1、 高三数学高三数学 一、选择题一、选择题：本题共本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要只有一项是符合题目要求的求的 1已知集合43Uxx=，21Axx=的图象有且仅有一个交点，则关于 x 的不等式()433xf xa的左焦点为1F，M 为 C 上一点，M 关于原点的对称点为 N，若160MFN=，且112FNFM=，则 C 的渐近线方程为（）A33yx=B3yx=C66yx=D6yx=二、选择题二、选择题：本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中分
2、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部有多项符合题目要求全部选对得选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9已知事件 A，B 满足()0.5P A=，()0.2P B=，则（）A若BA，则()0.5P AB=B若 A 与 B 互斥，则()0.7P AB+=C若 A 与 B 相互独立，则()0.9P AB=D若()|0.2P B A=，则 A 与 B 相互独立 10已知函数()()cosf xAx=+的部分图象如图所示，则（）A()cos3f xx=B()sin6f xx=C()f x在8,23上单调递增 D若()f x+为偶函数，则()6kk
3、=+Z 11已知函数()f x及其导函数()fx的定义域均为 R，记()()g xfx=，若()2f x+为偶函数，()g x为奇函数，则（）A()()4f xfx=B()()4g xgx=C()()4f xf x=+D()()4g xg x=+12在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，点 P 满足1APABxAAyAD=+，0,1x，0,1y，则（）A当1x=时，1D PBP+的最小值为5 B当xy=时，有且仅有一点 P 满足11DBAP C当1xy+=时，有且仅有一点 P 满足到直线11AB的距离与到平面 ABCD 的距离相等 D当221xy+=时，直线 AP 与11C D所
4、成角的大小为定值 三、填空题三、填空题：本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13若()6xm+展开式中3x的系数为 160，则实数 m_ 14在平面直角坐标系中，过 A（2，4），B（2，6），C（1，3），D（2，4）四点的圆的方程为_ 15已知椭圆()222210 xyabab+=的右焦点为 F，以 F 为焦点的抛物线()220ypx p=与椭圆的一个交点为 M，若 MF 垂直于 x 轴，则该椭圆的离心率为_ 16若不等式2lnlnxaexax+对任意()0,x+成立，则实数 a 的取值范围为_ 四、解答题四、解答题：本题共本题共 6 小题，共小题，共
5、 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（10 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且tan21tanBcAa=（1）求 B；（2）若3a=，3 7b=，求ABC 的面积 18（12 分）第五届中国国际进口博览会于 2022 年 11 月 4 日在上海开幕，本次进口博览会共有 145 个国家、地区和国际组织参展，企业商业展延续食品及农产品、汽车、技术装备、消费品、医疗器械及医药保健、服务贸易六大展区设置进口博览会的举办向世界展示了中国扩大开放的决心与自信、气魄与担当为调查上海地区大学生对进口博览会展区设置的了解情况
6、，从上海各高校抽取 400 名学生进行问卷调查，得到部分数据如下表：男 女 总计 了解 80 不了解 160 总计 200 400（1）完成上述 22 列联表，并判断是否有 99.9%的把握认为上海地区大学生对进口博览会展区设置的了解情况与性别有关；（2）据调查，上海某高校学生会宣传部 6 人中有 3 人了解进口博览会展区设置情况，现从这 6 人中随机抽取4 人参加进口博览会志愿服务，设抽取的人中了解进口博览会展区设置情况的人数为 X，求 X 的分布列与数学期望 参考公式：()()()()()22n adbcKabcdacbd=+，nabcd=+参考数据：()2P Kk 0.10 0.05 0
7、.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19（12 分）已知数列 na的各项均为正数，记nS为 na的前 n 项和，且22nnnSaa=+（1）求数列 na的通项公式；（2）记()11nnnnca a+=，求数列 nc的前 n 项和nT 20（12 分）在如图所示的圆柱中，AB，CD 分别是下底面圆 O，上底面圆1O的直径，AD，BC 是圆柱的母线，E 为圆 O上一点，P 为 DE 上一点，且OP平面 BCE（1）求证：DPPE=；（2）若2ABBC=，二面角 DCEB 的正弦值为155，求三棱锥 CPBE 的体积 21（12 分）已知
8、椭圆22:14xCy+=的左、右顶点分别为 A，B，P 为 C 上任意一点（异于 A，B），直线 AP，BP 分别交直线103x=于 M，N 两点（1）求证：BMBN；（2）设直线 BM 交椭圆 C 于另一点 Q，求证：直线 PQ 恒过定点 22（12 分）已知函数()exf xax=有两个零点（1）求实数 a 的取值范围；（2）设1x，2x是()f x的两个零点，求证：()120fx x 高三数学答案第 1页（共 6 页）高三数学参考答案一、单项选择一、单项选择题题：每小题每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分。题号12345678答案AABDBCCD二、多项选择题：每小题二、多项选择
9、题：每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分。题号9101112答案BDACABDACD三、填空题：每小题三、填空题：每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分。题号13141516答案222(2)(1)25xy2112ea四、解答题：四、解答题：17.（10 分）分）解：（1）因为tan21tanBcAa，由正弦定理得sincos2sin1cossinsinBACBAA，所以sincoscossin2sincossinsinBABACBAA，-1 分即sin()2sincosABCB，-2 分因为sin()sin()sinABCC，且sin0C，所以1cos2B，-4 分因为(0)B,
10、，所以3B.-5 分（2）在ABC中，3a，3 7b，3B，由余弦定理得22229631cos262acbcBacc，-7 分所以23540cc，则96cc 或（舍），-8 分所以127 3sin24ABCSacB.-10 分18.（12 分）分）解：（1）-2 分则22400(80 16040 120)40019.04810.828200200 12028021K，-4 分所以有99.9%的把握认为上海地区大学生对进口博览会展区设置的了解情况与性别有关.-5分男女总计了解8040120不了解120160280总计200200400高三数学答案第 2页（共 6 页）（2）X的取值范围是12 3
11、,，-6 分3133461(1)5C CP XC，2233463(2)5C CP XC，1333461(3)5C CP XC，-9 分因此X的分布列为-10 分从而131()1232555E X .-12 分19.（12 分）分）解：（1）当1n 时，2111122Saaa，可得11a，-1 分当2n时，21112nnnSaa，可得22112nnnnnaaaaa，2n，-3 分所以111()()()0nnnnnnaaaaaa，即11()(1)0nnnnaaaa，又na各项为正数，所以11nnaa，2n，所以na为等差数列，-5 分所以nan.-6 分（2）由（1）可知(1)(1)nncn n，
12、-7 分当n为偶数时，(1)223(3)445(1)(1)nTnnnn 2(13)4(35)(1)1nnn (2)(2)22(24)222nnn nn；-9 分当(3)n n为奇数时，21(1)(1)(1)(1)(1)22nnnnnTTn nn n，-10 分经检验1n也满足上式.-11分综上所述，2(2)2(1).2nn nnTnn,为偶数，,为奇数-12 分20.（12 分分）证明：（1）过点P作PFCDP交EC于点F，连接BF，因为OBCDP，所以OBPFP，所以O，B，F，P四点共面，-2 分因为OPP平面BCE，平面OBFP平面BCEBF，所以OPBFP，所以四边形OBFP为平行四边
13、形，-3 分所以/PFOB，因为1/2OBCD，-4 分X123P153515高三数学答案第 3页（共 6 页）所以1/2PFCD，所以DPPE.-5 分法二：法二：连接1O P，1OO，因为1OOBCP，所以1OOP平面BCE，因为OPP平面BCE，所以平面1OPOP平面BCE，所以1O PP平面BCE，-3 分因为平面CDE平面BCECE，所以1O PCEP，因为1O为CD的中点，所以DPPE.-5 分法三：法三：连接1O P，1OO，因为1OOBCP，所以1OOP平面BCE，因为OPP平面BCE，所以平面1OPOP平面BCE，-3 分又平面CDE平面BCECE，平面CDE平面11OO P
14、O P，所以1O PCEP，因为1O为CD的中点，所以DPPE.-5 分（2）连接AE，因为AB是圆O的直径，所以AEBE，过点E作圆柱的母线EQ，则EQABE 面，所以AE BE EQ,互相垂直，以E为原点，EAEBEQ ，的方向分别为xyz，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，-6 分设AEa，BEb，则224ab则(0 0 0)(02)(0 2)ECbD a,所以(02)(0 2)ECbEDa,uuu ruuu r-7 分设()x y z,m为平面ECD的法向量，2020axzbyz，令zab，解得22xbya ，所以(22)ba ab,m为平面ECD的一个法向量，-8 分因为BC
15、平面AEB，所以BCAE，又AEBE，所以AE 平面EBC，所以(1 0 0),n为平面EBC的一个法向量，因为二面角DCEB正弦值为155，所以2152cos1255,m n，-9 分即2222242445baba b，化简得222264baa b，又224ab，解得222ab，可得2AEBE，-10 分因为P为ED的中点，所以2(0 1)2P,，所以2(0 1)2EP,，又因为平面EBC的一个法向量(1 0 0),n，所以点P到平面EBC的距离2|22|12EPd nn，-11 分Q高三数学答案第 4页（共 6 页）所以1121223223C PBEP ECBVV.-12 分法二：法二：连
16、接1OO，在下底面过点O作直线OGAB交圆O于点G，所以OG，OB，1OO互相垂直，以O为原点，OG，OB，1OO 的方向分别为xyz，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设(0)E a b,，则221ab，-6 分则(010)(0 1 2)(01 2)ACD,，所以(12)CEa b,，(02 0)CD,，设()x y z,m为平面ECD的法向量，(1)2020axbyzy，令za，解得20 xy，所以(2 0)a,m为平面ECD的一个法向量，-7 分因为BC 平面AEB，所以BCAE，因为AB是圆O的直径，所以AEBE，所以AE 平面ECD，所以(1 0)AEa b,uuu r为平面E
17、BC的一个法向量，-8 分因为二面角DCEB正弦值为155，所以2152cos1255AE,uuu rm，即222242(4)(1)5aaab，-9 分化简得225(4)(1)aab，又221ab，解得0b，1a，所以(1 0 0)E ,，因为P为ED的中点，所以11(1)22P,，-10 分所以11(1)22EP,，又因为平面EBC的一个法向量(1 1 0)AE ,，所以点P到平面EBC的距离|122|2EP AEdAE ，-11 分所以1121223223C PBEP ECBVV.-12 分21.（12 分）分）证明：（1）设00()P xy,，则220014xy，002APykx，-1
18、分直线AP的方程为：00(2)2yyxx，可得001610()33(2)yMx,，-2 分所以0000163(2)410223BMyxykx，高三数学答案第 5页（共 6 页）因为002BNBPykkx，-4 分所以22000022000044412244BMBNyyyykkxxxy，所以BMBN.-5 分（2）当直线PQ存在斜率时，设PQ的方程为：ykxm，1122()()P xyQ xy,，由2214xyykxm,可得222(14)8440kxkmxm，-6 分由韦达定理可知12221228144414kmxxkmx xk,-7分因为BMBN，所以BPBQ，所以0BP BQ ，即1122(
19、2)(2)0 xyxy,，可得1212122()40 xxxxy y，（）-8 分因为11ykxm，22ykxm，所以221212(1)(2)()40kxxkmxxm，可得22222448(1)(2)()401414mkmkkmmkk，整理得22121650kkmm，-9 分可得65mk 或2mk（舍），所以66()55ykxkk x，所以直线PQ恒过定点6(0)5,；-10 分当直线PQ不存在斜率时，设PQ的方程为：xn，1122()()P xyQ xy,，则2214ny，可得21214ny y，因为122xxn，212x xn，代入（）式可得2244104nnn，即2516120nn，解得
20、65n 或2n（舍），所以直线PQ过点6(0)5,.综上所述，直线PQ恒过定点6(0)5,.-12 分22.（12 分）分）解：（1）()exfxa，-1 分当0a时，()0fx，所以()f x在R上单调递增，不满足题意；-2 分当0a 时，令()0fx，可得(ln)xa ,；令()0fx，可得(ln)xa,，高三数学答案第 6页（共 6 页）所以()f x在(ln)a,上单调递减，在(ln)a ,上单调递增，-3 分又x 时，()f x ；x 时，()f x ，所以(ln)0fa，即lneln0aaa，所以ln0aaa，可得ln1a，所以ea.-4分（2）要证12()0fx x，即证12(l
21、n)x xa ,，下证122lnxxa，即证122lnxax，不妨设12xx，由（1）可知12lnxax，所以22lnlnaxa，因为()f x在(ln)a,上单调递减，即证12()(2ln)f xfax，-5 分因为12()()f xf x，所以22()(2ln)f xfax，即证22()(2ln)0f xfax，令()()(2ln)h xf xfax，-6 分222ln()()(2ln)e2ee22e20eexa xxxxxaah xfxfaxaaa，-8 分所以()h x在R上单调递增，又因为2lnxa，所以2()(ln)0h xha，即22()(2ln)0f xfax.-9 分可得12
22、2lnxxa，-10 分因为(0)10f，所以120lnxax，所以12122xxx x，即12lnx xa，-11 分又因为()f x在(ln)a,上单调递减，所以12()0fx x.-12 分法二：法二：下证122lnxxa，即证122lnxax，不妨设12xx，由（1）可知12lnxax，所以22lnlnaxa，因为()f x在(ln)a,上单调递减，即证12()(2ln)f xfax，-5 分因为1()0f x，即证2(2ln)0fax，-6 分2222ln222(2ln)e(2ln)2 lnea xxafaxaaxaaax，因为22exax，所以22exax，所以22222222e12 ln(2ln)exxaaaaxxxxx，因为2lnxa且ea 所以21x，令1()2ln(1)h xxxxx，-8 分22212(1)()10 xh xxxx ，-9 分所以()h x在(1),上单调递减，所以2()(1)0h xh，所以22222e1(2ln)0 xxxxx，所以2(2ln)0fax，可得122lnxxa.-10 分因为(0)10f，所以120lnxax，所以12122xxx x，即12lnx xa，-11 分又因为()f x在(ln)a,上单调递减，所以12()0fx x.-12 分
