探究问题的意识有助于鼓励学生发挥自己的想象力和创造性有助于鼓励学生发挥自己的想象力和创造性 9数学探究课题应该多样化数学探究课题应该多样化*可以是某些数学结果的推广和深入可以是某些数学结果的推广和深入*也可以
8、是发现和探索对自己来说是新的数学结果也可以是发现和探索对自己来说是新的数学结果*可以从教材提供的案例和背景材料中发现和建立可以从教材提供的案例和背景材料中发现和建立*可以从教师提供的案例和背景材料中发现和建立可以从教师提供的案例和背景材料中发现和建立*鼓励学生在学习数学知识、技能、方法、思想的鼓励学生在学习数学知识、技能、方法、思想的 过程中发现和提出自己的问题并加以研究过程中发现和提出自己的问题并加以研究。二、课程标准中对数学探究的教学要求二、课程标准中对数学探究的教学要求 10学生在数学探究的过程中学生在数学探究的过程中*学会查询资料、收集信息、阅读文献学会查询资料、收集信息、阅读文献*应
9、养成独立思考和勇于质疑的习惯应养成独立思考和勇于质疑的习惯*学会与他人交流合作学会与他人交流合作*建立严谨的科学态度和不怕困难的顽强精神建立严谨的科学态度和不怕困难的顽强精神*学生将初步了解数学概念和结论的产生过程学生将初步了解数学概念和结论的产生过程*体验数学研究的过程和创造的激情体验数学研究的过程和创造的激情*提高发现、提出、解决数学问题的能力提高发现、提出、解决数学问题的能力*发挥自己的想像力和创新精神发挥自己的想像力和创新精神二、课程标准中对数学探究的教学要求二、课程标准中对数学探究的教学要求 11*研究课题的结论是未知的研究课题的结论是未知的*结论的获得不是由老师传授或从书本上能结论
10、的获得不是由老师传授或从书本上能够直接得到，而是学生通过搜集资料、整理够直接得到，而是学生通过搜集资料、整理资料，分析问题资料，分析问题*最后解决问题得出自己的结论。最后解决问题得出自己的结论。三三 、数学探究学习的特点、数学探究学习的特点（1 1）探究是人类认识世界的一种基本方式）探究是人类认识世界的一种基本方式 12（2 2）数学探究学习主要由学生自己完成，数学探究学习主要由学生自己完成，学生具有高度的主体性学生具有高度的主体性 数学探究学习数学探究学习*以学生的自主性学习为基础以学生的自主性学习为基础*掌握学习的自主权掌握学习的自主权*有很大的自由度有很大的自由度13在学习内容上在学习内
11、容上*学生从学习生活和社会生活中自主选择和学生从学习生活和社会生活中自主选择和确定他们自己感兴趣的问题进行研究确定他们自己感兴趣的问题进行研究*这些问题可以是教师提供的，也可以是学这些问题可以是教师提供的，也可以是学生自己选择和确定的生自己选择和确定的*可以是学科知识的拓展延伸，也可以是对可以是学科知识的拓展延伸，也可以是对自然和社会现象的探究自然和社会现象的探究*可以是已经证明的结论，也可以是未知的可以是已经证明的结论，也可以是未知的知识领域。知识领域。14 数学探究学习数学探究学习*允许不同的学生按自己的理解以及自己熟悉的方允许不同的学生按自己的理解以及自己熟悉的方式去解决问题式去解决问题
12、*允许不同的学生按各自的能力和所掌握的资料，允许不同的学生按各自的能力和所掌握的资料，用自己的思维方式去得出不同的结论，用自己的思维方式去得出不同的结论，*不追求结论的唯一性和标准化不追求结论的唯一性和标准化 这种开放性的特点有利于学生创造思维品质的这种开放性的特点有利于学生创造思维品质的培养。培养。（3 3）数学探究学习具有开放性数学探究学习具有开放性 15（4 4）数学课题学习注重学生在学习过数学课题学习注重学生在学习过程中的体验程中的体验 课题学习注重学生学习的过程。在探究学习课题学习注重学生学习的过程。在探究学习的过程中，学习者是否掌握某项具体的知识或技的过程中，学习者是否掌握某项具体
13、的知识或技能并不是头等重要，关键是能否对学的知识有所能并不是头等重要，关键是能否对学的知识有所选择、判断、解释和运用，从而有所发现、有所选择、判断、解释和运用，从而有所发现、有所创造。创造。一个人的探究能力，是要在一生中都一个人的探究能力，是要在一生中都要不断提高的一个重要能力之一。要不断提高的一个重要能力之一。16四、数学探究学习呈现的四、数学探究学习呈现的方式方式数学课题学习数学课题学习 新课程体系开设了新的课程形态，即数新课程体系开设了新的课程形态，即数学探究、数学建模、数学文化将贯穿于高中学探究、数学建模、数学文化将贯穿于高中数学课程始终。数学课程始终。我们认为数学课题学习的方式就是这
14、种我们认为数学课题学习的方式就是这种课程形态较好呈现形式之一课程形态较好呈现形式之一。即，中学数学课堂教学即，中学数学课堂教学呼唤课题学呼唤课题学习的教学方式。习的教学方式。171 1、什么是课题学习？什么是课题学习？什么是数学课题学习？什么是数学课题学习？课题学习的一般意义指课题学习的一般意义指：研究、讨论或急需：研究、讨论或急需解决的问题。解决的问题。数学课题学习指数学课题学习指：围绕某个数学问题进行探：围绕某个数学问题进行探究或研究的学习过程。在这一学习过程中，究或研究的学习过程。在这一学习过程中，学生能围绕自己的课题去寻找资料，并懂得学生能围绕自己的课题去寻找资料，并懂得怎样获取资料和
15、处理资料，能面对陌生领域怎样获取资料和处理资料，能面对陌生领域去寻找答案。学生应始终占据着主导地位，去寻找答案。学生应始终占据着主导地位，开展主题、问题、争论等探索活动，最终发开展主题、问题、争论等探索活动，最终发表学习报告。表学习报告。182 2、课题学习的目标课题学习的目标*促进学生提出自己的新观点、新思路、新促进学生提出自己的新观点、新思路、新方法。方法。*提高发展性学习的理念。提高发展性学习的理念。*提高终身学习的能力和本领。提高终身学习的能力和本领。*搭建使每位学生走向成功的舞台搭建使每位学生走向成功的舞台。193 3、课题学习的方式课题学习的方式（1 1）教材内容中的开放、或延伸、
16、或探究性的课）教材内容中的开放、或延伸、或探究性的课题学习题学习 操操作作流流程程框框图图撰写研究结果报告撰写研究结果报告报告、研讨会报告、研讨会自主研究与交自主研究与交流研讨相结合流研讨相结合问题问题要求：要求：*教材内教材内*具有探究性具有探究性查找相关信息查找相关信息*校内图书馆校内图书馆*阅览室、校园网阅览室、校园网*家家*图书部门等图书部门等*探索的结果探索的结果*发现的问题发现的问题*应用的价值应用的价值*探究中的问题探究中的问题*解决问题的方法、解决问题的方法、手段等手段等继续研究的问题继续研究的问题师生师生20【案例案例3 3】指数函数性质指数函数性质 请画出指数函数请画出指数
17、函数y=2y=2x x、y=3y=3x x的图像，你通过观的图像，你通过观察图像发现什么？形成的猜想是什么？能一般化察图像发现什么？形成的猜想是什么？能一般化吗？吗？引导学生画出指数函数引导学生画出指数函数y=ay=ax x(a1)(a1)的图像并的图像并激励学生自主探寻和研究它的性质。激励学生自主探寻和研究它的性质。你能从它的你能从它的图像中提炼哪些性质？你认为决定图像大致走向图像中提炼哪些性质？你认为决定图像大致走向需要几个点？这几个点有什么特色？当需要几个点？这几个点有什么特色？当00a1a0a0且且a1a1，N0N0）中，有三个字母（底数、中，有三个字母（底数、指数、幂），那么当将指数
18、、幂），那么当将a a，b b，N N其中一个视为常数，一个视其中一个视为常数，一个视为自变量，一个视为函数时，它们分别是什么函数？其反为自变量，一个视为函数时，它们分别是什么函数？其反函数呢？函数呢？*你能否画出它们的草图（有条件的学生可以借你能否画出它们的草图（有条件的学生可以借助信息技术）吗？助信息技术）吗？*你能否利用图象的直观效果探讨它们的性质？你有什么你能否利用图象的直观效果探讨它们的性质？你有什么新发现？新发现？*在探索中你遇到哪些问题？是否可以解决？若不能解决，在探索中你遇到哪些问题？是否可以解决？若不能解决，困难是什么？困难是什么？*y=x200 与与y=2x 当当x(0，+
19、)时，哪一个增长得时，哪一个增长得较快？我国人口的增长大致属于哪一种增长？较快？我国人口的增长大致属于哪一种增长？。22（2 2）“问题串问题串”式的课题学习式的课题学习 讨论讨论 交流交流*对问题的解释，即数学的翻译对问题的解释，即数学的翻译 *解决问题的思路、或想法、或相关的问题解决问题的思路、或想法、或相关的问题*发现的问题、生成的新问题等发现的问题、生成的新问题等继续研究的问题继续研究的问题*问题具有层次性、具有可问题具有层次性、具有可“生成性生成性”和和“递进递进性性”*由特殊到一般，即问题的条件具有由特殊到一般，即问题的条件具有“可变性可变性”*教材内教材内*实际问题实际问题问题串
20、问题串问题问题23【案例案例5 5】摩天轮中的数学问题摩天轮中的数学问题*问题的探究问题的探究 问题：游乐场中的摩天轮匀速运转，问题：游乐场中的摩天轮匀速运转，其中心其中心O O距地面距地面40.540.5米，半径为米，半径为4040米，米，如果你从最低点处登上摩天轮，那么如果你从最低点处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变你与地面的距离将随时间的变化而变化，化，6 6分钟时第一次到达最高点（设以分钟时第一次到达最高点（设以你登上摩天轮的时间为你登上摩天轮的时间为0 0开始计算）开始计算）。24 问题问题1 1：摩天轮做周而复始的圆周运动这摩天轮做周而复始的圆周运动这是一种什么现象
21、？是一种什么现象？问题问题2 2：你坐摩天轮的过程中哪些量在发你坐摩天轮的过程中哪些量在发生变化？怎样变的？生变化？怎样变的？问题问题3 3：在上述变化过程中，当时间确定在上述变化过程中，当时间确定时高度是否唯一确定？当高度确定了，时间是时高度是否唯一确定？当高度确定了，时间是否唯一确定？为什么？否唯一确定？为什么？问题问题4 4：从上述研究过程我们已经看到时从上述研究过程我们已经看到时间与高度是一对变量间与高度是一对变量,它们之间是否存在一定它们之间是否存在一定的关系？是什么关系？你能否求出你与地面的的关系？是什么关系？你能否求出你与地面的距离距离y y与时间与时间t t的这一关系呢？的这一
22、关系呢？*问题串问题串25*模型的应用模型的应用 如果你此时正坐在摩天轮上的某个座仓里，如果你此时正坐在摩天轮上的某个座仓里，请结合函数关系式你还能提出什么问题？请结合函数关系式你还能提出什么问题？（目的是激励学生自己提出他所关心的问题串）（目的是激励学生自己提出他所关心的问题串）教师也可以再提问题：教师也可以再提问题：问题问题1 1：当你登上摩天轮当你登上摩天轮8 8分钟后你距地面多少米？分钟后你距地面多少米？问题问题2 2：当你第一次距离地面当你第一次距离地面20.520.5米时用了多少时间？米时用了多少时间？问题问题3 3：当你第二次距离地面当你第二次距离地面20.520.5米时用了多少
23、时间？米时用了多少时间？问题问题4 4：当你第四次距离地面当你第四次距离地面20.520.5米时用了多少时间？米时用了多少时间？问题问题5 5 你从中发现了什么规律？这一规律的发现说明了什你从中发现了什么规律？这一规律的发现说明了什么？么？26*模型的拓展模型的拓展问题问题1 1 两个人坐摩天轮会出现什么情况？两个人坐摩天轮会出现什么情况？问题问题2 2 你能否求出乙与地面的距离你能否求出乙与地面的距离h h关于时间关于时间t t的的函数关系式？函数关系式？问题问题3 3 上述两个函数图像是什么关系？上述两个函数图像是什么关系？问题问题4 4 你能否求出甲与地面的距离与乙与地面你能否求出甲与地
24、面的距离与乙与地面的距离差关于时间的距离差关于时间t t的函数关系式？的函数关系式？引导学生讨论：引导学生讨论：结合这一函数关系式让同学们展结合这一函数关系式让同学们展开讨论两个人坐摩天轮还会出现什么情况开讨论两个人坐摩天轮还会出现什么情况？27（3 3）研究性的课题学习研究性的课题学习 高一数学必修（上、下）中的研究性课高一数学必修（上、下）中的研究性课题分期付款中的有关计算、向量在物题分期付款中的有关计算、向量在物理中的应用，高二数学必修中的研究性课理中的应用，高二数学必修中的研究性课题多面体欧拉公式的发现，高三数学选题多面体欧拉公式的发现，高三数学选修修中的研究性课题杨辉三角、复数中的研
25、究性课题杨辉三角、复数与平面向量、三角函数的联系等与平面向量、三角函数的联系等 28【案例案例6 6】升旗中的数学问题升旗中的数学问题 （一）学习目标：（一）学习目标：通过对升旗中数学问题的求解和讨论，进一通过对升旗中数学问题的求解和讨论，进一步了解相关数学知识的意义和作用，体验数学建步了解相关数学知识的意义和作用，体验数学建模的基本过程，增强数学知识的应用意识。理解模的基本过程，增强数学知识的应用意识。理解用函数拟合数据的方法，提高对数据的观察、分用函数拟合数据的方法，提高对数据的观察、分析、处理、从中获取有益信息的能力。析、处理、从中获取有益信息的能力。在这个探求活动中，要特别重视观察、分
26、析、处在这个探求活动中，要特别重视观察、分析、处理数据的一般方法、现代技术的合理使用、数学理数据的一般方法、现代技术的合理使用、数学得到的结果与实际情况不同的原因分析得到的结果与实际情况不同的原因分析 29问题情景和探究任务问题情景和探究任务问题情景问题情景：在不同地区，同一天的：在不同地区，同一天的日出和日落时间不尽相同；对一个日出和日落时间不尽相同；对一个地区而言，日出日落时间又是随日地区而言，日出日落时间又是随日期的变化而变化的期的变化而变化的.30 下表给出了是天安门广场下表给出了是天安门广场20032003年部分日期的升、年部分日期的升、降旗时刻表：降旗时刻表：日期日期升升/降降时刻
27、时刻日期日期升升/降降时刻时刻日期日期升升/降降时刻时刻1月月 1日日7:36/16:595月月16日日4:59/19:239月月20日日5:59/18:151月月21日日7:31/17:206月月3日日4:47/19:3810月月 8日日6:17/17:462月月10日日7:14/17:436月月22日日4:46/19:4610月月26日日6:36/17:203月月 2日日6:47/18:067月月 9日日4:53/19:4511月月13日日6:56/17:003月月22日日6:15/18:277月月27日日5:07/19:3312月月 1日日7:16/16:504月月9日日5:46/18:
28、468月月14日日5:24/19:1312月月20日日7:31/16:514月月28日日5:19/19:059月月 2日日5:42/18:4531任务任务1 1：试根据上表提供的数据，分析升、降旗时试根据上表提供的数据，分析升、降旗时间变化的大致规律；建立坐标系，将以上数据描间变化的大致规律；建立坐标系，将以上数据描在坐标系中；在坐标系中；任务任务2 2：分别建立日出时间和日落时间关于日期的分别建立日出时间和日落时间关于日期的近似函数模型；利用你建立的函数模型，计算近似函数模型；利用你建立的函数模型，计算“五一五一”国际劳动节、国际劳动节、“十一十一”国庆节的升、降国庆节的升、降旗时间；旗时间
29、；任务任务3 3：利用年鉴、互联网或其它资料，查阅北京：利用年鉴、互联网或其它资料，查阅北京天安门天安门20032003年升旗时间表，检验模型的准确度，年升旗时间表，检验模型的准确度，分析误差原因，考虑如何改进自己的模型。分析误差原因，考虑如何改进自己的模型。任务任务4 4：你所生活地区（城市、省、乡村等）某年：你所生活地区（城市、省、乡村等）某年不同的日期的不同的日期的“日出和日落日出和日落”的时间，建立一个的时间，建立一个函数关系。函数关系。32 组成学习探究小组，集体讨论，互相启发，形成可行组成学习探究小组，集体讨论，互相启发，形成可行的探究方案，独立思考，完成每个人的的探究方案，独立思
30、考，完成每个人的“成果报告成果报告”。任务任务1 1的建议的建议：为了便于在坐标系中观察表中数据，选择适为了便于在坐标系中观察表中数据，选择适当的计量单位，如升旗时刻以当的计量单位，如升旗时刻以1010分钟为一个单分钟为一个单位，日期可以天为单位，即位，日期可以天为单位，即1 1月月1 1日为第日为第0 0天，天，1212月月3131日为第工具绘制各点，日为第工具绘制各点，364364天；可借助天；可借助图形计算器或其它图形计算器或其它工具绘制各点。工具绘制各点。实施建议实施建议33任务任务2 2的建议的建议 利用自己的生活经验，或者访问家长、地理老利用自己的生活经验，或者访问家长、地理老师等
31、，结合散点图，选择学过的适当函数，作师等，结合散点图，选择学过的适当函数，作为刻画该关系的模型；要应注意关键数据（如为刻画该关系的模型；要应注意关键数据（如最早升（降）旗时间和最迟升（降）旗时间等）最早升（降）旗时间和最迟升（降）旗时间等）在确定拟合函数参数中的作用。在确定拟合函数参数中的作用。任务任务3 3的建议的建议 根据观察坐标平面上所绘制点的走向趋根据观察坐标平面上所绘制点的走向趋势，可以考虑分段拟合函数。势，可以考虑分段拟合函数。34“成果报告成果报告”的书写建的书写建议议探究学习成果报告表探究学习成果报告表 年级年级 班班 完成时间完成时间 1.1.课题组成员、分工、贡献：课题组成
32、员、分工、贡献：2.2.成员姓名成员姓名分工与主要工作或贡献分工与主要工作或贡献3.3.探究的过程和结果：探究的过程和结果：4.4.参考文献：参考文献：5.5.成果的自我评价：（请说明方法或原理的合理性、特色或创新点、不足之成果的自我评价：（请说明方法或原理的合理性、特色或创新点、不足之处等）处等）6.6.拓展（选做）：在解决问题的过程中发现和提出的新问题，可以延伸或拓拓展（选做）：在解决问题的过程中发现和提出的新问题，可以延伸或拓广的内容；得到的新结果或猜想等广的内容；得到的新结果或猜想等7 7体会：描述在工作中的感受体会：描述在工作中的感受35成果交流：成果交流：建议以小组为单位，选出代表
33、，在班级建议以小组为单位，选出代表，在班级中报告研究成果，交流研究体会。中报告研究成果，交流研究体会。评价建议：评价建议：在评价中，采用自评、互评、教师评价相结合在评价中，采用自评、互评、教师评价相结合的形式，善于发现别人工作中的特色，以下几个的形式，善于发现别人工作中的特色，以下几个方面的内容可作为重点考虑：方面的内容可作为重点考虑：（1 1）求解过程和结果：合理、清楚、简洁；）求解过程和结果：合理、清楚、简洁；（2 2）独到的思考和发现；）独到的思考和发现；（3 3）提出有价值的求解设计和有见地的新问题；）提出有价值的求解设计和有见地的新问题；（4 4）发挥组员的特长，合作学习的效果；）发
34、挥组员的特长，合作学习的效果；（5 5）合理使用技术；）合理使用技术；（6 6）查阅文献，获取信息的能力）查阅文献，获取信息的能力。36（4 4）自主选择主题的课题学习）自主选择主题的课题学习 我国数学教育家郑毓信教授在他撰我国数学教育家郑毓信教授在他撰写的写的数学教育哲学数学教育哲学中提出中提出“动态数动态数学观学观”。他指出：。他指出：所谓动态数学观，笼所谓动态数学观，笼统地说，即是指数学不应是简单的被等统地说，即是指数学不应是简单的被等同于数学知识的汇集，而主要的应被看同于数学知识的汇集，而主要的应被看成人类的一种创造性活动成人类的一种创造性活动。37【案例案例7 7】中学生引用水质的研
35、究中学生引用水质的研究课题的来源课题的来源自主选择问题自主选择问题 课题源于中学生身边且每个人每天都要饮用课题源于中学生身边且每个人每天都要饮用的水为研究课题，学生意识到饮水与健康的重要的水为研究课题，学生意识到饮水与健康的重要关系，提出关系，提出喝什么水？怎样喝水？校园内饮水机喝什么水？怎样喝水？校园内饮水机里的水安全吗？里的水安全吗？等问题。等问题。从学生选择的问题中，不难看出它符合选题从学生选择的问题中，不难看出它符合选题的原则，即的原则，即（1 1）适应性原则：适应性原则：因校制宜、因地制宜、因人制因校制宜、因地制宜、因人制宜；宜；（2 2）可行性原则：可行性原则：贴近生活、与每人的健
36、康息息贴近生活、与每人的健康息息相关相关。384 4、课题学习的特点、课题学习的特点转变学生的学习方式，学习观念、认转变学生的学习方式，学习观念、认知方式、情感态度、兴趣爱好，以及信知方式、情感态度、兴趣爱好，以及信息处理方式等。息处理方式等。更注重学生对知识的主动建构，并提更注重学生对知识的主动建构，并提倡以合作学习的方式完成。倡以合作学习的方式完成。拓展学生学习的视野，获得终身学习拓展学生学习的视野，获得终身学习的能力的能力395 5、课题学习过程中教师的作用、课题学习过程中教师的作用课题学习的设计者、引路者课题学习的设计者、引路者忠实的听众忠实的听众学习探究问题过程的合作者学习探究问题过
37、程的合作者学生研究成果的第一欣赏者学生研究成果的第一欣赏者提供自主学习的机会提供自主学习的机会 搭建成功的舞台搭建成功的舞台40课题学习将学生课题学习将学生“植于植于”研讨及具有研讨及具有挑战性的研究性课题学习之中挑战性的研究性课题学习之中使学生得以用自己对数学的理解和认使学生得以用自己对数学的理解和认识，发展识，发展“用用”数学知识解决问题的能力数学知识解决问题的能力中学数学课堂教学中学数学课堂教学呼唤课题学习的教学方式。呼唤课题学习的教学方式。教育不断地产生新的思想和情感教育不断地产生新的思想和情感教育的最终目的是提高学生更容易、更教育的最终目的是提高学生更容易、更有效地进行学习的能力有效
38、地进行学习的能力 。41案例案例8 8 烧开水中的数学问题的教学建议烧开水中的数学问题的教学建议 *课题学习的目标：课题学习的目标：（1 1）通过探究性课题学习，使学生体验数学和实）通过探究性课题学习，使学生体验数学和实际生活、与社会生活和自然生活有着密不可分的联际生活、与社会生活和自然生活有着密不可分的联系。系。（2 2）通过亲身经历解决实际问题的全过程，培养）通过亲身经历解决实际问题的全过程，培养学生用数学的意识、提高学生的数学素养。同时希学生用数学的意识、提高学生的数学素养。同时希望学生面对生活中常常遇到的现象和问题，能有意望学生面对生活中常常遇到的现象和问题，能有意识的从数学角度去发现
39、它所隐含着的数学规律。识的从数学角度去发现它所隐含着的数学规律。42*课题学习的特点：课题学习的特点：*实践性实践性*意在学生力所能及的范围内解决实际意在学生力所能及的范围内解决实际问题。问题。*课题学习重点和难点课题学习重点和难点：*实际问题抽象为数学问题的过程；实际问题抽象为数学问题的过程；*体验并亲身经历探究过程；体验并亲身经历探究过程；注注:教材：数学模块教材：数学模块1（北师大出版社）（北师大出版社）P4043教学建议教学建议 现在许多家庭都以燃气（在城市一般用天现在许多家庭都以燃气（在城市一般用天然气，煤气，液化气，在农村一般为液化气，然气，煤气，液化气，在农村一般为液化气，沼气）
40、为烧水做饭的燃料，节约用气是非常现沼气）为烧水做饭的燃料，节约用气是非常现实的问题，怎样烧开水最省燃气？实的问题，怎样烧开水最省燃气？实际情景实际情景 提出提出问题问题 旋钮在什么位置时烧开一壶旋钮在什么位置时烧开一壶水的燃气用量最少？水的燃气用量最少？44建立数学模型建立数学模型让学生自然成长让学生自然成长 ；在热切的愿；在热切的愿望中学习；让学生亲自观察和体望中学习；让学生亲自观察和体验生活。验生活。捷克教育家捷克教育家 夸美纽斯夸美纽斯选择燃气灶旋钮的五个位置（当然多选一些选择燃气灶旋钮的五个位置（当然多选一些更好）见下图更好）见下图记录烧开一壶水所需的时间和所用的燃气量记录烧开一壶水所
41、需的时间和所用的燃气量.数据采集数据采集 45燃气旋钮在不同位置时烧燃气旋钮在不同位置时烧开一壶水所需燃气量数据表开一壶水所需燃气量数据表项目位项目位置置燃气表燃气表开始时开始时读数读数(m(m3 3)燃气表燃气表水开时水开时读数读数(m(m3 3)所用燃所用燃气量气量(m(m3 3)18189.0809.0809.2109.2100.1300.13036368.9588.9589.0809.0800.1220.12254548.8198.8198.9588.9580.1390.13972728.6708.6708.8198.8190.1490.14990908.4988.4988.6708.
42、6700.1720.172实验实验46用表内数据在直角坐标系上标出旋用表内数据在直角坐标系上标出旋钮位置与烧开一壶水燃气用量的点钮位置与烧开一壶水燃气用量的点0.1300.1300.1220.1220.1390.1390.1490.1490.1720.172燃气用量燃气用量m m3 3旋钮角度旋钮角度0 0 18 18 36 36 54 54 72 72 90 90拟和函数拟和函数数据拟合函数，建立旋钮位置与烧开一壶水燃气用量的函数解析式数据拟合函数，建立旋钮位置与烧开一壶水燃气用量的函数解析式.47设 函 数 式 为设 函 数 式 为y y=axax2 2+bxbx+c c，取，取三对数据即
43、可三对数据即可求出表达式的求出表达式的系数，不妨取系数，不妨取(18,0.130),(18,0.130),(36,0.122),(36,0.122),(90,0.172),(90,0.172),得方程组得方程组172.09090122.03636130.01818222cbacbacba解得解得a a=1.856=1.85610105 5，b b=1.4461.44610103 3，c c=0.150.098=0.150.098，则函数式为，则函数式为y y=1.856=1.85610105 5x x2 21.4461.44610103 3x x+0.15+0.15拟和函数拟和函数48求最小用
44、气量求最小用气量 即燃气用量最少时的旋钮位置是旋转即燃气用量最少时的旋钮位置是旋转3939的位置，这时的用气量是的位置，这时的用气量是05303910856121044612 .abx求燃气用量最少时的旋钮位置实际上是求函数求燃气用量最少时的旋钮位置实际上是求函数y y=1.856=1.85610105 5x x2 21.4461.44610103 3x x+0.15+0.15的最小的最小值点值点 0 x352352012101085614104461150108561444)cm(.).(.abacy 49检验分析检验分析 取旋转取旋转3939的旋钮位置，烧一壶开水，所得实际用气量的旋钮位置
45、，烧一壶开水，所得实际用气量是不是是不是0.121 0.121 m m3 3？如果基本吻合，就可以依此作结论了如果相差大，特如果基本吻合，就可以依此作结论了如果相差大，特别是这个用量大于别是这个用量大于0.1220.122，最小值点就肯定不是，最小值点就肯定不是3939，说明，说明三对数据取得不好，可以换另外的点重新计算，然后再检三对数据取得不好，可以换另外的点重新计算，然后再检验，直至结果与实际比较接近就可以了实际上，我们从验，直至结果与实际比较接近就可以了实际上，我们从已知的五对数据可以看出，如果取已知的五对数据可以看出，如果取(18,0.130),(36,(18,0.130),(36,0
46、.122),(54,0.139),0.122),(54,0.139),函数的最小值点就小于函数的最小值点就小于3636 如如果所得的结果总与实际相差过大，就要修改我们的数学模果所得的结果总与实际相差过大，就要修改我们的数学模型，包括重新考虑假设。直到得出一个满意的结果。型，包括重新考虑假设。直到得出一个满意的结果。对结果的合理性作出检验分析对结果的合理性作出检验分析50一、数学建模的内涵和意义一、数学建模的内涵和意义二、新数学课程标准中对数学建模的要求二、新数学课程标准中对数学建模的要求三、数学建模的教学策略与教学建议三、数学建模的教学策略与教学建议四、数学建模案例四、数学建模案例五、撰写数学
47、建模论文辅导五、撰写数学建模论文辅导六、数学建模与学生成长六、数学建模与学生成长七、评价建议七、评价建议（二）（二）“数学建模数学建模”在高中数学新在高中数学新课程中的地位、功能和呈现方式课程中的地位、功能和呈现方式51（二）（二）“数学建模数学建模”在高中数学新课在高中数学新课程中的地位、功能和呈现方式程中的地位、功能和呈现方式一、数学建模的内涵和意义一、数学建模的内涵和意义1 1、什么是数学建模？、什么是数学建模？把实问题抽象为一个数学问把实问题抽象为一个数学问题，并又合理地返回到实际中去，题，并又合理地返回到实际中去，这个过程就是数学建模这个过程就是数学建模.52课程标准中指出：课程标准
48、中指出：数学建模是运用数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学题的过程，已经成为不同层次数学教育重要和基本的内容。数学建模教育重要和基本的内容。数学建模(mathematical modeling)(mathematical modeling)，是寻，是寻求建立数学模型的方法的过程求建立数学模型的方法的过程 1 1、什么是数学建模、什么是数学建模？这类问题则往往是这类问题则往往是“原坯原坯”形的问题形的问题 532 2、新课程中数学建模的、新课程中数学建模的地位、功能和呈现方式地位、功能和呈现方式 数学建模是数学学习的一种新的方式
49、数学建模是数学学习的一种新的方式*学生提供了自主学习的空间学生提供了自主学习的空间*有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用*体验数学与日常生活和其他学科的联系体验数学与日常生活和其他学科的联系*体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程*增强应用意识增强应用意识*有助于激发学生学习数学的兴趣有助于激发学生学习数学的兴趣*发展学生的创新意识和实践能力发展学生的创新意识和实践能力数学建模能帮助学生什么？数学建模能帮助学生什么？543 3、数学建模的意义、数学建模的意义了解知识发生和形成的过程中，推了解知识发
50、生和形成的过程中，推动他们去关注生活，了解社会，体验人动他们去关注生活，了解社会，体验人生，并积累一定的感性认识和实践经验，生，并积累一定的感性认识和实践经验，使学生获得比较完整的学习经历。使学生获得比较完整的学习经历。是一种呈研究式、开放型的学习方是一种呈研究式、开放型的学习方式，是学生将课堂内的知识拓展延伸的式，是学生将课堂内的知识拓展延伸的极好平台，它将对学生今后的学习、发极好平台，它将对学生今后的学习、发展产生深远的影响。展产生深远的影响。553 3、数学的意义、数学的意义数学的思考数学的思考 面临各种问题情境（特别是非数面临各种问题情境（特别是非数学问题）时，能够从数学的角度去学问题
