1、 第 13 讲 角、相交线与平行线 知识点 1 直线、射线、线段 1班长小明在墙上钉木条挂报夹，钉一颗钉子时，木条还任意转动；钉两颗钉子时，木条再也不动了用数学知 识解释这种现象为两点确定一条直线 知识点 2 余角、补角 2若3142，则 的余角的度数为 5818，的补角的度数为 14818 知识点 3 相交线 3如图，点 P 到直线 l 上各点连接的所有线段中，PB 最短，点 P 到直线 l 的距离是 PB 的长度 第 3 题图 第 4 题图 4如图，已知直线 a，b 被直线 c 所截，255，那么1 的同位角是2，3 的内错角是6，2 的同旁内 角是6，455，5125 知识点 4 角平分
2、线的性质与判定 5如图，OP 为AOB 的平分线，PCOB 于点 C，且 PC3，点 P 到 OA 的距离为 3 知识点 5 线段垂直平分线的性质与判定 6若点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，PB10，则 PA10 知识点 6 平行线的性质与判定 7如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道 ABCD，使其拐角ABC150，BCD 30，则(C) AABBC BBCCD CABCD DAB 与 CD 相交 8如图，AD 是EAC 的平分线，ADBC，B30，则C30 第 8 题图 第 9 题图 9如图，已知12，371，则4 的度数是 109 知识点 7 命题 10下列命题
3、中是真命题的是(C) A若 APBP，则 P 是线段 AB 的中点 B过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C平行于同一条直线的两条直线平行 D连接两点之间的线段叫做两点之间的距离 重难点 1 角平分线、线段垂直平分线 (2017 湘潭)如图，在 RtABC 中，C90，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，DE 垂直平分 AB， 垂足为点 E，请任意写出一组相等的线段 BDAD 或 CDDE 或 AEBEBC 【思路点拨】 由C90，BD 平分ABC 和 DE 垂直 AB 可以构造角平分线性质定理模型，依据角平分线 性质可知 CDDE，又 BD 是公共边，利用“HL”可以证明 RtBCDRt
4、BED，可得 BCBE.因为 DE 垂直平分 AB，依据线段垂直平分线的性质定理可知 BDAD，AEBE.所以 BDAD，CDDE，AEBEBC. 【变式训练 1】 (2016 长沙)如图， ABC 中， AC8， BC5， AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D， 交边 AC 于点 E， 则BCE 的周长为 13 【变式训练 2】 (2015 荆州改编)如图，在ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线交边 AB 于 D 点，交边 AC 于 E 点，若ABC 与EBC 的周长分别是 40 cm，24 cm，求 AB 和 BC 的长 解：DE 是 AB 的垂直平分线， AEBE. EBC
5、的周长为 BECEBCACBC24. 又ABC 的周长为 ABACBC40， AB16 cm. 又ABAC， 16BC24.BC8 cm., 方法指导 1在利用线段垂直平分线的性质求线段长度时，通常是根据线段垂直平分线的性质得到线段相等，再根据相 等线段之间的转换，得到所求线段的长 2在利用线段垂直平分线的性质求角度时，通常是根据线段垂直平分线的性质得到线段相等，进而得到等腰 三角形，再根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求角度 3线段垂直平分线的性质定理与角平分线的性质定理作用类似，都起到转化相等线段的作用 重难点 2 与平行线有关的角度计算 (2017 潍坊)如图，BCD90，ABDE
6、，则 与 满足(B) A180 B90 C3 D90 【思路点拨】 直接利用已知 ABDE 无法找到 与 之间的关系，可以考虑过 C 作 CFAB，构造两对 平行线模型，根据平行线的性质即可求解 【变式训练 3】 (2017 衡阳)如图，小聪把一块含有 60角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，并测 得125，则2 的度数是(C) A25 B30 C35 D60 变式训练 3 图 变式训练 4 图 【变式训练 4】 (2017 十堰)如图，ABDE，FGBC 于 F，CDE40，则FGB(B) A40 B50 C60 D70, 方法指导 平行线拐角问题有以下几种常见类型：(已知 ABCD，
7、过点 E 作 EFAB) 1(2017 随州)某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分(如图)，发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的 周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是(A) A两点之间线段最短 B两点确定一条直线 C垂线段最短 D经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 第 1 题图 第 2 题图 2(2017 株洲)如图，直线 l1，l2被直线 l3所截，且 l1l2，则(B) A41 B49 C51 D59 3(2017 邵阳)如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，已知一侧铺设的角度为 120，为使管道对接，另一 侧铺设的角度大小应为(D) A120 B100 C80
8、 D60 第 3 题图 第 4 题图 4(2017 邵阳)如图所示，已知 ABCD，下列结论正确的是(C) A12 B23 C14 D34 5(2017 台州)如图，点 P 是AOB 平分线 OC 上一点，PDOB，垂足为 D，若 PD2，则点 P 到边 OA 的距离 是(A) A2 B3 C. 3 D4 第 5 题图 第 6 题图 6(2017 滨州)如图，直线 ACBD，AO，BO 分别是BAC，ABD 的平分线，那么下列结论错误的是(D) ABAO 与CAO 相等 BBAC 与ABD 互补 CBAO 与ABO 互余 DABO 与DBO 不等 7(2017 山西)如图，直线 a，b 被直线
9、 c 所截，下列条件不能判定直线 a 与 b 平行的是(D) A13 B24180 C14 D34 8(2017 宁波)已知直线 mn，将一块含 30角的直角三角板 ABC 按如图方式放置(ABC30)，其中 A，B 两点分别落在直线 m，n 上，若120，则2 的度数为(D) A20 B30 C45 D50 第 8 题图 第 9 题图 9(2017 广安)如图，若12180，3110，则4110 10(2017 常德)命题：“如果 m 是整数，那么它是有理数” ，则它的逆命题为：如果 m 是有理数，那么它是整数 11(2017 威海)如图，直线 l1l2，120，则23200 第 11 题图
10、 第 12 题图 12(2017 金华)如图，已知 l1l2，直线 l 与 l1，l2相交于 C，D 两点，把一块含 30角的三角尺按如图位置摆放若 1130，则220 13如图，在ABC 中，AB7 cm，AC4 cm，BC 的垂直平分线分别交 AB，BC 于 D，E，则ACD 的周长为 11cm. 14(2016 江西)如图，RtABC 中，ACB90，将 RtABC 向下翻折，使点 A 与点 C 重合，折痕为 DE.求证： DEBC. 证明：将 RtABC 向下翻折，使点 A 与点 C 重合，折痕为 DE， AEDCED90. AEDACB90. DEBC. 15(2017 重庆)如图，
11、直线 EFGH，点 A 在 EF 上，AC 交 GH 于点 B，若FAC72，ACD58，点 D 在 GH 上，求BDC 的度数 解：EFGH， ABDFAC180. ABD18072108. ABDACDBDC， BDCABDACD1085850. 16(2017 枣庄)如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含 30 角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含 45角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则1 的度数是(A) A15 B22.5 C30 D45 17(2016 衡阳)如图所示，1 条直线将平面分成 2 个部分，2 条直线最多可将平面分成 4
12、 个部分，3 条直线最多可将 平面分成 7 个部分，4 条直线最多可将平面分成 11 个部分现有 n 条直线最多可将平面分成 56 个部分，则 n 的值 为 10 18 (易错易混)如图， 在ABC 中， AB 边的垂直平分线交 BC 于点 D， AC 边的垂直平分线交 BC 于点 E， 连接 AD， AE. (1)若BAC110，则DAE40； (2)若BAC(0180)，求DAE 的度数(用含 的式子表示) 解：分两种情况： 如图 1 所示，当BAC90时， 图 1 DM 垂直平分 AB， DADB.BBAD. 同理可得，CCAE， BADCAEBC180. DAEBAC(BADCAE)(180)2180； 如图所示，当BAC90时， 图 2 DM 垂直平分 AB， DADB.BBAD. 同理可得，CCAE， BADCAEBC180. DAEBADCAEBAC1801802.
