1、 第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 中学生标准学术能力诊断性测试中学生标准学术能力诊断性测试 2020 年年 5 月测试月测试 理科理科数学试卷数学试卷（一一卷）卷） 本试卷共本试卷共 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。分钟。 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的 1已知集合=+AxxBy yxxxA|log (2)0 ,|45, 2 2 ，则=AB A3,) B2,) C(2,) D(3,) 2 在
2、复平面内，复数 + i i 1 23 的虚部为 A13 B 2 13 C 13 D 2 13 3已知单位向量a b,满足+=abab|2| | 2|，则+=baba3 )( )( A1 B2 C3 D4 4下列程序框图的算法思想源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” 执行该程序框 图，若输入=ab16,10,则程序中需要做减法的次数为 A6 B5 C4 D3 5在（+xxx21) (1) 225 的展开式中，x4的系数为 A6 B6 C10 D4 6在三角形ABC中，a b c, ,分别为角A B C, ,的对边，且满足+=+bcabc 5 6 222 ，则= +BC 2 sin()
3、A 2 2 B 5 5 C 5 2 D 5 2 5 7函数 = x f x ex 2 3 )(的部分图像大致是 A B C D 8已知函数= + f xxxee xx 3 66 1 3 )(，若 + + aa ff 11 0 11 2 ，则a的取值范围为 A( +, 12,) B）（1,2 C(-1,0)(0,1) D(-+1,1)2,) 9已知等差数列an满足：=+=aaa1,4 1416 ，则 aaa =222 1219 A238 B219 C216 D276 10已知椭圆+= ab ab xy 1(0) 22 22 的离心率为 5 2 ，以原点为圆心以椭圆短半轴长为半径的圆与直线 =+y
4、x21相切，则=a A2 B5 C3 D1 11设f x( )为定义于 1,1上的偶函数，当x0,1时，=f xx( ) |12 |，则方程=f f x x 2 ( ( ) 2 的实数解 的个数为 A8 B6 C4 D2 12已知当 0,1时，不等式+xxxxcos(1)(1- ) sin0 22 恒成立，则的取值范围为 A+ kk 1212 5 （k为任意整数） B+ kk 66 5 （k为任意整数） C+ kk 1212 22 5 （k为任意整数） D+ kk 66 22 5 （k为任意整数） （第 4 题图） 扫码回复“中学生”查看答案 第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页 二
5、二、填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13设数列 n a满足 22 1221 4,10,5,3 nnn aaaaan = ，则 20192018 1 lnln 2 aa= 14设实数, x y满足 0 220 3 xy xy x + ，则 22 xy+的最大值为 15假设抛一枚质地均匀的色子，若抛出的点数为 1、2 或 3，我们称为“小” ，否则，若抛出的点 数为 4、5 或 6，则称为“大” 独立重复地抛这枚色子两次，已知两次都为“大” ，则第 1 次抛出 的点数为 6 的概率 16已知定义于实数R上的奇函数( )f x满足( )2
6、fx ，则不等式 2 (1)(3 2ln )f xxx3(12 )x+ 的解集为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题为必考题，每个试 题考生都必须作答第题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：（一）必考题：60 分分 17（12 分） 设ABC中，cos(cos3sin)cos0CAAB+=， 内角ABC、 、对应的对边长分别为abc、 、 （1）求角B的大小； （2）若 22 48ac+=，求ABC面积S的最大值，
7、并求出S取得最大值时b的值 18 （12 分）如下为简化的计划生育模型：每个家庭允许生男孩最多一个，即某一胎若为男孩，则不 能再生下一胎，而女孩可以多个为方便起见，此处约定每个家庭最多可生育 3 个小孩，即若第 一胎或前两胎为女孩，则继续生，但若第三胎还是女孩，则不能再生了设每一胎生男生女等可 能，且各次生育相互独立依据每个家庭最多生育一个男孩的政策以及我们对生育女孩的约定， 令为某一家庭所生的女孩数，为此家庭所生的男孩数 （1）求,X Y的分布列, 并比较它们数学期望的大小； （2）求概率()P XD X，其中()D X为X的方差 19（12 分） 如图， 已知四棱锥PABCD的底面ABCD
8、为边长为 2 的菱形，PA平面ABCD,2PA=， 60ABC =,F为棱PC上一点，且:1:3PF FC = （1）求证：BDAF； （2）求二面角APDC的余弦值； （3）求三棱锥FAPD的体积V 20 （12 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab =的离心率 3e =，其左焦点 1 F到此双曲线渐近线的距离为2 2 （1）求双曲线C的方程； （2）若过点(2,0)D的直线l交双曲线C于AB、两点，且以AB为直径的圆E过原点O，求圆E的 圆心到抛物线 2 4xy=的准线的距离 21 （12 分）设函数 3 ( ) |ln|,0 ae f xxb x x =+，其中
9、e为欧拉数，, a b为未知实数，且0a 如果 (0, )e和( ,)e 均为函数( )f x的单调区间 （1）求a； （2）若函数( )( )3h xf xcx=+在(0, )( ,)ee 上有极值点，c为实数，求c的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分请考生在第请考生在第 22,23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分分作答时请写清题号作答时请写清题号 22选修 4-5：不等式选讲 （10 分） 设( )f x为定义于(0,1)上的函数，满足： （1）对任意(0,1)x，都有( )0f x ； （2）对任意,(
10、0,1)x y，都有 ( )(1) 2 ( )(1) f xfx f yfy + 求证：( )f x在(0,1)上的导数恒为零 23 选修 2-2，推理与证明 （10 分） 设数列 n a为非负实数列，且满足 12 1 20,1,1,2, k kkki i aaaak + = += 求证： 1 2 2 0,1,2, kk aak k + = （第 19 题图） 第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 中学生标准学术能力诊断性测试中学生标准学术能力诊断性测试 2020 年年 5 月测试月测试 文科文科数学试卷数学试卷（一（一卷）卷） 本试卷共本试卷共 150 分，考试时间分，考试时间 1
11、20 分钟。分钟。 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的 1已知集合= Pxx| 14 ，=Qx x|2 ，则 R PQ()= A2,4) B +( 1,) C+2,) D( 1,2 2已知复数z满足 = i i z 4 （其中 i 为虚数单位） ，则z的虚部为 Ai 4 B4 C1 D1 3已知实数x y,满足约束条件 + x xy y 2 2 2 ，则+xy3的最大值为 A2 B6 C8 D12 4已知实数a b,满足+=a
12、b5，=abloglog 23 ，则=ab A2 B3 C5 D6 5已知向量a b,满足a =1，ab= 2且ab，则向量a与a b的夹角为 A 3 B 3 C 6 D 6 6已知函数=f xxxln)(，则函数f x)(的单调递增区间为 AR B+0,)( C + e , 1 D+e,)( 7数列an的前n项和N=Snn n n 23 2*) ( ，若N+=pqp q5, *) ( ，则+=aa pq A6 B8 C9 D10 8已知Rx y,，“+xy1且xy1”是“+xy| 1”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9已知实数a0，则函数 =+ a
13、 f xaxsin 1 )(的图象一定不可能的是 A B C D 10已知Rx y,，则方程组 =+ += yx xyxy 31 222 22 22 )()( 的解x y,)(的个数 A0 B1 C2 D4 11已知ABC中，角A B C , 所对的边分别是a b c, ,若 += ba C ab 4cos ，且 =AB 6 cos() 1 ，则 =Ccos A 3 2 B 4 3 C 3 2 或 4 3 D不存在 12已知Rm n p, ,，若三次函数 =+f xxmxnxp( ) 32 有三个零点a b c , , ，且满足=ff 2 ( 1)(1) 3 ， =ff(0)(2)2，则+ a
14、bc 111 的取值范围是 A 3 ,1 1 B 4 3 , 1 1 C 4 2 , 1 1 D 3 2 , 1 1 二二、填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知F1和F2是椭圆+=y x 3 1 2 2 的两个焦点，则F F| 12 = 14将 1 名同学和 2 名老师随机地排成一排,则该名学生恰好在 2 名老师中间的概率为 15定义在R上的偶函数f x( )满足+=+f xf xfx 4 (8)( )( ) 1 2 ，则=f 2020)( 16已知ABC中，=A 2 ,=AB3,=AC4如图，点D为斜边BC上一个动点，将ABD
15、沿AD O - -1 1 1 -1 y x O - -1 1 1 -1 y x O - -1 1 1 -1 y x O - -1 1 1 -1 y x 扫码回复“中学生”查看答案 第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页 翻折，使得平面AB D平面ACD当BD= 时，B C取到最小值 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每题为必考题，每道道试试 题考生都必须作答第题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一一）必必考题：共考题：共 6
16、0 分分 17 （12 分）如图，点 0 P是锐角的终边与单位圆的交点， 0 OP逆时 针旋转 3 得 1 OP， 1 OP逆时针旋转 3 得 2 OP, 1n OP逆时针旋转 3 得 n OP （1）若 0 P的坐标为 3 4 , 5 5 ，求点 1 P的横坐标； （2）若点 2020 P的横坐标为 4 5 ，求 2 sin 2 3 + 的值 18 （12 分）某高中某班共有40个学生，将学生的身高分成4组： 150,160)，160,170)，170,180)，180,190进行统计，作成如图 所示的频率分布直方图 （1）求频率分布直方图中a的值和身高在160,170)内的人数； （2）
17、求这 40 个学生平均身高的估计值 （同一组中的数据用该组 区间的中点值为代表） （精确到0.01） 19 （12 分）如图，四棱锥PABCD中， PAB是边长为 2 的等 边三角形梯形ABCD满足：1BCCD=,/AB CD,ABBC （1）求证：PD AB ； （2）若2PD=，求点D到平面PBC的距离 20 （12 分）如图，已知抛物线 2 :4C xy=，过直线1y =上一 点M作直线l交抛物线C于,A B两点,且点M为AB中 点作直线MNAB交y轴于点N （1）求点N的坐标； （2）求NAB面积的最大值 21 （12 分）已知函数( )(1)lnf xxx=+ （1）求( )yf x
18、=在1x =处的切线方程； （2）已知实数2k 时，求证：函数( )yf x=的图象与直线():1l yk x=有3个交点 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分请考生在第请考生在第 22,23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分分作答时请写清题号作答时请写清题号 22选修 4-4：坐标系与参数方程选讲（10 分） 在极坐标系中，已知曲线 2 2 2 : 1 sin C = + ，过点 ()1,0F 引倾斜角为的直线l，交曲线C于,P Q 两点 （1）求曲线C的直角坐标方程； （2）若直线l分别交直线2x = 于 ,A B两点，且PQ AFBFAB、成等比数列，求cos的值 23选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知实数, a b满足：22ab+= （1）求证： 2 8 2 1 c abb c + + ； （2）若对任意的, a b + R， 12 11cc ba +恒成立，求c的取值范围 (第 16 题图) D D C C A A B B B x y O N A B M （第 20 题图） （第 18 题图） a 0.03 0.0125 频率/组距 身高(cm)190180170160150 (第 19 题图) （第 17 题图）
