1、第八节第八节 正弦定理和余弦定理的正弦定理和余弦定理的实际应用实际应用1.实际问题中的常用角实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角,目标视线在水平线上方的角叫仰角,目标视线在水平线下方的角叫俯角(如图).教材研读(2)方向角:一般指相对于正北或正南方向的水平锐角,如南偏东30,北偏西45等.(3)方位角从正北方向顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角,如点B的方位角为(如图).(4)坡角:坡面与水平面所成的锐二面角.(附:坡度(坡比):坡面的铅直高度与水平宽度之比)2.解关于解三角形的应用题的一般步骤解关于解三角形的应用题的一般步骤(1)准确理解题意
2、,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系;(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题;(3)根据题意选用正弦定理或余弦定理进行求解;(4)将所得结论还原到实际问题中,注意实际问题中有关单位、近似计算等的要求.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)东北方向就是北偏东45的方向.()(2)从A处望B处的仰角为,从B处望A处的俯角为,则,的关系为+=180.()(3)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为.()(4)方位角与方向角的实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系.()(5)方位角的大小范围是0,2),方向角的大小范围一般是.()0,20,2
3、2.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20的方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40的方向上,则灯塔A与灯塔B的距离为(B)A.akmB.akmC.akmD.2akm323.在上题的条件下,灯塔A相对于灯塔B的方向为(B)A.北偏西5B.北偏西10C.北偏西15D.北偏西204.设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧选定一点C,测出A,C的距离为50m,ACB=45,CAB=105,则可以计算出A,B两点间的距离为.答案答案50m25.如图所示,D,C,B三点在地面的同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角分别为60,30,则A点离地
4、面的高度AB=.答案答案32a考点突破考点一测量距离问题考点一测量距离问题典例典例1如图,为了测量两座山峰上P,Q两点之间的距离,选择山坡上一段长度为300m且和P,Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点,现测得PAB=90,PAQ=PBA=PBQ=60,则P,Q两点间的距离为m.3答案答案900解析解析由已知,得QAB=PAB-PAQ=30.又PBA=PBQ=60,AQB=30,AB=BQ.又PB为公共边,PAB PQB,PA=PQ.在RtPAB中,AP=ABtan60=900(m),故PQ=900(m),P,Q两点间的距离为900m.方法技巧方法技巧求距离问题的两个策略(1)选定
5、或确定要创建的三角形.首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知,则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定的三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理.如果都可用,就选择更便于计算的定理.1-1(2019兰州一中期中)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球距地面的高度是60m,则河流的宽度BC等于(C)A.240(-1)mB.180(-1)m32C.120(-1)mD.30(+1)m33答案答案 C如图,ACD=30,ABD=75,AD=60m,在RtACD中,CD=60m,在RtABD中,BD=60(2-)m,BC=CD-BD=60-60(2-)
6、=120(-1)m.tanADACD60tan303tanADABD60tan7560233333考点二测量高度问题考点二测量高度问题典例典例2为了测量某新建的信号发射塔AB的高度,先取与发射塔底部B在同一水平面内的两个观测点C,D,测得BDC=60,BCD=75,CD=40m,并在点C的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30,且CE=1m,则发射塔的高AB=(A)A.(20+1)mB.(20+1)mC.20mD.(40+1)m2322解析解析过点E作EFAB,垂足为F,则EF=BC,BF=CE=1m,AEF=30.在BCD中,由正弦定理得,BC=20(m).所以EF=20m,在RtAFE中,
7、AF=EFtanAEF=20=20(m),所以AB=AF+BF=(20+1)m.sinsinCDBDCCBD6663322方法技巧方法技巧求解高度问题应注意以下三点(1)理解概念:仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角).(2)画图:若遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错.(3)转化:注意山或塔等建筑物垂直于海平面或地面,把空间问题转化为平面问题.2-1如图,为了测量河对岸的电视塔CD的高度,小王在点A处测得塔顶D的仰角为30,塔底C与A的连线同河岸成15角,小王向前走了1200m到达M处,
8、测得塔底C与M的连线同河岸成60角,则电视塔CD的高度为m.答案答案6002解析解析在ACM中,MCA=60-15=45,AMC=180-60=120,由=,得=,解得AC=600m.在ACD中,tanDAC=,DC=600=600m.sinAMMCAsinACAMC12002232AC6DCAC336332考点三测量角度问题考点三测量角度问题典例典例3(1)(2019武昌调研)如图,据气象部门预报,在距离某码头南偏东45方向600km的A处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动,已知距风暴中心450km以内的地区都将受到影响,则该码头将受到热带风暴影响的时间为(B)A.14hB.
9、15hC.16hD.17h(2)已知岛A南偏西38方向上,距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度在岛A的北偏西22方向上行驶,则缉私艇朝何方向以多大速度行驶时,恰好用0.5小时能截住该走私船?解析解析(1)设t小时后热带风暴中心到达点B处,在OAB中,OA=600km,AB=20tkm,OAB=45,由余弦定理得OB2=6002+400t2-220t600,令OB24502,即4t2-120t+15750,解得t,所以该码头将受到热带风暴影响的时间为-=15(h).(2)如图,设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上一点,缉私艇的速度为每小时x海里,结合
10、题意知BC=0.5x海里,AC=5海里,BAC=180-38-22=120,22230 2-15230 215230 215230 2-152由BC2=AB2+AC2-2ABACcos120,得BC2=49,所以BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sinABC=,所以ABC=38,又BAD=38,所以BCAD,故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶,恰好用0.5小时截住该走私船.sinACBACBC35275 314方法技巧方法技巧测量角度问题的解题思路解决测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三
11、角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.提醒提醒方向角是相对于某点而言的,因此在确定方向角时,必须先弄清楚是哪一个点的方向角.3-1如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40的方向上,灯塔B在观察站C的南偏东60的方向上,则灯塔A在灯塔B的的方向上.答案答案北偏西10解析解析由已知,得ABC=(180-80)=50,所以灯塔A在灯塔B的北偏西10的方向上.123-2如图,在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇(位于A处)发现在北偏东45方向,相距12nmile的水面B处,有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75方向前进,若红方侦察艇以
12、每小时14nmile的速度沿北偏东45+方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值.解析解析如图,设红方侦察艇在C处拦截住蓝方的小艇,且经过的时间为x小时,则AC=14x(nmile),BC=10 x(nmile),ABC=120.根据余弦定理得(14x)2=122+(10 x)2-240 xcos120,解得x=2(负值舍去).故AC=28nmile,BC=20nmile.由=,解得sin=.所以,要使红方侦察艇在最短的时间内拦截住蓝方小艇,则所需要的时间为2小时,角的正弦值为.sinBC5 3145 314数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学知识与
13、方法构建数学模型解决问题的素养.在三角问题中,主要涉及测量角度、高度等,通过正、余弦定理模型解决问题,最终解决实际问题.素养引领情境命题1.如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角的大小(仰角为直线AP与平面ABC所成角).若AB=15m,AC=25m,BCM=30,则tan的最大值是(D)A.B.C.D.30530104 395 39答案答案 D在RtABC中,sinACB=,则cosACB=.作PHBC,垂足为H,连接AH,如图所示.设PH=xm,则CH=
14、xm,ABAC152535453在ACH中,由余弦定理得AH=,则tan=tanPAH=,当=时,tan取得最大值,最大值为.22-2cosACCHAC CHACB26253-40 3xxPHAH21625 40 3-3xx10 x1x4 31255 392.如图,在水平地面上有两座直立的且相距60m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍,从两塔底部连线的中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角,则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为;塔BB1的高为m.答案答案;4513解析解析设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为,则AA1=60tanm,BB1=60tan2m.因为从两塔底部连线的中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角,所以A1ACCBB1,所以=,所以AA1BB1=900,所以3600tantan2=900,所以tan=(负值舍去),所以tan2=,BB1=60tan2=45m.130AA130BB1334
