1、空间几何体的三视图、表面积和体积高考理数高考理数(课标专用)全国名校高考数学复习优质学案汇编（附详解）A A组组 统一命题统一命题课标卷题组课标卷题组考点一空间几何体的三视图考点一空间几何体的三视图1.(优质试题课标全国,3,5分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()答案答案 A本题考查空间几何体的三视图.两个木构件咬合成长方体时,小长方体(榫头)完全嵌入带卯眼的木构件,易知俯视图可以为A.故选A.2.(优质试题课标全国,7,5分)某
2、圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()A.2B.2C.3D.2175答案答案 B本题主要考查空间几何体的三视图、直观图以及最短路径问题.由圆柱的三视图及已知条件可知点M与点N的位置如图1所示,设ME与FN为圆柱的两条母线,沿FN将圆柱的侧面展开,如图2所示,连接MN,MN即为从M到N的最短路径,由题意知,ME=2,EN=4,MN=2.故选B.图1图222425方法点拨方法点拨1.由三视图还原直观图的步骤:(1)看视图明关系;(2)分部分想整体;(3)合起
3、来定整体.2.解决空间几何体表面上两点间的最短路径问题的常用方法是把空间图形展为平面图形,利用两点之间线段最短进行求解.3.(优质试题课标,12,5分,0.505)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为()A.6B.6C.4D.422答案答案 B解法一:由多面体的三视图可知该几何体的直观图为一个三棱锥,如图所示.其中面ABC面BCD,ABC为等腰直角三角形,AB=BC=4,取BC的中点M,连接AM,DM,则DM面ABC,在等腰BCD中,BD=DC=2,BC=DM=4,所以在RtAMD中,AD=6,又在RtABC中,AC=46,故
4、该多面体的各条棱中,最长棱为AD,长度为6,故选B.522AMDM2224242解法二:如图,四面体DABC中,AB=BC=4,AC=4,BD=DC=2,DA=6,所以最长的棱为DA=6,故选B.2522ABBD评析评析本题考查空间几何体的三视图与直观图之间的互相转化,考查面面垂直性质定理的应用.同时考查空间想象能力和运算求解能力.正确画出三棱锥的直观图是解决本题的关键.考点二空间几何体的表面积考点二空间几何体的表面积1.(优质试题课标全国,7,5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个
5、是梯形,这些梯形的面积之和为()A.10B.12C.14D.16答案答案 B本题考查立体几何中的三视图问题.由多面体的三视图还原直观图如图.该几何体由上方的三棱锥A-BCE和下方的三棱柱BCE-B1C1A1构成,其中面CC1A1A和面BB1A1A是梯形,则梯形的面积之和为2=12.故选B.(24)222.(优质试题课标全国,6,5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是()A.17B.18C.20D.28283答案答案 A由三视图可知,该几何体是一个球被截去后剩下的部分,设球的半径为R,则该几何体的体积为R3,即=R3,解得R
6、=2.故其表面积为422+322=17.选A.18784328378437814评析评析此类型题渗透“割补思想”,解题时应由整体到局部进行观察,理清所求表面积的构成部分,便于计算时不遗漏不重复.考点三空间几何体的体积考点三空间几何体的体积1.(优质试题课标全国,10,5分)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A.12B.18C.24D.5433333答案答案 B本题考查空间几何体的体积.设ABC的边长为a,则SABC=aasin60=9,解得a=6(负值舍去).ABC的外接圆半径r满足2r=,得r=2,球心到平面
7、ABC的距离为=2.所以点D到平面ABC的最大距离为2+4=6,所以三棱锥D-ABC体积的最大值为96=18,故选B.1236sin603224(2 3)13332.(优质试题课标,6,5分,0.62)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图所示,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.B.C.D.18171615答案答案 D如图,由已知条件可知,截去部分是以ABC为底面且三条侧棱两两垂直的正三棱锥D-ABC.设正方体的棱长为a,则截去部分的体积为a3,剩余部分的体积为a3-a3=a3.它们的体积之比为.故选D.16165615解题关键涉及割补的几何体,我们要学会借助完整的模
8、型分析问题.结合题中的三视图,在载体上添加适当的辅助线,观察截去部分和剩余部分几何体形状,从方便计算体积的几何体入手,抓住规则的“特殊几何体”这一关键进行计算,对于不规则的几何体体积,采用总体积减去截去部分体积即可求解.评析评析本题主要考查几何体的三视图和体积的计算,考查空间想象能力.3.(优质试题课标全国,4,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()A.90B.63C.42D.36答案答案 B本题考查三视图和空间几何体的体积.由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为6,高为14的圆柱,所
9、以该几何体的体积V=3214=63.故选B.124.(优质试题课标全国,8,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.B.C.D.3424答案答案 B本题考查球的内接圆柱的体积.设圆柱的底面半径为r,则r2+=12,解得r=,V圆柱=1=,故选B.2123223234B B组组 自主命题自主命题省省(区、市区、市)卷题组卷题组考点一空间几何体的三视图考点一空间几何体的三视图1.(优质试题北京,5,5分)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4答案答案 C本题考查空间几何体的三视图和直观图,
10、空间线、面的位置关系.由三视图得四棱锥的直观图如图所示.其中SD底面ABCD,ABAD,ABCD,SD=AD=CD=2,AB=1.由SD底面ABCD,AD,DC,AB底面ABCD,得SDAD,SDDC,SDAB,故SDC,SDA为直角三角形,又ABAD,ABSD,AD,SD平面SAD,ADSD=D,AB平面SAD,又SA平面SAD,ABSA,即SAB也是直角三角形,从而SB=3,又BC=,SC=2,BC2+SC2SB2,SBC不是直角三角形,故选C.222SDADAB222152方法技巧方法技巧三视图还原为直观图的原则是“长对正、高平齐、宽相等”,另外,在将三视图还原为直观图时,借助于正方体或
11、长方体能使问题变得具体、直观、简单.2.(优质试题北京,7,5分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为()A.3B.2C.2D.2232答案答案 B 本题考查空间几何体的三视图,考查空间想象能力.根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥P-ABCD)如图所示,将该四棱锥放入棱长为2的正方体中.由图可知该四棱锥的最长棱为PD,PD=2.故选B.2222223考点二空间几何体的表面积考点二空间几何体的表面积(优质试题安徽,7,5分)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()A.1+B.2+C.1+2D.23322侧面SAC底面ABC,且SAC与ABC均为腰长是的等腰直角三角
12、形,SA=SC=AB=BC=,AC=2.设AC的中点为O,连接SO,BO,则SOAC,SO平面ABC,SOBO.又OS=OB=1,SB=,故SAB与SBC均是边长为的正三角形,故该四面体的表面积为2+2()2=2+.222212223423答案答案 B四面体的直观图如图所示.考点三空间几何体的体积考点三空间几何体的体积1.(优质试题浙江,3,4分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.8答案答案 C本题考查空间几何体的三视图和直观图以及几何体的体积公式.由三视图可知该几何体是直四棱柱,其中底面是直角梯形,直角梯形上,下底边的长分别为
13、1cm,2cm,高为2cm,直四棱柱的高为2cm.故直四棱柱的体积V=22=6cm3.122思路分析思路分析(1)利用三视图可判断几何体是直四棱柱;(2)利用“长对正,高平齐,宽相等”的原则,可得直四棱柱的各条棱长.2.(优质试题浙江,3,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.+1B.+3C.+1D.+3223232答案答案 A本题考查三视图和直观图,三棱锥和圆锥的体积计算.由三视图可知该几何体是由底面半径为1cm,高为3cm的半个圆锥和三棱锥S-ABC组成的,如图,三棱锥的高为3cm,底面ABC中,AB=2cm,OC=1cm,ABOC.故其体
14、积V=123+213=cm3.故选A.13121312123.(优质试题山东,5,5分)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为()A.+B.+C.+D.1+13231323132626答案答案 C由三视图可知四棱锥为正四棱锥,底面正方形的边长为1,四棱锥的高为1,球的直径为正四棱锥底面正方形的外接圆的直径,所以球的直径2R=,则R=,所以半球的体积为R3=,又正四棱锥的体积为121=,所以该几何体的体积为+.故选C.222232613131326评析评析本题考查了空间几何体的三视图和体积公式.正确得到几何体的直观图是解题关键.易错警示易错警示没有从俯视图中正确得到
15、球的半径,而错误地从正视图中得到球的半径R=造成错解.或解题粗心,误认为半径R=1造成错解.124.(优质试题江苏,10,5分)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.答案答案43解析解析本题考查组合体体积的计算.多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成,其中正四棱锥的底面边长为,高为1,其体积为()21=,多面体的体积为.213223435.(优质试题天津,11,5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为.答案答案112解析解析本题主要考查正方体的性质和
16、正四棱锥的体积.由题意知四棱锥的底面EFGH为正方形,其边长为,即底面面积为,由正方体的性质知,四棱锥的高为.故四棱锥M-EFGH的体积V=.2212121312121126.(优质试题天津,10,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.答案答案 92解析解析本题考查正方体的表面积及外接球的体积.设这个正方体的棱长为a,由题意可知6a2=18,所以a=,所以这个正方体的外接球半径R=a=,所以这个正方体外接球的体积V=R3=.33232434333292方法总结方法总结找几何体外接球球心的方法:1.构造长方体(或正方体),将原几何体外接球转化成
17、长方体(或正方体)的外接球,进而易得球心位置;2.找几何体底面的外心O1,过O1作底面的垂线l1,再找几何体一侧面的外心O2,过O2作该侧面的垂线l2,则l1与l2的交点即为外接球的球心.7.(优质试题江苏,6,5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是.12VV答案答案32解析解析本题考查空间几何体的体积.设圆柱内切球的半径为R,则由题设可得圆柱O1O2的底面圆的半径为R,高为2R,=.12VV23243RRR328.(优质试题山东,13,5分)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如下图,则该几何
18、体的体积为.14答案答案2+2解析解析本题考查几何体的三视图和体积的计算.由三视图得该几何体的直观图(如图).其中,长方体的长,宽,高分别为2,1,1,圆柱体的底面半径为1,高为1.所以该几何体的体积V=211+121=2+.1229.(优质试题天津,11,5分)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为m3.答案答案2解析解析四棱锥的底面是平行四边形,由三视图可知其面积为21=2m2,四棱锥的高为3m,所以四棱锥的体积V=23=2m3.13易错警示易错警示该题有两点容易出错:一是锥体的体积公式中的系数易漏写;二是底面平行四边形的面积易错误地写成
19、31=3m2.13评析评析本题考查了三视图和直观图,考查了锥体的体积.C C组组 教师专用题组教师专用题组1.(优质试题江西,5,5分)一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是()答案答案 B由几何体的直观图知,该几何体最上面的棱横放且在中间的位置上,因此它的俯视图应排除A、C、D,经验证B符合题意,故选B.2.(优质试题湖北,5,5分)在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为、的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为()A.和B.和C.和D.和答案答案 D设A(0,0,2),B(
20、2,2,0),C(1,2,1),D(2,2,2).B,C,D在平面yOz上的投影的坐标分别为(0,2,0),(0,2,1),(0,2,2),点A(0,0,2)在平面yOz上,又点C的横坐标小于点B和D的横坐标,该几何体的正视图为题图.点A,C,D在平面xOy上的投影的坐标分别为(0,0,0),(1,2,0),(2,2,0),点B(2,2,0)在平面xOy上,该几何体的俯视图为题图.故选D.评析评析本题考查了空间直角坐标系和三视图,考查了空间想象能力.本题也可以根据该四面体各顶点的坐标画出几何体的直观图再求解.3.(优质试题湖南,7,5分)一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨
21、,加工成球,则能得到的最大球的半径等于()A.1B.2C.3D.4答案答案 B由三视图知该石材表示的几何体是一个直三棱柱,该直三棱柱的底面是两直角边长分别为6和8的直角三角形,其高为12.要得到最大球,则球与三个侧面相切,从而球的半径应等于底面直角三角形的内切圆的半径,故半径r=2,其中S为底面直角三角形的面积.故选B.268 10S 4.(2013课标全国,8,5分,0.718)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.16+8B.8+8C.16+16D.8+16答案答案 A由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成.其中长方体的长、宽、高分别为4、2、2,圆柱的底面半径为2,高
22、为4.所以该几何体的体积为V=422+224=16+8.故选A.12思路分析思路分析根据几何体的三视图,可以判断该几何体是一个组合体(由圆柱的一半与一个长方体组成),由三视图还原出对应的几何体,然后根据体积的计算公式计算各部分体积,最后求和即可.5.(2013辽宁,13,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是.答案答案16-16解析解析由三视图可知该几何体是由圆柱中间除去正四棱柱得到的,故所求体积是44-224=16-16.考点一空间几何体的三视图考点一空间几何体的三视图1.(优质试题贵州贵阳高三适应性考试一,10)如图,格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某三棱锥的三视图,则
23、该三棱锥的四个面的面积中最大与最小之和是()A.5+4B.12C.8+4D.1032A A组组 优质试题优质试题优质试题年高考模拟优质试题年高考模拟基础题组基础题组三年模拟答案答案 B根据三视图作出原几何体(三棱锥P-ABC)的直观图如下:结合三视图中的对应边长进行计算,可知该几何体的四个面均为直角三角形,求得最大面积为8,最小面积为4,因此面积中最大与最小之和为12,故选B.2.(优质试题贵州黔东南州二模,7)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最大棱长为()A.B.C.D.25672答案答案 B根据三视图作出原几何体(四棱锥P-ABCD)的直观图如下:计算得PB=PD=BC=,PC=
24、,故该几何体的最大棱长为,故选B.266考点二空间几何体的表面积1.(优质试题广西梧州二模,8)一个几何体的三视图如图,则该几何体的表面积为()A.23+B.23+C.24+(-1)D.24+(-1)3535答案答案 D根据三视图,可得该几何体由正方体和圆锥组合而成,正方体的棱长为2,圆锥的底面半径为1,高为2,则该几何体的表面积为622+2-12=24+(-1).12552.(优质试题广西来宾5月月考,10)下图是某几何体的三视图,则此几何体的表面积为()A.4+2+2B.4+4C.2+4+2D.8+4233232答案答案 A该几何体为三棱锥,其直观图如图所示,则其表面积为四个面面积之和,即
25、表面积S=2+22+(2)2=4+2+2.12 2 22 12342233.(优质试题云南昆明一中一模,9)一个正方体挖去一个多面体所得的几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图和俯视图均为边长等于2的正方形,这个几何体的表面积为()A.16+4B.16+4C.20+4D.20+43535答案答案 D三视图的直观图如图,所以S=522+42=20+4,选D.12554.(优质试题广西南宁二模,10)如图所示,一个几何体的主视图和左视图都是边长为4的正方形,中间线段平分正方形,俯视图中有一内切圆,则该几何体的表面积是()A.64+8B.56+12C.32+8D.48+8答案答案 A由题意知,圆
26、柱的底面半径为2,圆柱的高为2,所以S=42+244+442=8+64.故选A.思路分析思路分析由三视图可知该几何体是由两个简单几何体拼接而成的,其中下部分是一个正四棱柱,上部分是直径等于正四棱柱底面边长的圆柱,计算时只需计算正四棱柱的表面积加上圆柱的侧面积即可.考点三空间几何体的体积考点三空间几何体的体积1.(优质试题广西钦州1月月考,9)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.2+B.2+C.+2D.2+2232答案答案 A根据三视图,可得该几何体是由长方体和半圆柱组合而成,长方体的长、宽、高分别为2,1,1;圆柱的底面半径为1,高为1,则该几何体的体积V=V半圆柱+V长方体=
27、121+112=2+.故选A.1222.(优质试题广西来宾二模,10)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于()A.B.50C.D.408031603答案答案 C由三视图可知该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥后的几何体(如图),且过BC的侧面与侧面SAB垂直,所以V棱柱=448=64,VS-ABC=444=,则所求几何体的体积为64-=,故选C.1213123233231603思路分析思路分析根据提供的三视图还原几何体,不规则的几何体的体积是比较难计算的,我们可以采用割补的思想补成规则的几何体,再进行计算.1.(优质试题贵州凯里一中二模,5)某几何体的三视图如图所示,则该几何体中最短
28、棱和最长棱所在直线所成角的余弦值为()A.B.C.D.63642233B B组组 优质试题优质试题优质试题年高考模拟优质试题年高考模拟综合题组综合题组(时间:15分钟分值:20分)一、选择题(每题5分,共15分)答案答案 D如图所示,该三视图对应的直观图为四棱锥P-ABCD,由两条异面直线所成的角的定义知:AD、BC与PC所成的角相等,AB、CD与PC所成的角相等,均等于BCP,且PDC PBC PAC,在RtPBC中,cosBCP=.故选D.BCPC13332.(优质试题广西柳州一模,12)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则它的体积为()A.48B.16C.3
29、2D.165答案答案 B根据三视图得出,该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O-ABCD,正方体的棱长为4,O、A、D分别为棱的中点,OD=2,AB=DC=OC=2,作OECD,垂足是E,BC平面ODC,BCOE,BCCD,则四边形ABCD是矩形,CDBC=C,OE平面ABCD,ODC的面积S=44-22-242=6,6=CDOE=2OE,得OE=,四棱锥O-ABCD的体积V=S矩形ABCDOE=42=16.故选B.25121212125651313565思路分析思路分析根据三视图画出此几何体:镶嵌在正方体中的四棱锥.由正方体的位置关系判断底面是矩形,作出四棱锥的高后,利用线面垂直的判定定理进行证
30、明,由等面积法求出四棱锥的高,利用锥体的体积公式求出答案.3.(优质试题云南大理二模,9)在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,底面ABCD为正方形,PA=AB,该四棱锥被一平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则剩余部分体积与原四棱锥体积的比值为()A.B.C.D.13122334答案答案 D根据几何体的三视图可得,该几何体是过BD且平行于PA的平面截四棱锥P-ABCD所得的几何体.截去的部分为三棱锥E-BCD,设AB=1,则V三棱锥E-BCD=11=.V四棱锥P-ABCD=S正方形ABCDPA=121=.剩余部分的体积V剩余部分=V四棱锥P-ABCD-V三棱锥E-BCD=-=.剩余部
31、分体积与原四棱锥体积的比值为=.故选D.1312121121313131311214141334思路分析思路分析根据几何体的三视图可得,该几何体是过BD且平行于PA的平面截四棱锥P-ABCD所得的几何体,截去的部分为三棱锥E-BCD,V剩余部分=V四棱锥P-ABCD-V三棱锥E-BCD.设AB=1,即可得出.二、填空题(共5分)4.(优质试题广西南宁二中月考,14)如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积为.答案答案6+2+26解析解析由三视图可知,该几何体为一个四棱锥,如图所示,CD面PAD,BA面PAD,PAAD,PA=AD=CD=2,AB=1,PD=2,PC=2,PB=,BC=,SPBC=2=.则该几何体的表面积S=+21+22+22+=6+2+.235512326(12)221212212626
