1、 第第 6 讲讲 一元二一元二次方程次方程 知识点 1 一元二次方程的相关概念及解法 1一元二次方程 x26x50 配方后可变形为(A) A(x3)214 B(x3)24 C(x3)214 D(x3)24 2已知关于 x 的方程 x2x2a10 的一个根是 0，则 a1 2 3解方程： (1)x24x10； 解：方程可化为 x24x1. (x2)25. x12 5，x22 5. (2)(x3)(x1)3. 解：方程化为 x24x0， x(x4)0， x10，x24. 知识点 2 一元二次方程根的判别式 4一元二次方程 x22x0 的根的判别式的值为(A) A4 B2 C0 D4 5一元二次方程
2、 x24x40 的根的情况是(C) A有两个不相等的实数根 B无实数根 C有两个相等的实数根 D无法确定 6关于 x 的一元二次方程 x22xk0 有两个相等的实数根，则 k 的值为(B) Ak1 Bk1 Ck1 Dk1 知识点 3 一元二次方程根与系数的关系 7若方程 3x24x40 的两个实数根分别为 x1，x2，则 x1x2(D) A4 B3 C4 3 D.4 3 8设 x1，x2是方程 5x23x20 的两个实数根，则 x1x2的值为2 5 9已知关于 x 的一元二次方程 x23xm0 有两个不相等的实数根 x1，x2. (1)求 m 的取值范围； (2)当 x11 时，求另一个根 x
3、2的值 解：(1)由题意，得 (3)241m94m0， 解得 m0. x（12） 36 21 6 3. x13，x29. 方法指导 解一元二次方程需要根据方程特点选用适当的方法解法选择口诀如下： 方程没有一次项， 直接开方最理想； 如果缺少常数项， 因式分解没商量； b，c 相等都为零， 等根是零不要忘； b，c 同时不为零， 因式分解或配方； 也可直接套公式， 因题而异择良方 易错提示 1用因式分解法解一元二次方程时，易出现方程的右边没有化为 0，左边直接因式分解的错误 2用公式法解一元二次方程，在确定系数 a，b，c 时，易忘记先将一元二次方程化为一般形式 3对于缺少常数项的一元二次方程，
4、方程两边不能同时除以未知数或含有未知数的项，如解 x25x0 时， 易出现方程两边同时除以 x，遗漏 x0 的情况 重难点 2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 (2017 黄石)已知关于 x 的一元二次方程 x24xm20. (1)求证：该方程有两个不等的实数根； (2)若该方程的两个实数根 x12x29，求 m 的值 【思路点拨】 (1)直接计算出根的判别式，利用非负数的性质判断即可；(2)利用根与系数的关系得到 x1x2 的值，将 x1x2的值代入到 x12x29 中，可求出 x2.因为 x2是一元二次方程 x24xm20 的一根，故可将 x2 5 直接代入到一元二次方程中，解关于
5、 m 的方程，即可求出 m. 【自主解答】 (1)证明：(4)241(m2)164m20， 该方程有两个不等的实数根 (2)根据根与系数的关系可得 x1x24 1 4. x12x29，x25. x25 是一元二次方程 x24xm20 的一根， 5245m20.m 5. 【变式训练 1】 (易错易混)(2017 白银)若关于 x 的一元二次方程(k1)x24x10 有实数根，则 k 的取值范 围是 k5 且 k1 【变式训练 2】 (2017 十堰)已知关于 x 的方程 x2(2k1)xk210 有两个实数根 x1，x2. (1)求实数 k 的取值范围； (2)若 x1，x2满足 x21x221
6、6x1x2，求实数 k 的值 解：(1)由题意，得 (2k1)24(k21)4k50， 解得 k5 4. 实数 k 的取值范围为 k5 4. (2)由题意，得 x1x212k，x1x2k21. x21x22(x1x2)22x1x216x1x2， (12k)22(k21)16(k21)， 解得 k2 或 k6(舍去) 实数 k 的值为2. 方法指导 1判断一元二次方程根的情况，要明确 a，b，c 的值，然后比较 b24ac 与 0 的大小 2利用根与系数的关系解决有关代数式的问题，一般是通过变形将代数式转化为含有 x1x2与 x1x2的式子 易错提示 解答关于二次项系数中含有未知数的一元二次方程
7、时，容易忽视一元二次方程的前提条件是：二次 项系数 a0.因此，在解答过程中，要首先列出前提条件，即：在满足二次项系数 a0 的条件下求解 重难点 3 一元二次方程的应用 (2017 眉山)东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次， 第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件， 每件利润 10 元调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加 2 元 (1)若生产的某批次蛋糕每件利润为 14 元，此批次蛋糕属第几档次产品； (2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少 4 件若生产的某档次产品一天的总利润为 1 080 元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？ 【思路点拨
8、】 (1)根据生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加 2 元，即可求出每件利润为 14 元 的蛋糕属第几档次产品；(2)设烘焙店生产的是第 x 档次的产品，根据单件利润销售数量总利润，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出结论 【自主解答】 (1)(1410) 213. 答：此批次蛋糕属第 3 档次产品 (2)设该烘焙店生产的是第 x 档次的产品，根据题意，得 102(x1)764(x1)1 080. 整理得 x216x550. 解得 x15，x211. 答：该烘焙店生产的是第 5 档次或第 11 档次的产品 【变式训练 3】 (2017 无锡)某商店今年 1 月份的销售额是
9、2 万元，3 月份的销售额是 4.5 万元，从 1 月份到 3 月份，该店销售额平均每月的增长率是(C) A20% B25% C50% D62.5% 【变式训练 4】 (2017 兰州)王叔叔从市场上买一块长 80 cm，宽 70 cm 的矩形铁皮，准备制作一个工具箱，如 图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长 x cm 的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为 3 000cm2的无 盖长方形工具箱，根据题意列方程为(C) A(80x)(70x)3 000 B80704x23 000 C(802x)(702x)3 000 D80704x2(7080)x3 000, 方法指导 列一元二次方程
10、解应用题的常见关系： (1)平均变化率问题：若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系 为 a(1 x)2b； (2)利润问题：利润售价成本；利润率利润 成本100%； (3)矩形面积问题 镶边矩形： 如图，镶边矩形 ABCD 中空白区域的面积为 S(a2x)(b2x)； 内嵌十字架型矩形： 如图， 图 1 中阴影区域可以通过平移的方法变成图 2 中的样子， 此时易得图 1 矩形 ABCD 中空白区域的面积为 S(ax) (bx) 易错提示 要检验方程的解是否符合实际意义 1(2017 泰安)一元二次方程 x26x60 配方后化为(A) A(x3)21
11、5 B(x3)23 C(x3)215 D(x3)23 2(2017 滨州)一元二次方程 x22x0 根的判别式的值为(A) A4 B2 C0 D4 3(2017 苏州)关于 x 的一元二次方程 x22xk0 有两个相等的实数根，则 k 的值为(A) A1 B1 C2 D2 4(2016 天津)方程 x2x120 的两个根为(D) Ax12，x26 Bx16，x22 Cx13，x24 Dx14，x23 5(2017 威海)若 1 3是方程 x22xc0 的一个根，则 c 的值为(A) A2 B4 32 C3 3 D1 3 6(2016 青岛)输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如下表： x
12、 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 13.75 8.04 2.31 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程(x8)28260 的一个正数解 x 的大致范围为(C) A20.5x20.6 B20.6x20.7 C20.7x20.8 D20.8x20.9 7如果 x2x1(x1)0，那么 x 的值为(C) A2 或1 B0 或 1 C2 D1 8(2016 台州)有 x 支球队参加篮球比赛，共比赛 45 场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是(A) A.1 2x(x1)45 B.1 2x(x1)45 Cx(x1)45 Dx(x1)45 9(2017 泰安)
13、关于 x 的一元二次方程 x2(2k1)x(k21)0 无实数根，则 k 的取值范围为 k5 4 10(易错易混)(2017 德州)方程 3x(x1)2(x1)的根为 x11，x22 3 11(2017 南京)已知关于 x 的方程 x2pxq0 的两根为3 和1，则 p4，q3 12(2017 盐城)若方程 x24x10 的两根是 x1，x2，则 x1(1x2)x2的值为 5 13(2016 梅州)用一条长 40 cm 的绳子围成一个面积为 64 cm2的矩形设矩形的一边长为 x cm，则可列方程为 x(20 x)64 14选择适当的方法解下列方程： (1)x25x10(用配方法)； 解：x2
14、5x1， x25x(5 2) 21(5 2) 2， (x5 2) 221 4 ， x5 2 21 2 ， 所以 x15 21 2 ，x25 21 2 . (2)(2017 丽水)(x3)(x1)3； 解：方程化为 x24x0， x(x4)0， 所以 x10，x24. (3)2x22 2x50(用公式法)； 解：(2 2)242(5)48， x2 2 48 22 2 2 4 3 4 2 2 3 2 ， 所以 x1 22 3 2 ，x2 22 3 2 . (4)(y2)2(3y1)2. 解：(y2)2(3y1)20， (y23y1)(y23y1)0， (4y1)(2y3)0， 4y10 或2y30
15、， 所以 y11 4，y2 3 2. 15(2017 菏泽)列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够 及时售出，据市场调查：每个玩具按 480 元销售时，每天可销售 160 个；若销售单价每降低 1 元，每天可多售出 2 个，已知每个玩具的固定成本为 360 元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润 20 000 元？ 解：设销售单价为 x 元，由题意，得 (x360)1602(480x)20 000. 整理，得 x2920x211 6000. 解得 x1x2460. 答：这种玩具的销售单价为 460 元时，厂家每天可获利润 20 00
16、0 元 16(2017 鄂州)关于 x 的方程 x2(2k1)xk22k30 有两个不相等的实数根 (1)求实数 k 的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为 x1，x2，存不存在这样的实数 k，使得|x1|x2| 5？若存在，求出这样的 k 值； 若不存在，说明理由 解：(1)方程有两个不相等的实数根， (2k1)24(k22k3)4k110， 解得 k11 4 . (2)存在 x1x22k1，x1x2k22k3(k1)220， 将|x1|x2| 5两边平方可得 x212x1x2x225，即(x1x2)24x1x25， 代入得(2k1)24(k22k3)5， 解得 4k115， 解得 k
17、4. 17(2017 白银)如图，某小区计划在一块长为 32 m，宽为 20 m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地 上种植草坪，使草坪的面积为 570 m2.若设道路的宽为 x m，则下面所列方程正确的是(A) A(322x)(20x)570 B32x220x3232570 C(32x)(20x)3220570 D32x220x2x2570 18(2017 呼和浩特)关于 x 的一元二次方程 x2(a22a)xa10 的两个实数根互为相反数，则 a 的值为(B) A2 B0 C1 D2 或 0 19(2017 温州)我们知道方程 x22x30 的解是 x11，x23，现给出另一个方
18、程(2x3)22(2x3)30， 它的解是(D) 习题解析 Ax11，x23 Bx11，x23 Cx11，x23 Dx11，x23 20(2016 达州)设 m，n 分别为一元二次方程 x22x2 0180 的两个实数根，则 m23mn2_016 21(2017 烟台)今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进 100 个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球 2015 年单价为 200 元，2017 年单价为 162 元 (1)求 2015 年到 2017 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率； (2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案： 试问去哪个商场购买足球更优惠？ 解：(1)设 2015 年到 2017 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为 x，根据题意，得 200(1x)2162， 解得 x0.110%或 x1.9(舍去) 答：2015 年到 2017 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为 10%. (2)在 A 商城需要费用为 16290(10099)14 742(元)， 在 B 商城需要的费用为 162100 9 1014 580(元) 14 74214 580. 答：去 B 商场购买足球更优惠
