1、 2020 年江苏高考数学全真模拟试卷二 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题第 20 题共 20 题） 本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟， 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回 2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米色水的签字笔填写在答题卡的规定位置 3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符 4作答试题必须用 0.5 毫米色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其他位置作答律无效 5如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条符号等须加黑、加粗
2、一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上 1已知集合1Ux x，2Ax x，则 UA _ 2已知复数 z 满足（ 2020 (1) i zi（i 为虚数单位） ，则 z 在复平面内对应的点位于第_象限 3已知一组数据 4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为_ 4已知向量(1,2)a ， (2, 1)b ，则 aab的值为_ 5执行如图所示的伪代码，则输出的 S 的值为_ 6在一个不透明的口袋中装有形状、大小都相同的红球和黄球共 5 个，从中随机取出 1 个球，该球是红球 的概率是 2 5 现从中一次随机取出 2 个球，则这 2 个球的
3、颜色相同的概率为_ 7已知 x，y 满足约束条件 2 2 1 xy yx y ，则 3y z x 的最大值为_ 8 将函数( )sin(0)f xx的图象向右平移 6 个单位长度， 得到函数( )yg x的图像， 若( )yg x是 偶函数，则的最小值为_ 9已知一个圆柱的高为 3cm，体积为 3 12 cm，则该圆柱的外接球的表面积为_ 2 cm 10已知函数 2 2 ( ) 4 x f x x ， 2 1 ( ) 2 x g xa 若对任意 1 1,x ，都存在 2 1,x ，使得 12 f xg x，则实数 a 的取值范围是_ 11在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 22 22 :(0
4、,0) 1 xy Cab ab 的左焦点 F 作倾斜角为 30的直线， 与圆 222 :Cxyb交于点 A，B若60AOB，则双曲线 C 的离心率为_ 12设数列 n a的前 n 项和为 n S，若 1， n a， n S成等差数列，则 12n aaa的值为_ 13 如图在等腰三角形ABC中，2AB ，5ACBC 若D是ABC所在平面内一点， 且0DB DC， 设ADABAC，则的最大值为_ 14已知函数 32 3,0 ( ) 31,0 xxtx f x xx ，若函数( ( )yf f x恰好有 4 个不同的零点，则实数 t 的取 值范围是_ 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请
5、在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤 15 （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥PABCD中，BAAD，CDAD，E 是棱 D 上一点，AEPD，AEAB （1）求证：AB平面 PCD； （2）求证：平面ADP 平面 PCD 16 （本小题满分 14 分） 在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 2 cos212sin 2 A A （1）求角 A 的大小； （2）若4b，5c ，求sin B 3 的值 17 （本小题满分 14 分） 某公司准备设计一个精美的心形巧克力盒子，它是由半圆 1 O、半圆 2 O和正方形 ABCD 组成的，且 8ABc
6、m设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签 EFGH，标签的其中两个顶点 E，F 在 AM 上，另外两个顶点 G，H 在 CN 上（M，N 分别是 AB，CB 的中点） 设 EF 的中点为 P， 1 FOP，矩 形 EFGH 的面积为 2 Scm （1）写出 S 关于的函数关系式( )S （2）当为何值时矩形 EFGH 的面积最大？ 18 （本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 22 22 :(0) 1 xy Eab ab 的短轴长为 2，离心率为 2 2 （1）求椭圆 E 的标准方程； （2） 若直线 l 与椭圆 E 相切于点 P （点 P 在第一象限内）
7、 ， 与圆 22 12xy相交于点 A， B， 且2APPB， 求直线 l 的方程 19 （本小题满分 16 分） 已知各项均为正数的两个数列 n a， n b满足 1 1 1 21 nn nn aa aa ， 221 2loglog1 nnn abb 且 11 1ab （1）求证数列 n a为等差数列； （2）求数列 n b的通项公式； （3）设数列 n a， n b的前 n 项和分别为 n S， n T，求使得等式236 mmi SaT成立的有序数对 ( , ),*m im iN 20 （本小题满分 16 分） 已知函数( )(1) x f xxe，( )lng xax，其中 e 是自然对
8、数的底数 （1）若曲线( )yf x在1x 处的切线与曲线( )yg x也相切 求实数 a 的值； 求函数( )( )( )xf xe g x的单调区间； （2）设( )( )( )h xbf xg xa，求证：当 1 0b e 时，( )h x恰好有 2 个零点 数学附加题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1本试卷共 4 页，均为非选择题（第 21 题第 23 题） 本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分钟，考试结束 后，请将本试卷和答题卡一并交回 2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置 3请认真核对监考
9、员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符 4作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其他位置作答一律无效 5如需作图须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗 21【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题 ， 并在相应的答题区域内作答 ，若多做，按作 答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚 A选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 已知变换T: 22 xxx yyxy ，试写出变换 T 对应的矩阵 A，并求出其逆矩阵 1 A B选修 4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在平面直角坐
10、标系 xOy 中， 已知直线 l 的参数方程 1 3 xt yt （t 为参数） ， 曲线 C 的参数方程为 2 2 2 xm ym （m 为参数） 若直线 l 与曲线 C 相交于点 A，B求OAB的面积 C选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知, ,a b cR，且3abc ， 222 26abc，求实数 a 的取值范围 【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 如图，在直三校柱 111 ABCABC中，ABC是等直角三角形，90ACB，4 2AB
11、 ，M 是 AB 的 中点，且 11 AMBC （1）求 1 A A的长； （2）已知点 N 在棱 1 CC上，若平面 1 B AN与平面 11 BCC B所成锐二面角的平面角的余弦值为 10 10 ，试确定 点 N 的位置 23 （本小题满分 10 分） 已知正整数2n， 集合1,Pxx n xN剟， A， B， C是集合P的3个非空子集， 记 n a， 为所有满足AB， ABCP的有序集合对( , ,)A B C的个数 （1）求 2 a； （2）求 n a 2020 年江苏高考数学全真模拟试卷二 112xx 2四 3 5 3 45 527 6 2 5 7 2 3 解析：目标式 3y z x
12、 的几何意义是可行域内的点( , )x y与点(0,3)连线的斜率，由图可知 max 2 3 z 83 解析：由题意得( )sin 6 g xx ，因为( )yg x是偶函数，所以(0)sin1 6 g ，故 () 62 xkkZ ，解得63()kkZ 因为0，所以的最小值为 3 925 解析： 设圆柱的底面半径为rcm 由 2 312r ， 得2r （负值舍去） ， 所以圆柱的外接球的直径为 5cm， 故外接球的表面积为 2 2 5 425 2 cm 10 1 ,0 2 解析 2 22 ( ) 4 4 x f x x x x 当 1 1,x 时， 1 1 4 4x x ，所以 1 f x的取
13、值范围为 1 0, 2 当 2 1,x 时， 2 g x的取值范围为,1a a 由题意知 1 0,1 2 a a ，所以0a且 1 1 2 a ，解得 1 0 2 a剟 综上，实数 a 的取值范围为 1 ,0 2 11 6 2 解析： 过双曲线C 的左焦点 F 作倾斜角为30的直线 l的方程为30xyc（c 为双曲线C 的半焦距） ， 由题意知圆心 O 到直线 l 的距离为 3 2 b，所以 3 22 c b因为 222 cab，所以双曲线 C 的离心率 6 2 c e a 121023 解析：由题意得12 nn Sa，所以 11 12aa，解得 1 1a 由12 nn Sa，得 11 12
14、nn Sa ，两式相 减得 11 22 nnn aaa ，即 1 2 n n a a ，所以数列 n a是等比数列因为 1 1a ，所以 1 2n n a ，故 1210 1023aaa 1313 8 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则( 1,0)A ，(1,0)B，(0,2)C 由0DB DC知DBDC，所以点 D 在以 BC 为直径的圆上 以 BC 为直径的圆的方程为 2 2 15 (1) 24 xy ， 所以可设 155 cos ,1sin 222 D ，则 355 cos ,1sin 222 AD 因为(2,0)AB ，(1,2)AC ，ADABAC 所以 35 cos2 22 5
15、 1sin2 2 解得 155 cossin 248 15 sin 24 所以 5555 1cossin1(2cossin )1sin() 4888 ，其中tan2， 所以的最大值为13 8 14 313 40 2 ttt 或 解析：令( )sf x，则( )yf s （）当0t 时，只有 1 3 s ，显然不成立 （）当0t 时， 1 0s ， 2 1 3 s ，此时满足题意 （）当10t 时，如图 1，由( )0f s 得 1 0s ， 2 1 3 s 由 2 1 3 s 得 34 xxx 由 1 0s 且 32 11 30sst ，知 32 11 3tss 要使( )yf s有 4 个不
16、同的零点，必须由 1 ( )f xs得 12 xx x 此时 32 111 3tsss，解得 1 313 2 s ， 1 33 2 s （舍去） ， 从而 2 11 3tss为 313 , 2 上的增函数，所以 313 1 2 t （）当1t 时，由( 1)0f ，(0)0f，得 1 10s ，此时满足题意 （）当1t 时，如图 2，由( )0f s 得 1 0s ， 2 1 3 s 要使( )yf s有 4 个不同的零点，必须 1 10s ，此时 32 11 3( 4,0)tss ，所以41t 综上，实数 t 的取值范围是 313 40 2 ttt 或 15证明： （1）在四边形 ABCD
17、内，因为BAAD，CDAD，所以ABCD 又因为AB平面 PCD，CD平面 PCD，所以AB平面 PCD （6 分） （2）因为AEAB，ABCD，所以AECD 又因为AEPD，CD，PD 平面 PCD，CDPDD，所以AE 平面 PCD 又因为AE 平面 ADP，所以平面ADP 平面 PCD （14 分） 16解析： （1）因为 2 cos212sin 2 A A ，所以cos2cos0AA，故 2 2coscos10AA ， 解得 1 cos 2 A或cos1A又因为0A，所以 3 A （6 分） （2）由余弦定理知 222 2cosabcbcA 因为4b，5c ， 3 A ，所以 222
18、 1 452 4 521 2 a ，即21a 由正弦定理知 sinsin ab AB ，即 214 sin sin 3 B 所以 2 7 sin 7 B 因为bc，所以BC，即 B 为锐角，故 21 cos 7 B 所以 2 712135 7 sinsincoscossin 333727214 BBB （14 分） 17解析： （1）由题意知0, 4 ，8sinEF，8cos4 2EH， 则( )8sin (8cos4 2)SEF EH， 即( )32sin (2cos2)S，0, 4 （6 分） （2）( )32cos (2cos2)sin( 2sin )S 22 32 2cos2sin2c
19、os 2 32 4cos2cos2 因为0, 4 ，所以 2 2 4cos4，12cos2，所以 2 4cos2cos20， 故当0, 4 时，( )0S恒成立，所以( )S在0, 4 E 上单调递增 故当 4 时，max( )32sin2cos264 44 S 答：当为 4 时，矩形 EFGH 的面积最大，为 2 64cm （14 分） 18解析： （1）设椭圆 E 的焦距为 2c， 则 222 22 2 2 b c a abc ，解得 2 1 a b ，所以椭圆 E 的标准方程为 2 2 1 2 x y （6 分） （2）由题意可设直线 l 的方程为(0,0)ykxm km， 与椭圆 2
20、2 :1 2 x Ey联立并消去 y 得 222 214220kxkmxm 因为直线 l 与椭圆 E 相切，所以 2222 164 22210k mmk ，整理得 22 21mk 设点 P 的坐标为 00 ,xy，则 0 2 22 21 kmk x km ， 0 1 y m 设直线 OP 交圆 22 12xy于点 C，D，则 APCP BPDP 又因为2APPB，所以 12 3 33 OPOD，得 2 22 414 3 k mm ， 与 22 21mk联立解得 1 2 k （正值舍去） ， 6 2 m （负值舍去） 所以直线 l 的方程为 16 22 yx （16 分） 19解析： （1）由
21、1 1 1 21 nn nn aa aa 得 11 112 nnnn aaaa ， 即 2 22 1 211 nnnn aaaa 因为数列 n a各项均为正数，所以 1 1 nn aa ，即 1 1 nn aa ， 故数列 n a是公差为 1 的等差数列 （4 分） （2）由（1）及 1 1a 知 n an 由 221 2loglog1 nnn abb ，得 21 1 2 n nn b b 所以 21 12 2 n nn bb ，上面两式相除得 2 4 n n b b ， 所以数列 n b的奇数项和偶数项都是公比为 4 的等比数列 由 1 1b 及 21 1 2 n nn b b 知 2 2b
22、 ，所以 1(21) 1 21 1 42 kk k b ， 121* 2 2 42 kk k bkN ， 所以 1 2n n b 综上，数列 n b的通项公式为 1 2n n b （9 分） （3）由（1）和（2）知 (1) 2 n nn S ， 1 2 21 1 2 n n n T 由236 mml SaT，得 (1) 23621 2 l mm m ，即(7)(5)2lmm 则必存在 * , s tN，使得27 s m，25 t m，从而2212 st 若5s，则2212 20 ts ，故5t 又因为st，所以 1 2222232 stttt 厖 这与2212 st 矛盾，所以4s 经检验，
23、只能4s ，此时9m，6l （16 分） 20解析： （1）由( )(1) x f xxe得( ) x fxxe，所以切线的斜率(1)kfe 因为切点坐标为(1,0)，所以切线的方程为(1)ye x 设曲线( )yg x的切点坐标为 11 ,x y 由( )lng xax得 1 ( )g x x ， 所以 1 1 1 gxe x ，得 1 1 x e 所以切点坐标为 1 ,1a e 因为点 1 ,1a e 也在直线(1)ye x上所以2ae （4 分） 由知( )(1)2ln x xxeeex 当 2e x e 时，( )(1)(2ln ) x xxeeex ， 因为( )0 x e xxe
24、x 恒成立，所以( )x在 2,e e 上单调递增 当 2 0 e xe 时，( )(1)(2ln ) x xxeeex 所以( ) x e xxe x 因为 2 ( )(1)0 x e xxe x 恒成立，所以( ) x在 2 0, e e 上单调递增 注意到(1)0，所以当(0,1)x时，( )0x；当 2 1, e xe 时，( )0x 所以( )x在(0,1)上单调递减，在 2 1, e e 上单调递增 综上，函数( )x的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1,) （10 分） （2）由( )(1)ln x h xb xex，得 2 11 ( ) x x bx e h xbxe x
25、x 令 2 ( )1 x m xbx e，0x，当 1 0b e 时， 2 ( )20 x m xbxbxe， 故( )m x在(0,)上单调递增 又因为(1)10mbe ，且 22 1111 lnln1ln10mb bbbb ， 所以( )0m x 在(0,)上有唯一解，从而( )0h x在(0,)上有唯一解 不妨设为 0 x，则 0 1 1lnx b 当 0 0,xx时， 0 ( ) ( )0 m xm x h x xx ，所以( )h x在 0 0,x上单调递减； 当 0, xx时， 0 ( ) ( )0 m xm x h x xx ，所以( )h x在 0, x 上单调递增 故 0 x
26、是( )h x的唯一极值点 令( )ln1t xxx，则当1x 时， 1 ( )10t x x ，所以( )t x在(1,)上单调递减， 从而当1x 时，( )(1)0t xt，即ln1xx， 所以 1 ln 111111 lnln1ln lnln1 ln lnln0 b hbet bbbbbb ， 又因为 0 (1)0h xh，所以( )h x在 0, x 上有唯一零点 又因为( )h x在 0 0,x上有唯一零点 1， 所以( )h x在(0,)上恰好有 2 个零点 （16 分） 21-A解析：由 10 22 xxx yyy ，得 10 22 A ，设 1 ab A cd ， 则 1 10
27、10 22222201 abab AA cdacbd ， 所以 1 0 220 221 a b ac bd ，解得 1 0 1 1 2 a b c d ，所以 1 10 1 1 2 A （10 分） 21-B解析：由 1 3 xt yt ，消去参数 t 得3(1)yx，由 2 2 2 xm ym 消去参数 m 得 2 2yx 联立方程组 2 3(1) 2 yx yx ，消去 x 得 2 3260yy，解得 119 3 y 或 119 3 y 因为直线 l 过定点(1,0) 所以OAB的面积 12 119 1 23 Syy （10 分） 21-C解析：因为 2222222 2122 6221()
28、(3) 3233 abcbcbca 所以 2 5120aa，解得 12 0 5 a剟 综上，实数 a 的取值范围是 12 0, 5 （10 分） 22解析（1）建立如图所示的空间直角坐标系 设 1 A Aa 由4 2AB 得4ACBC， 则(4,0,0)A，(0,0,0)C， 1(4,0, ) Aa， 1(0,4, ) Ba，(2,2,0)M 所以 1 ( 2,2,)AMa ， 1 (0, 4,)BCa 因为 11 AMBC，所以( 2) 02 ( 4)() ()0aa ， 解得2 2a ，即 1 A A的长为2 2 （4 分） （2）由（1）知 1(0,0,2 2) C 设(0,0, )(0
29、2 2)N剟，所以 1 (4, 4, 2 2)B A ， 1 (0, 4,2 2)B N 设平面 1 B AN的一个法向量为 1111 ,xny z 由 11 11 B A nB n N ，得 111 11 442 20 4(2 2)0 xyz yz ，取 1 2 2 4 1,1,n 易知平面 11 BCC B的一个法向量为 2 (1,0,0)n ， 设平面 1 B AN与平面 11 BCC B所成锐二面角的平面角为， 12 12 12 2 2 110 coscos, 10 2 24 11 n n n n n n 解得2或 3 2 2 （舍去） 所以 N 在棱 1 CC的中点处 （10 分）
30、23解析： （1）当2n时，集合1,2P ，非空子集为1，2，1,2， 因为AB，ABCP， 所以当1A 时，1,2B ，则 1C ， 2，1,2； 当 2A时，1,2B ，则 1C ， 2，1,2 综上， 2 6a （3 分） （2）当 B 中的元素个数为(21)kk n剟时，集合 A 的种数为22 k ，集合 C 的种数为2k；当 B 中的元素 个数为 n 时，集合 A 的种数为22 n ，集合 C 的种数为21 n 所以 1 2 C22 2C2221 n kkknnn nnn k a 000111 0 22 2222122 222 222 2 n kknnnnk n n nnn k CCCC 0 C42 223 n kkkn n k 00 42223 nn kkkkn nn kk CC (1 4)2 (1 2)23 nnn 52 323 nnn （10 分）
