1、2 2 2 文科数学试卷 注意事项：注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用、回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上，写在本试卷上无效。卡上，写在本试卷上无效。 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。、考试结束后，将本试卷和答题卡
2、一并交回。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知集合 M x Z | 1 x 1, N x Z | x(x 2) 0 ，则 M N ( ) A1,2 B.0,1 C.1,0,1 D.1,0,1,2 2. 若 z 3 4i iz （ i 是虚数单位），则 z （ ） 1 i 3 5 A B2 C 2 2 D3 3. 已知向量 a ，b 满足 a 2 ， b 1 且 a b 2 ， 则 a 与 b 夹角的余弦值为 （ ） A B
3、 C D 2 3 8 4 4. 已知数列an 是公比不为 1 的等比数列， sn 为其前 n 项和，满足a2 2 ，且 16a1 ,9a4 ,2a7 成等差数列，则 s3 （ ） A5 B6 C7 D9 2 A2019 年 14 月的业务量，3 月最高，2 月最低，差值接近 2000 万件 B2019 年 14 月的业务量同比增长率超过 50%，在 3 月最高 C. 从两图看 2019 年 14 月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致 D. 从 14 月来看，该省在 2019 年快递业务收入同比增长率逐月增长 1 ex 10.在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1
4、中， E, F 分别为线段CD 和 A1B1 上的动点 且满足CE A1F ，则四边形 D1FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方 体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（ ） 3 A. 有最小值 2 5 B. 有最大值 2 C. 为定值 3 D为定值 2 11.斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列 1，1，2，3，5，画出 来的螺旋曲线.如图，白色小圆内切于边长为 1 的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋 线，它是依次在以 1，2，3，5 为边长的正方形中画一个圆心角为90 的扇形，将其圆弧 连接起来得到的.若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分
5、的概率是（ ） A B 4 39 160 191 C 80 19 2 D 80 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.某单位有 360 名职工，现采用系统抽样方法，抽取 20 人做问卷调查，将 360 人按 1，2，360 随机编号， 则抽取的 20 人中， 编号落入区间181, 288 的人数为 14.已知圆C : (x 3)2 ( y 1)2 3 及直线l : ax y 2a 2 0 ，当直线l 被圆C 截得 的弦长最短时，直线l 的方程为 . 15.如图，矩形 ABCD 中， M 为 BC 的中点，将ABM 沿直线 AM
6、翻折成AB1M ， 连结 B1D ， N 为 B1D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是 . 存在某个位置，使得CN AB ； 翻折过程中， CN 的长是定值； 若 AB BM ，则 AM B1D ； 若 AB BM 1 ，当三棱锥 B1 AMD 的体积最大时，三棱锥 B1 AMD 的外接球的 表面积是 4. 16.在ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，c 4 ，a 4 2 sin A ，且C 为锐角 ， 则ABC 面积的最大值为 . 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步
7、骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 S2 4 ， S5 25 （1）求数列a 的通项公式； （2）记b 1 ，求数列b 的前 n 项和T an1a n n n2 n n 18 （12 分）如图，四边形 ABCD 为正方形， PD 平面 ABCD ， 点 E ， F 分别为 AD ， PC 的中点 PD DC 2 ， （）证明： DF / / 平面 PBE ；
8、（）求点 F 到平面 PBE 的距离 19（12 分）近年来，共享单车在我国各城市迅猛发展，为人们的出行提供了便利，但 也给城市的交通管理带来了一些困难，为掌握共享单车在C 省的发展情况，某调查机构 从该省抽取了 5 个城市，并统计了共享单车的 A 指标 x 和 B 指标 y ，数据如下表所示： （1） 试求 y 与 x 间的相关系数 r ，并说明 y 与 x 是否具有较强的线性相关关系（若 | r | 0.75 ，则认为 y 与 x 具有较强的线性相关关系，否则认为没有较强的线性相关关系）. （2） 建立 y 关于 x 的回归方程，并预测当 A 指标为 7 时， B 指标的估计值. （3）
9、若某城市的共享单车 A 指标 x 在区间( x 3s, x 3s) 的右侧，则认为该城市共享单 车数量过多，对城市的交通管理有较大的影响交通管理部门将进行治理，直至 A 指标 x 在区 间( x 3s, x 3s) 内现已知C 省某城市共享单车的 A 指标为 13，则该城市的交通管理部 门是否需要进行治理？试说明理由. 城市 1 城市 2 城市 3 城市 4 城市 5 A 指标 2 4 5 6 8 B 指标 3 4 4 4 5 参考公式：回归直线 y bx a 中斜率和截距的最小二乘估计分别为 文科数学参考答案 一、选择题 15：BCDCD 610：DBCCD 1112：DC 二、填空题 13
10、：6 14： 0 yx 15： 16：244 三、解答题 17：（1）设等差数列 n a的首项为 1 a，公差为d，因为 2 4S ， 5 25S ， 则： 1 1 24 5 4 525 2 ad ad ，解得 1 2 1 a d ， 所以 12(1)21 n ann - -（6分） （2）由于21 n an， 所以 12 11111 21 232 2123 n nn b aannnn 则 1 1111111 11 2 355721232 32369 n n T nnnn -（12 分） 18：（）证明：取点G是PB的中点，连接EG， FG，则/FGBC，且 1 2 FGBC， /DEBC且
11、1 2 DEBC， /DEFG且DEFG， 四边形DEGF为平行四边形， /DFEG，,PBEEG平面,PBEDF平面/DF平面PBE-（6分） （）解：由（）知/DF平面PBE，所以点D到平面PBE的距离与F到平面PBE的 距离是相等的，故转化为求点D到平面PBE的距离，设为d 利用等体积法： D PBEP BDE VV ，即 11 33 PBEBDE SdSPD ， 1 1 2 BDE SDEAB ， 5PEBE， 2 3PB ，6 PBE S， 6 3 d - （12分） 19：（1）由题得 24568 5 5 x ， 34445 4 5 y 所以 5 1 6 ii i xxyy ， 5
12、 2 1 20 i i xx ， 5 2 1 2 i i yy 则 6 0.90.95 2 52 r . 因为0.75r ，所以y与x具有较强的线性相关关系.- -（5分） （2）由（1）得 6 0.3 20 b ， 40.3 52.5a ， 所以线性回归方程为 0.32.5yx .- -（8分） 当7x 时，0.3 72.54.6y ， 即当A指标为7时，B指标的估计值为4.6.- -（10分） （3）由题得(3 ,3 )( 1,11)xs xs ， 因为1311，所以该城市的交通管理部门需要进行治理.- -（12分） 20：（1）直线1 xy ab 的一般方程为0bxayab. 依题意 2
13、2 222 22 15 30 4 ab ab ab abc ，解得 5 3 a b ，故椭圆C的方程式为 22 1 53 xy .- （4分） （2）假若存在这样的直线l， 当斜率不存在时，以AB为直径的圆显然不经过椭圆C的左顶点， 所以可设直线l的斜率为k，则直线l的方程为 2ykx . 由 22 2 3515 ykx xy ，得 22 352050kxkx . 由 22 40020 350kk ，得 55 , 55 k . 记A，B的坐标分别为 11 ,x y， 22 ,x y， 则 12 2 20 35 k xx k ， 12 2 5 35 x x k ， 而 1212 22y ykxk
14、x 2 1 212 24k x xk xx.- -（8分） 要使以AB为直径的圆过椭圆C的左顶点5,0D ，则 0DA DB ， 即 1212 55y yxx 2 1212 1259kx xkxx 0， 所以 2 22 520 1259 3535 k kk kk 0， 整理解得 2 5 5 k 或 8 5 5 k ， 所以存在过P的直线l，使l与椭圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆C的 左顶点，直线l的方程为 2 5 2 5 yx或 8 5 2 5 yx.- -（12分） 21：（1）函数 f x的定义域为0,， 111 11 xax fxa x xx ， 令 0fx ，则 1 1x
15、 ， 2 1 x a ， （i）若1a ，则 0fx 恒成立，所以 f x在0,上是增函数，- （2分） （ii）若01a，则 1 1 a ， 当0,1x时， 0fx ， f x是增函数， 当 1 1,x a 时， 0fx ， f x是减函数， 当 1 ,x a 时， 0fx ， f x是增函数，- -（4分） （iii）若1a ，则 1 01 a ， 当 1 0,x a 时， 0fx ， f x是增函数， 当 1 ,1x a 时， 0fx ， f x是减函数， 当1,x时， 0fx ， f x是增函数 综上所述：当1a 时， f x在0,上是增函数， 当01a， f x在0,1上是增函数，在
16、 1 1, a 上是减函数，在 1 , a 上是增函数， 当1a 时， f x在 1 0, a 上是增函数，在 1 ,1 a 上是减函数，在1,上是增函数； - -（6分） （2）当1ae时， f x在 1 0, a 上是增函数，在 1 ,1 a 上是减函数，在1,上是增函数， 所以 f x的极小值为 110f ， f x的极大值为 2 11111 1lnln1 222 aa fa aaaaa , 设 1 ln1 22 a g aa a ，其中1,ae， 2 2 222 111121 0 2222 aaa g a aaaa , 所以 g a在1,e上是增函数， 所以 e1 e20 22e g
17、ag， 因为 211 44 14ln494ln4ln40 222 a f ， 所以有且仅有1个 0 1,4x ，使 0 0f x. 所以当1ae时， f x有且仅有1个零点.- -（12分） 22：（1）曲线 :4cosC ， 2 4 cos， 曲线C的直角坐标方程为 22 4xyx，即 22 (2)4xy， 直线l的参数方程为： 1 3 2 3 2 xt yt （t为参数）， 直线l的普通方程为： 33 30xy- -（5分） （2）直线l的参数方程为： 1 3 2 3 2 xt yt （t为参数）， 代入 22 4xyx，得 2 30tt ， 12 1tt ， 1 2 3t t 2121 12121 2 |111 |3 11tttt tPMPtttt tN - -（10分） 23：（I）因为 13f，所以1 23aa . 当0a时，得1 23aa ，解得 2 3 a ，所以 2 0 3 a; 当 1 0 2 a时，得1 23aa，解得2a ，所以 1 0 2 a; 当 1 2 a 时，得1 23aa，解得 4 3 a ，所以 14 23 a; 综上所述，实数a的取值范围是 2 4 , 3 3 - -（6分） （II） 1f x ，因为 2 , 3 axR, 所以 12f xxaax 121 331 1xaaxaa - -（10分）
