1、第七章第七章 空间数据的统计分析方法空间数据的统计分析方法（3）武汉大学遥感信息工程学院遥感科学与技术本科生教案武汉大学遥感信息工程学院遥感科学与技术本科生教案(2013)秦秦 昆昆2地统计分析概述空间变异函数克里金估计方法地统计分析研究展望ArcGIS的地统计分析工具主要内容主要内容3地统计分析概述420世纪50年代，南非采矿工程师南非采矿工程师Daniel Krige总结多年金矿勘探经验，提出根据样品点的空间位置和样品点之间空间相关程度，对每个样品观测值赋予一定的权重，进行移动加权平均，估计被样品点包围的未知点矿产储量，形成了克里金估计方法(kriging)的雏形。20世纪60年代初期，法
2、国地质数学家法国地质数学家Georges Matheron提出数学形式的区域化变量，严格地给出了基本变异函数(variogram)的定义和一般克里金估计方法。通过对变异函数、克里金估计以及随机模拟方法的深入扩展，地统计学地统计学(Geostatistics)已经成为空间统计学空间统计学的核心内容，其理论体系的深度和方法扩展宽度是其它空间统计方法无法比拟的。地统计分析概述(Geostatistics)5国内的地统计工作主要集中于地质勘探建模地质勘探建模和地理地理(环环境境)空间数据分析空间数据分析应用方面。国际上，地统计不仅是地质领域数学地质的主要分支，同时也逐渐成为数学领域应用统计的一个新分支
3、。地统计学地统计学(Geostatistics)，也称为地质统计学地质统计学，是一门以区域化变量理论为基础，以变异函数为主要工具，研究那些分布于空间上既有随机性又有结构性既有随机性又有结构性的自然或社会现象的科学。主要包括：区域化变量的变异函数模型区域化变量的变异函数模型、克里金估计克里金估计和随机模拟随机模拟三个主要内容。相对于物理机制建模，地统计是一种分析空间位置(空间结构)相关地学信息的经验性方法(赵鹏大,2004)。地统计分析概述6地理信息是地理空间位置相关的信息。地理信息科学是一门研究地理信息获取、处理和利用中的基本规律的科学，与地统计学存在本质联系。地统计学和地理信息科学存在重叠的
4、研究对象地统计学和地理信息科学存在重叠的研究对象，即地理空间相关信息。地统计学遵从相近相似规律相近相似规律(空间位置相近的地学现象具有相似属性值)，这与地理信息分析中的地理学第一地理学第一定律定律(空间相近的地理现象比空间远离的地理现象具有更强的相关性)完全一致。地统计学和地理学第一定律同在20世纪60年代被独立提出。地统计分析概述7尽管地理信息系统中还存在空间自回归模型(空间滞后模型和空间误差模型)、地理加权回归和各种空间结构(空间分布)探索等空间统计分析方法，但是地统计一直是理论基础最为完善且应用扩展最为但是地统计一直是理论基础最为完善且应用扩展最为广泛的主流空间统计方法，广泛的主流空间统
5、计方法，地统计学已经成为地理信息科学中地理信息处理和分析的重要理论，地统计分析功能被直接嵌入或平行连接到地理空间或遥感影像信息系统中。地统计分析概述8地统计具有不同于传统统计的两个显著特点：1 1）样本点的空间相关性）样本点的空间相关性。传统统计中不同样本点仅具有随机性，样本点之间保持空间独立性。然而，地统计中样本点不仅具有随机性，同时样本点之间具有空间相关性。2 2）一次性样本采集。）一次性样本采集。传统统计分析同一空间位置处可以多次采样数据。实际地统计分析中，样本区域中每一个空间位置多为一次采样数据。根据传统统计学，一次采样数据中无法推断出总体规律。这这两个特点导致了地统计中描述空间相关性
6、两个特点导致了地统计中描述空间相关性(空间结构空间结构)的的变异函变异函数数和克服一次采样局限的和克服一次采样局限的平稳性假设平稳性假设的提出。的提出。区域化变量的空间相关(不同空间位置变量的相关)也称为空间自相关，区域化变量的协方差(不同空间位置变量的相关)也称为空间自协方差。地统计分析概述9空间变异函数空间变异函数10区域化变量的定义和平稳性假设区域化变量的定义和平稳性假设当空间被赋予地学含义时，地学工作者习惯称其为区域。发现地表空间的区域差异正是地理学研究的基本任务。当一个专题变量分布于空间，呈现一定的结构性和随机性时，在地统计学上称之为“区域化”，区域化变量(regionalized
7、variable)描述的现象为区域化现象。空间变异函数空间变异函数变异函数（区域化变量的定义和平稳性假设）变异函数（区域化变量的定义和平稳性假设）定义：定义：设设Z(x)为一随机变量，表示在空间位置为一随机变量，表示在空间位置x处专题变量处专题变量取值是随机的，区域化变量是区域化随机变量的简称。取值是随机的，区域化变量是区域化随机变量的简称。Z(X)=Z(x),x X表示区域表示区域X中所有空间位置中所有空间位置x处随机处随机变量变量Z(x)的集合的集合(簇簇)，又称为，又称为随机场随机场，随机场也可看作若干空间样本（空间函数）的集合。随机场也可看作若干空间样本（空间函数）的集合。1112区域
8、化变量即空间位置相关的随机变量。区域化变量为具有内在空间结构的随机变量，它是随机场的简化。区域化变量理论重点研究区域化随机变量的各种空间结构和统计性质，变异函数是描述区域化随机变量空间结构的有效数学工具，克里金估计利用区域化变量结构性质进行估值应用。变异函数（区域化变量的定义和平稳性假设）变异函数（区域化变量的定义和平稳性假设）n地统计中的数据多为区域中每个空间位置的一次采地统计中的数据多为区域中每个空间位置的一次采样数据。样数据。n为了满足总体规律推断中多个样本为了满足总体规律推断中多个样本(大样本大样本)的数据的数据要求，地统计中使用平稳要求，地统计中使用平稳(second-order s
9、tationary)或或内蕴内蕴(intrinsic stationary)假设下假设下多个空间位置采样数多个空间位置采样数据据(每个位置依然是一次采样数据每个位置依然是一次采样数据)来来替代单个位置替代单个位置上的多次采样数据上的多次采样数据(传统统计的采样数据传统统计的采样数据)。n机理上，机理上，相近相似规律的普适性相近相似规律的普适性、空间结构的稳定空间结构的稳定性性、地学现象空间结构形成的驱动地学现象空间结构形成的驱动(动力动力)因素的不因素的不变性变性等表明了平稳性假设的现实合理性。等表明了平稳性假设的现实合理性。13变异函数（区域化变量的定义和平稳性假设）变异函数（区域化变量的定
10、义和平稳性假设）变异函数（区域化变量的定义和平稳性假设）变异函数（区域化变量的定义和平稳性假设）存在存在n个随机变量的联合分布个随机变量的联合分布F(Z(x1),Z(x2),Z(xn)，严格的平稳性严格的平稳性指随机变量联合分布的指随机变量联合分布的空间位移不变性空间位移不变性，即：即：F(Z(x1),Z(x2),Z(xn)=F(Z(x1+h),Z(x2+h),Z(xn+h)实际应用中，满足这种位移不变的联合概率分布的区实际应用中，满足这种位移不变的联合概率分布的区域化随机变量较少见，而域化随机变量较少见，而严格平稳性的验证非常困难严格平稳性的验证非常困难。相比较，相比较，容易满足和验证的是分
11、布参数容易满足和验证的是分布参数(矩矩)的平稳性的平稳性，即即弱平稳性假设弱平稳性假设。常用的弱平稳性假设包括二阶平稳性和内蕴性假设。常用的弱平稳性假设包括二阶平稳性和内蕴性假设。二阶平稳性是比内蕴性更严格的若二阶平稳性是比内蕴性更严格的若(弱弱)平稳性假设。平稳性假设。14变异函数（区域化变量的定义和平稳性假设）变异函数（区域化变量的定义和平稳性假设）定义：如果区域化变量定义：如果区域化变量Z(x)满足下列两个条件，则称满足下列两个条件，则称其满足其满足二阶平稳性假设二阶平稳性假设。（1）在研究范围内，区域化变量）在研究范围内，区域化变量Z(x)的的期望期望存在且存在且为常数，即为常数，即
12、EZ(x)=m（2）在研究范围内，区域化变量）在研究范围内，区域化变量Z(x)的的协方差函数协方差函数存在且为空间滞后存在且为空间滞后h的函数，与空间位置的函数，与空间位置x无关，即无关，即CovZ(x),Z(x+h)=EZ(x+h)-mZ(x)-m=EZ(x+h)Z(x)-m2=C(h)当当h=0时，条件时，条件(2)说明了说明了方差函数方差函数存在且为常数，存在且为常数，VarZ(x)=CovZ(x),Z(x)=EZ(x)-m2=C(0)15变异函数（区域化变量的定义和平稳性假设）变异函数（区域化变量的定义和平稳性假设）二阶平稳性假设二阶平稳性假设要求区域化变量的期望、协方差和方要求区域化
13、变量的期望、协方差和方差都存在，实际中区域化变量的先验期望可能不存在，差都存在，实际中区域化变量的先验期望可能不存在，但是变异函数存在。但是变异函数存在。定义在区域化变量相对增量上的变异函数具有比定义定义在区域化变量相对增量上的变异函数具有比定义在区域化变量绝对值上的协方差函数的条件更加宽松，在区域化变量绝对值上的协方差函数的条件更加宽松，变异函数的计算比协方差函数的计算更加容易。变异函数的计算比协方差函数的计算更加容易。协方差函数和变异函数为空间结构的对偶描述方式。协方差函数和变异函数为空间结构的对偶描述方式。对于区域化变量，对于区域化变量，协方差函数从相似角度来描述空间协方差函数从相似角度
14、来描述空间结构结构，变异函数则从差异角度描述空间结构变异函数则从差异角度描述空间结构。16变异函数（区域化变量的定义和平稳性假设）变异函数（区域化变量的定义和平稳性假设）定义：如果区域化变量定义：如果区域化变量Z(x)满足下列两个条件，则称满足下列两个条件，则称其满足其满足内蕴性假设内蕴性假设。（1）在研究范围内，区域化变量）在研究范围内，区域化变量Z(x)增量的期望为增量的期望为零，即零，即EZ(x+h)-Z(x)=0（2）在研究范围内，区域化变量）在研究范围内，区域化变量Z(x)增量的方差存增量的方差存在且为空间滞后在且为空间滞后h的函数，与空间位置的函数，与空间位置x无关，即无关，即Va
15、rZ(x+h)-Z(x)=EZ(x+h)-Z(x)-EZ(x+h)-Z(x)2=EZ(x+h)-Z(x)2=2(h)(h)表示区域化变量的变异函数或半方差函数表示区域化变量的变异函数或半方差函数。也将也将(h)称为半变异函数或半变差函数称为半变异函数或半变差函数。区域化变量增量的计算避免了期望的直接计算。变异区域化变量增量的计算避免了期望的直接计算。变异函数对区域化变量的期望的存在没有直接要求。函数对区域化变量的期望的存在没有直接要求。17)()()()()()(21)(2xZhxZExZhxZExZhxZVarhx变异函数的定义和非负定性条件变异函数的定义和非负定性条件定义：变异函数是区域化
16、变量空间结构的一种形式化表达，数学表示为两个随机变量Z(x)和Z(x+h)之间增量的方差的一半，1819进一步表达式变换为：变异函数的定义和非负定性条件变异函数的定义和非负定性条件n在协方差函数和变异函数中，如果空间滞后在协方差函数和变异函数中，如果空间滞后h以极坐标参考以极坐标参考系中的矢量表示，则该滞后矢量有模和方向两个特征量。系中的矢量表示，则该滞后矢量有模和方向两个特征量。n当协方差函数和变异函数仅为模值当协方差函数和变异函数仅为模值|h|的函数时，称其为的函数时，称其为各各向同性协方差函数和变异函数向同性协方差函数和变异函数。n当协方差函数和变异函数同时为模值当协方差函数和变异函数同
17、时为模值|h|和方向的函数时，和方向的函数时，称其为称其为各向异性协方差函数和变异函数各向异性协方差函数和变异函数。n协方差函数和变异函数的各向异性可以分解为协方差函数和变异函数的各向异性可以分解为几何各向异性几何各向异性和和带状各向异性带状各向异性。n变程随方向不同的各向异性称为变程随方向不同的各向异性称为几何各向异性几何各向异性。n不能通过伸缩比例变换为各向同性的各向异性称为不能通过伸缩比例变换为各向同性的各向异性称为带状各向带状各向异性异性。20变异函数的定义和非负定性条件变异函数的定义和非负定性条件n通常，把通常，把360度方向离散划分为几个大的方向组，在度方向离散划分为几个大的方向组
18、，在某一角度区间范围某一角度区间范围(角度容许范围角度容许范围)内不同方向的样本内不同方向的样本点点(对对)都用来计算该区间中心方向的变异函数值。都用来计算该区间中心方向的变异函数值。n类似地，可以进行空间滞后距离分组，在某一距离类似地，可以进行空间滞后距离分组，在某一距离区间范围区间范围(距离容许范围距离容许范围)内，不同距离的样本点内，不同距离的样本点(对对)都用来计算该区间中心距离的变异函数值。都用来计算该区间中心距离的变异函数值。21变异函数的定义和非负定性条件变异函数的定义和非负定性条件变异函数模型拟合及其评价变异函数模型拟合及其评价n理想上，变异函数值随着空间滞后理想上，变异函数值
19、随着空间滞后h的增大而单调增加。的增大而单调增加。22一种典型变异函数曲线(variography)图中的变异函数(h)具有三个参数a,C0,C0+C。a称为变程，是变异函数达到基台值时的空间滞后h，反映了数据空间自相关的最大距离。C0称为块金值，是空间滞后为0时的变异函数值，为测量误差和低于采样间距的随机变异的综合反映。当空间滞后h超过变程a时，变异函数(h)在一个极限值()附近摆动，这个极限值称为基台值C+C0。n通常，一个区域化变量的取值通常，一个区域化变量的取值z由大尺度趋势由大尺度趋势、微尺度空间、微尺度空间相关变异相关变异r和纯随机变异和纯随机变异 三部分构成，即三部分构成，即z=
20、+r+。n期望期望(或平均值或平均值)即是一种趋势表示。即是一种趋势表示。n微尺度空间相关变异微尺度空间相关变异r为去除趋势后具有内在空间为去除趋势后具有内在空间(自自)相关性相关性的残余值的残余值n纯随机变异纯随机变异 为不存在空间为不存在空间(自自)相关性的独立噪声相关性的独立噪声(如测量误差如测量误差)。n测量误差和采样间距测量误差和采样间距(采样尺度采样尺度)以下的微尺度空间相关残余以下的微尺度空间相关残余值一起构成金块值值一起构成金块值C0。n采样间距采样间距(采样尺度采样尺度)以上的微尺度空间相关残余值的变异函以上的微尺度空间相关残余值的变异函数值为数值为C。23变异函数模型拟合及
21、其评价变异函数模型拟合及其评价n按照二阶平稳性或内蕴平稳性假设下的变异函数表达式按照二阶平稳性或内蕴平稳性假设下的变异函数表达式(h)，计算，计算h=0时的变异函数值应该为时的变异函数值应该为0，表示同一位置点的样本，表示同一位置点的样本值没有差异，然而，这种值没有差异，然而，这种(0)=0的情形是在没有测量误差和的情形是在没有测量误差和采样间距采样间距(采样尺度采样尺度)以下空间以下空间(自自)相关变异的理想结果。相关变异的理想结果。n实际应用中，测量误差总是无法避免，采样间距总是掩盖了实际应用中，测量误差总是无法避免，采样间距总是掩盖了一些更小尺度的空间变异。一些更小尺度的空间变异。n尽管
22、带有块金值的变异函数模型失去了理想变异函数模型在尽管带有块金值的变异函数模型失去了理想变异函数模型在原点处的连续性，但是该模型合理地模拟了实际变异原点处的连续性，但是该模型合理地模拟了实际变异(测量误测量误差和小于采样间距尺度下的空间变异差和小于采样间距尺度下的空间变异)，所以能更好地提高后，所以能更好地提高后续克里金估计的精度。续克里金估计的精度。24变异函数模型拟合及其评价变异函数模型拟合及其评价n理论变异函数模型的构建理论变异函数模型的构建是一项基础性研究，原则上满足条是一项基础性研究，原则上满足条件非负定性件非负定性(或非负定性或非负定性)的函数都可以作为候选的有效变异的函数都可以作为
23、候选的有效变异函数函数(有效协方差函数有效协方差函数)。n多年多年的研究和实践中，人们发展了一些标准的理论变异函数的研究和实践中，人们发展了一些标准的理论变异函数模型模型。n通过通过计算样本数据中不同空间滞后计算样本数据中不同空间滞后h上的变异函数值，对若上的变异函数值，对若干空间滞后干空间滞后h及其相应的变异函数值及其相应的变异函数值(经验变异函数模型经验变异函数模型)进行进行选定理论变异函数模型的拟合，确定理论模型中的参数值，选定理论变异函数模型的拟合，确定理论模型中的参数值，最终获取确定的变异函数模型。最终获取确定的变异函数模型。n在经验变异函数值到理论变异函数模型的拟合中，首先将理在经
24、验变异函数值到理论变异函数模型的拟合中，首先将理论变异函数模型通过变量代换建立对应的多项式回归方程，论变异函数模型通过变量代换建立对应的多项式回归方程，使用最小二乘法等方法进行最优参数估计，把解出的多项式使用最小二乘法等方法进行最优参数估计，把解出的多项式回归方程系数通过逆代换获得变异函数拟合模型的参数值。回归方程系数通过逆代换获得变异函数拟合模型的参数值。25变异函数模型拟合及其评价变异函数模型拟合及其评价26变异函数模型拟合及其评价变异函数模型拟合及其评价27变异函数模型拟合及其评价变异函数模型拟合及其评价28理论变异函数模型对样本数据的拟合中，样本数据容量有限性和关系复杂性与理论模型高度
25、简化性等要求我们对求得的回归模型的显著性进行检验，对不同理论模型拟合质量进行评价。最小二乘法原理求解回归方程系数时要求数据点和回归曲线之间的残差平方和最小。变异函数模型拟合及其评价变异函数模型拟合及其评价29变异函数模型拟合及其评价变异函数模型拟合及其评价n总离差平方和一定时，回归平方和越大，残差平方总离差平方和一定时，回归平方和越大，残差平方和就越小，判定系数就越大。和就越小，判定系数就越大。n判定系数的取值范围为判定系数的取值范围为0 R2 1。n当全部观测值都位于回归曲线上时，当全部观测值都位于回归曲线上时，SSE=0，则，则R2=1，说明总离差完全可以由所估计的样本曲线来，说明总离差完
26、全可以由所估计的样本曲线来解释。解释。n如果回归曲线不能解释任何离差，模型中自变量与如果回归曲线不能解释任何离差，模型中自变量与因变量线性无关，因变量线性无关，y的总离差全部归于残差，即的总离差全部归于残差，即SSE=SST，则，则R2=0。30变异函数模型拟合及其评价变异函数模型拟合及其评价31临界值Faf是显著水平a(如0.05或0.01)与自由度f的函数，若计算的F值大于临界值Faf，判定系数R2是有意义的，表明该回归模型(理论曲线)拟合度较高，可以采用该回归模型作为理论曲线模型对数据进行有效拟合。反之，该回归模型没有实际价值。变异函数模型拟合及其评价变异函数模型拟合及其评价理论变异函数
27、模型理论变异函数模型n一般的理论变异函数模型可以划分为三类：一般的理论变异函数模型可以划分为三类：1）有基台值模型有基台值模型，包括球状模型、指数模型、高斯，包括球状模型、指数模型、高斯模型、有基台线性模型和纯块金效应模型等；模型、有基台线性模型和纯块金效应模型等；2）无基台值模型无基台值模型，包括幂函数模型、无基台线性模，包括幂函数模型、无基台线性模型和对数模型等；型和对数模型等；3）孔穴效应模型孔穴效应模型。每个理论变异函数模型都有其数学表达式，可以推导每个理论变异函数模型都有其数学表达式，可以推导出对应的参数出对应的参数(变程、块金值、基台值变程、块金值、基台值)。32n下面列出球状、指
28、数、高斯、有基台线性、纯块金效应、幂下面列出球状、指数、高斯、有基台线性、纯块金效应、幂函数、无基台线性、对数和孔穴效应变异函数模型的数学表函数、无基台线性、对数和孔穴效应变异函数模型的数学表达式。达式。33理论变异函数模型理论变异函数模型34理论变异函数模型理论变异函数模型35根据二阶平稳性或内蕴性假设下理想变异函数定义，在原点处的变异函数值为零，没有突然的变异(块金值)，区域化变量的空间连续性(光滑性)较好。变异函数作为区域化变量增量的方差的一半(增量的半方差)，可以视为均方意义下空间连续性的表达模型。原点附近的变异函数值对应很小的空间滞后h，小空间滞后的样本点对待估点值的影响更大。理论变
29、异函数模型理论变异函数模型n例如，假设某地区降水量例如，假设某地区降水量Z(x)（单位：（单位：mm）是二维区域化随机变量，满足二阶平稳假设，其观测）是二维区域化随机变量，满足二阶平稳假设，其观测值的空间正方形网格数据如下所示（点与点之间距离为值的空间正方形网格数据如下所示（点与点之间距离为h=1km），试计算其南北方向变异函数。），试计算其南北方向变异函数。从图可以看出，空间上有些点，由于某种原因没有采集到。如果没有缺失值，可直接对正方形网格从图可以看出，空间上有些点，由于某种原因没有采集到。如果没有缺失值，可直接对正方形网格数据结构计算变异函数；在有缺失值的情况下，也可以计算变异函数，只要
30、数据结构计算变异函数；在有缺失值的情况下，也可以计算变异函数，只要“跳过跳过”缺失点位置即缺失点位置即可（见下图，缺失值情况下样本数对的组成和计算过程，为缺失值可（见下图，缺失值情况下样本数对的组成和计算过程，为缺失值）。）。36222222)3837()3836()3635()3537()3742()4240(3621)1(222222)4242()3536()3743()4340()3735()3538(222222)3738()3839()3940(3535)3535()3542(）（222222)3336()3637()3739()3939()3034()3437(222222)403
31、6()2932()3236()3637()3741()4137()3228()3438()3029()2935()3533()3340(222222=385/72=5.35 计算南北方向上的变异函数值，由变异函数的计算公式可得：计算南北方向上的变异函数值，由变异函数的计算公式可得：n同样计算出同样计算出南北方向上的变异函数：南北方向上的变异函数：9.26)2(17.55)3(25.69)4(22.90)5(方向 南北 h12345N(h)36 27 21 13 5 5.359.2617.5525.6922.90)(h37例如，某地区降水量是一个区域化变量，其变异函数例如，某地区降水量是一个区域
32、化变量，其变异函数 的实测值及距离的实测值及距离h h的关系见下表，下面我的关系见下表，下面我们试用回归分析方法建立其球状变异函数模型。们试用回归分析方法建立其球状变异函数模型。)(h实测值实测值(h)(h)距离距离h2.10.69.24.94.31.110.35.15.72.210.56.26.52.510.97.57.83.111.29.5实测值实测值(h)(h)距离距离h8.83.812.49.8球状变异函数的形式为：球状变异函数的形式为：ahccahahahcchh03300)223(00)(ah 0330)2()23()(hachacch当当 时，有时，有38进一步，代换计算可知：进
33、一步，代换计算可知：c0 0=2.048=2.048，c=1.154=1.154，a=8.353=8.353，所以，球状变异函数模型为：，所以，球状变异函数模型为：535.8202.3535.80)535.821535.823(154.1048.200)(33*hhhhhh如果记如果记 ，则可以得到线性模型：，则可以得到线性模型：根据表中的数据，对上式进行最小二乘拟合，得到：根据表中的数据，对上式进行最小二乘拟合，得到：计算可知，上式的显著性检验参数计算可知，上式的显著性检验参数F=114.054，R2=0.962，可见模型的拟合效果是很好的。，可见模型的拟合效果是很好的。32132100,2
34、1,23,),(hxhxacbacbcbhy22110 xbxbby2100792.0731.1048.2xxy39理论变异函数模型理论变异函数模型克里金估计方法40n按照估值单元的大小划分，存在按照估值单元的大小划分，存在点估值点估值和和块段估值块段估值。n块段值块段值可以通过赋予块段平均值给块段可以通过赋予块段平均值给块段中心点转化中心点转化为为点估值点估值。或者，把块段离散为若干点的集合，从而转化为点估值。或者，把块段离散为若干点的集合，从而转化为点估值。n点点克里金估计方法克里金估计方法：从从不同角度利用区域化变量的结构性质不同角度利用区域化变量的结构性质，发展了不同类型的克里金估计方
35、法，包括区域化变量满足，发展了不同类型的克里金估计方法，包括区域化变量满足二阶平稳性二阶平稳性(或内蕴性或内蕴性)假设的假设的普通克里金估计普通克里金估计和和简单克里金简单克里金估计估计，区域化变量非平稳区域化变量非平稳(存在漂移存在漂移)的的泛克里金估计泛克里金估计，多个多个变量的变量的协同克里金估计协同克里金估计，变量服从对数正态分布的变量服从对数正态分布的对数克里对数克里金估计金估计，适用于非连续取值，适用于非连续取值(包括名义数据包括名义数据)的的指示克里金估指示克里金估计计、析取克里金估计析取克里金估计和和概率克里金估计概率克里金估计等。等。n可以可以综合多个角度，全面利用区域化变量
36、的结构性质，对单综合多个角度，全面利用区域化变量的结构性质，对单个特性建模的克里金估计进行组合，形成个特性建模的克里金估计进行组合，形成普通协同克里金估普通协同克里金估计计、协同泛克里金估计协同泛克里金估计和和协同指示克里金估计协同指示克里金估计等方法。等方法。41克里金估计方法克里金估计方法克里金估计（普通克里金估计）克里金估计（普通克里金估计）普通克里金估计普通克里金估计是一种内蕴假设是一种内蕴假设(或二阶平稳假设或二阶平稳假设)下期望未知的区域化变量估值方法。这里，区域化变量值下期望未知的区域化变量估值方法。这里，区域化变量值Z(x)Z(x)由由期望期望m m和残余和残余Y(x)Y(x)
37、两部分构成，即两部分构成，即Z(x)=m+Y(x)Z(x)=m+Y(x)，期望，期望m m为未知，残余为未知，残余Y(x)Y(x)的期望为零，的期望为零，EY(x)=0EY(x)=0。区域化变量区域化变量Z(x)Z(x)或残余或残余Y(x)Y(x)的内蕴假设为：的内蕴假设为：普通克里金估计方法的估计公式为普通克里金估计方法的估计公式为 ，Z Z*(x(x0 0)是待估位置是待估位置x x0 0的估值，的估值，Z(xZ(xi i)是已知位置是已知位置x xi i的观测值，的观测值，i i是分配给是分配给Z(xZ(xi i)的权重，的权重，n n是估计使用的观测值个数。是估计使用的观测值个数。0)
38、()()()(xYhxYExZhxZE)(2)()()()(hxYhxYVarxZhxZVar)()(10iniixZxZ4243普通克里金估计方法的最优估计条件为估计误差方差最小。根据估计公式并结合无偏估计条件，化简估计误差的方差表达式，获得：n引入拉格朗日乘数引入拉格朗日乘数-2，将条件，将条件(无偏估计条件无偏估计条件)极值极值(估计方差估计方差最小，最小，)问题化为下列无条件表达式的极值问题求解：问题化为下列无条件表达式的极值问题求解：44克里金估计（普通克里金估计）克里金估计（普通克里金估计）n上述方程组求解出的权重系数可以代入普通克里金估计方法估计公上述方程组求解出的权重系数可以代
39、入普通克里金估计方法估计公式进行待估点的估值。式进行待估点的估值。n利用上面的普通克里金方程组，简化的估计方差表达式，获得：利用上面的普通克里金方程组，简化的估计方差表达式，获得：4546克里金估计（普通克里金估计）克里金估计（普通克里金估计）克里金估计（泛克里金估计）克里金估计（泛克里金估计）泛克里金估计中，区域化变量值Z(x)由期望m(x)和残余Y(x)两部分构成，即：)()()(xYxmxZ其中，期望m(x)代表趋势项（又称为漂移），随空间位置变化，残余Y(x)具有内蕴性(或二阶平稳性)且期望为零，即EY(x)=0。47n例如，n一维空间中，线性趋势的m(x)=a0+a1x；二次曲线趋势
40、的m(x)=a0+a1x+a2x2。n二维空间中，线性趋势的m(x,y)=a0+a1x+a2y；二次曲线趋势的m(x,y)=a0+a1x+a2y+a3x2+a4y2+a5xy。48克里金估计（泛克里金估计）克里金估计（泛克里金估计）49克里金估计（泛克里金估计）克里金估计（泛克里金估计）n泛克里金估计方法的最优估计条件为估计误差方差最小。泛克里金估计方法的最优估计条件为估计误差方差最小。n根据估计公式并结合无偏估计条件，化简估计误差方差表达根据估计公式并结合无偏估计条件，化简估计误差方差表达式，获得：式，获得：50克里金估计（泛克里金估计）克里金估计（泛克里金估计）51克里金估计（泛克里金估计
41、）克里金估计（泛克里金估计）n上述方程组求解出的权重系数就可以代入泛克里金估计方法估上述方程组求解出的权重系数就可以代入泛克里金估计方法估计公式进行待估点的估值。计公式进行待估点的估值。n利用上面的泛克里金方程组，简化的估计方差表达式，获得：利用上面的泛克里金方程组，简化的估计方差表达式，获得：52克里金估计（泛克里金估计）克里金估计（泛克里金估计）n代换普通克里金方程组代换普通克里金方程组53克里金估计（泛克里金估计）克里金估计（泛克里金估计）克里金估计（协同克里金估计）克里金估计（协同克里金估计）在在协同克里金估计协同克里金估计中，地学现象不仅与单个变量空间相关，同中，地学现象不仅与单个变
42、量空间相关，同时还与多个变量统计相关。时还与多个变量统计相关。实际中，不同区域化变量的样本采集难度不一样实际中，不同区域化变量的样本采集难度不一样(客观条件和费客观条件和费用开支存在差异用开支存在差异)，有的区域化变量数据可以密集采样，有的区，有的区域化变量数据可以密集采样，有的区域化变量数据只能稀疏采样。域化变量数据只能稀疏采样。为了提高数据估计的精度，不仅利用待估值变量自身空间分布为了提高数据估计的精度，不仅利用待估值变量自身空间分布(空间结构空间结构)信息，同时还利用其它辅助变量的统计相关信息来信息，同时还利用其它辅助变量的统计相关信息来改善待估变量在特点空间位置的估计。改善待估变量在特
43、点空间位置的估计。54克里金估计（协同克里金估计）克里金估计（协同克里金估计）为了简化原理说明，这里仅使用两个变量为了简化原理说明，这里仅使用两个变量Z1(x),Z2(x)构成协同区构成协同区域化变量，其二阶平稳假设如下：域化变量，其二阶平稳假设如下：（1）每一个变量的期望存在且为常数，）每一个变量的期望存在且为常数，EZk(x)=mk,k=1,2（2）每一个变量的空间协方差为空间滞后）每一个变量的空间协方差为空间滞后h的函数，与绝对空间的函数，与绝对空间位置无关，位置无关，CovZk(x+h),Zk(x)=Ckk(h),k=1,2（3）两个变量的交叉协方差函数为空间滞后）两个变量的交叉协方差
44、函数为空间滞后h的函数，与绝对空的函数，与绝对空间位置无关，间位置无关，CovZk(x),Zk(x+h)=Ckk(h),k,k=1,2，交叉协方差中交叉协方差中k和和k的顺序不能颠倒。的顺序不能颠倒。内蕴假设中使用变量在一定空间滞后上的增量的期望、变异函数内蕴假设中使用变量在一定空间滞后上的增量的期望、变异函数和交叉变异函数。和交叉变异函数。二阶平稳性假设下，单一区域化变量具有关系二阶平稳性假设下，单一区域化变量具有关系(h)=C(0)-C(h)。相应地，交叉变异函数和交叉协方差函数具有下列转换关系：相应地，交叉变异函数和交叉协方差函数具有下列转换关系：21,),()(21)0()(，kkhC
45、hCChkkkkkkkk55n假设区域化变量假设区域化变量Z2(x)为主变量，观测值的个数为为主变量，观测值的个数为N2。n区域化变量区域化变量Z1(x)为辅助变量，观测值的个数为为辅助变量，观测值的个数为N1。Z2(x)比比Z1(x)难于观测，难于观测，N2N1。n综合利用综合利用Z1(x)和和Z2(x)的观测值对的观测值对Z2(x)在在x0进行估计，协同克进行估计，协同克里金估计方法的估计公式为：里金估计方法的估计公式为：56克里金估计（协同克里金估计）克里金估计（协同克里金估计）57克里金估计（协同克里金估计）克里金估计（协同克里金估计）58克里金估计（协同克里金估计）克里金估计（协同克
46、里金估计）59克里金估计（协同克里金估计）克里金估计（协同克里金估计）克里金估计（指示克里金估计）克里金估计（指示克里金估计）当区域化变量为非正态分布或存在特异值时，普通克里金估计方法中，变异函数拟合和线性加权平均估计结果的精度都降低了许多。为了限制特异值的影响，适应分布未知的情形，Journel Andre G等发展了非参数估计的指示克里金估计方法。设有区域化变量Z(x)，通过如下指示函数将其转化为指示变量，取值为0,1。60克里金估计（指示克里金估计）克里金估计（指示克里金估计）61克里金估计（指示克里金估计）克里金估计（指示克里金估计）62克里金估计（指示克里金估计）克里金估计（指示克里
47、金估计）求解权重过程中，引入拉格朗日乘数，将条件(无偏估计条件)极值(估计方差最小)问题化为无条件表达式的极值问题求解，获得指示克里金方程组：63克里金估计（指示克里金估计）克里金估计（指示克里金估计）64克里金估计（指示克里金估计）克里金估计（指示克里金估计）指示克里金的不足：它可能产生一些不合理的(概率)估计值，如负概率，非单调条件累积分布函数，全概率大于1。正如普通克里金估计方法通过估值和估值精度(估计误差方差)完整地描述了该点的真值情况，指示克里金估计方法通过接近某种阈值的概率(或划为某类的可能性)来完整地描述该点的真值情况。65估计评价和采样设计估计评价和采样设计克里金估计模型的有效
48、性克里金估计模型的有效性在克里金估计模型在克里金估计模型(结构及其参数结构及其参数)的检验时，对估计误差的检验时，对估计误差(检检验点的观测值和估计值的差验点的观测值和估计值的差)除以其标准差获得标准化估计误除以其标准差获得标准化估计误差。差。如果估计是无偏估计，则验证样本的标准化估计误差的整体平如果估计是无偏估计，则验证样本的标准化估计误差的整体平均值均值(或期望或期望)应该接近于零。应该接近于零。此外，计算检验点的观测值和估计值的差的均方根来获得均方此外，计算检验点的观测值和估计值的差的均方根来获得均方根估计误差。如果估计值越靠近它们的真实值根估计误差。如果估计值越靠近它们的真实值(检验点
49、的观测检验点的观测值值)，则均方根估计误差越小，表明该模型越有效。，则均方根估计误差越小，表明该模型越有效。比较检验点的均方根估计误差和估计误差方差，如果平均估计比较检验点的均方根估计误差和估计误差方差，如果平均估计误差方差接近于均方根估计误差，则认为该估计模型比较正确误差方差接近于均方根估计误差，则认为该估计模型比较正确地表达了空间变异性。地表达了空间变异性。66估计评价和采样设计估计评价和采样设计克里金估计模型的有效性：克里金估计模型的有效性：有两种模型有两种模型(结构及其参数结构及其参数)检验数据采集方法。检验数据采集方法。方法之一方法之一：选择部分数据作为构造变异函数和克里金估计模型选
50、择部分数据作为构造变异函数和克里金估计模型的训练数据，选择另外部分数据作为模型有效性的检验数据。的训练数据，选择另外部分数据作为模型有效性的检验数据。方法之二方法之二：使用全部样本数据作为检验数据，如交叉验证使用使用全部样本数据作为检验数据，如交叉验证使用的检验数据。交叉验证方法比较了所有点的测量值和估计值。的检验数据。交叉验证方法比较了所有点的测量值和估计值。交叉验证的基本思路交叉验证的基本思路：依次假设每一个观测数据点未被测定：依次假设每一个观测数据点未被测定(暂时将该点的数值剔除暂时将该点的数值剔除)，利用其余观测值借助于克里金估计，利用其余观测值借助于克里金估计方法来估计该点的值，然后
