1、2020 年全国普通高等学校统一招生考试（新课标 III 卷）押题猜想卷 数 学（理） 第 I 卷 选择题（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1已知集合 | 22Axx N ， 1,1,2,3B ，则AB （ ） A 1 B0,1 C0,1,2 D0,1,2,3 【答案】A 【解析】 | 220,1Axx N，因此，1AB. 故选：A. 2设 z=i(2+i)，则z= A1+2i B1+2i C12i D12i 【答案】D 【解析】 2 i(2i)2ii1 2iz ， 所以1 2zi ，选 D
2、 3 九章算术中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.现有一阳马，其正视 图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 A6 B2 C6 D24 【答案】C 【解析】 如图所示，该几何体为四棱锥 PABCD底面 ABCD 为矩形， 其中 PD底面 ABCD AB1，AD2，PD1 则该阳马的外接球的直径为 PB 1 1 46 该阳马的外接球的表面积： 2 6 4()6 2 故选 C 4若 3 sin() 25 ，则 cos2=（ ） A 7 25 B 24 25 C 7 25 D 24 25 【答案】C 【解析】 由条件得 3 sinc
3、os 25 ， 2 2 37 cos22cos121 525 故选 C 5二项式 8 1 2x x 的展开式中，常数项等于（ ） A448 B900 C1120 D1792 【答案】C 【解析】 该二项展开式通项为 8 88 2 88 1 22 r r rrrr CCxx x ， 令820r，则4r ，常数项等于 44 8 21120C . 故选：C. 6 已知点 ( , )P x y是直线240xy 上一动点， 直线,PA PB是圆 22 :20C xyy的两条切线，, A B 为切点，C为圆心，则四边形PACB面积的最小值是（ ） A2 B 5 C2 5 D4 【答案】A 【解析】 圆 2
4、2 :20C xyy即 22 (y 1)1x ,表示以 C(0,-1)为圆心，以 1 为半径的圆。 由于四边形 PACB 面积等于 1 2 2 PAACPA，而 2 1PAPC . 故当 PC 最小时，四边形 PACB 面积最小. 又 PC 的最小值等于圆心 C 到直线240xy的距离 d,而 2 2 0 14 5 21 d ， 故四边形 PACB 面积的最小的最小值为5 12 ， 故选 A. 点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法： （）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等 量关系； （）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形； （）直
5、线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小 7我国著名数学家华罗庚曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休. 在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特 征，如函数 1 sin 2 fxxx的图像大致是（ ） A B C D 【答案】A 【解析】 111 sinsinsin( ) 222 fxxxxxxxf x 则函数 f x在R上为奇函数，故排除 B、D. 1 cos 2 fxx，当0, 3 x 时， 1 cos 2 x ，即 ( ) 0fx 所以函数 f x在区间0, 3 上单调递减，故排除 C 故选：A 8已知
6、离散型随机变量X服从二项分布 ( , )XB n p，且()4E X ，()D Xq，则 11 pq 的最小值为 （ ） A2 B 5 2 C 9 4 D4 【答案】C 【解析】 离散型随机变量 X 服从二项分布XB np， 所以有4E Xnp， 1D Xqnpp（， 所以44pq，即1 4 q p， （0p ，0q ） 所以 1111 4 q p pqpq 559 21 44444 qpqp pqpq ， 当且仅当 4 2 3 qp时取得等号 故选 C 9在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若 22 ()6cab，且 ,A C B成等差数列，则 ABC的面积是（ ） A 3 3
7、2 B 9 3 2 C3 D3 3 【答案】A 【解析】 ,A C B成等差数列， 2CA B，又ABC， 3 C ， 22222 2coscababCabab， 又 2222 ()626cababab， 由得6ab， 1133 3 sin6 2222 ABC SabC ， 故选 A. 10设A BCD， ， ， 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9 3，则三 棱锥DABC体积的最大值为 A12 3 B18 3 C24 3 D54 3 【答案】B 【解析】 如图所示， 点 M 为三角形 ABC 的中心，E 为 AC 中点， 当DM 平面ABC时，三棱锥DABC体
8、积最大 此时，ODOBR4 2 3 9 3 4 ABC SAB AB6, 点 M 为三角形 ABC 的中心 2 BM2 3 3 BE Rt OMB中，有 22 OM2OBBM DMOD OM4 26 max 1 9 3618 3 3 D ABC V 故选 B. 11已知 1 F、 2 F是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左右焦点，过点 2 F与双曲线的一条渐近线平行的直线交 双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段 12 FF为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A(2, ) B( 3,2) C( 2, 3) D(1, 2) 【答案】A 【解析】 双曲线 2 2
9、 x a 2 2 y b =1 的渐近线方程为 y= b a x， 不妨设过点 F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为 y= b a （xc） ， 与 y= b a x 联立，可得交点 M（ 2 c ， 2 bc a ） ， 点 M 在以线段 F1F2为直径的圆外， |OM|OF2|，即有 2 4 c + 22 2 4 b c a c2， 2 2 b a 3，即 b23a2， c2a23a2，即 c2a 则 e= c a 2 双曲线离心率的取值范围是（2，+） 故选：A 12 已知 ( )f x是定义在(,) 上的偶函数， 且在(,0 上是增函数， 设 4 (log 7)af， 1 2 (l
10、og 3)bf ， 1.6 (2 )cf，则 , ,a b c的大小关系是( ) Acab Bbca Ccba Dabc 【答案】C 【解析】 ( )f x是定义在(,) 上的偶函数， 122 2 (log 3)( log 3)(log 3)bfff ， 2244 2log 4log 3log 9log 71， 1.61 22 ， 1.6 42 0log 7log 32， 在(，0上是增函数， 在0，)上为减函数， 则 1.6 42 (log 7)(log 3)(2)fff， 即cba， 故选：C 第 II 卷 非选择题（共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20
11、分. 13若向量1,2a r ，2,bm r ，且(2 )aba，则m_. 【答案】 1 4 【解析】 2( 3,22 )abm ， (2 )aba，(2 )3440abam ， 1 4 m 故答案为： 1 4 14若曲线 lnyxx 与直线1ykx相切，则切点坐标是_ 【答案】1,0 【解析】 设切点坐标为( )00 ,x y, 对lnyxx求导可得：ln1yx = +, 由已知可得： 000 0 ln1 ln1 xxkx xk , 解得 0 1x ， 000 ln=0yxx, 切点坐标是1,0. 故答案为：1,0 15下列函数中： sin2yx ；cos2yx；3sin 2 4 yx ，其
12、图象仅通过向左(或向右)平移 就能与函数 sin2f xx的图象重合的是_.(填上符合要求的函数对应的序号) 【答案】 ： 【解析】 sin2yx 的图象向左平移 2 个单位，可得到sin2sin2 2 yxx ，故符合要求. cos2sin 2 2 yxx 的图象向右平移 4 个单位， 可得到sin 2sin2 42 yxx ， 故符合 要求. 对于3sin 2 4 yx ，无论向左还是向右，纵坐标不变，故不符合条件. 故答案为： 16 已知过抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点F的直线:4l yxb截抛物线C所得的弦长为17， 设点A 为抛物线C上的动点，点(2,6),B过点A作抛物
13、线C的准线 1 l的垂线，垂足为,D则ABAD的最小值为 _. 【答案】2 10 【解析】 2 :2(0)C ypx p焦点为 ,0 2 p ，直线过焦点，故2bp ， 设交点的横坐标分别为 12 ,x x， 2 2 42 ypx yxp ，故 22 161840xxpp，故 12 9 8 xxp， 故 12 17 17 8 xxpp，故8p ，故 2 16yx. 2 10ABADABAFBF，当BAF共线时等号成立. 故答案为：2 10. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1721 题为必考题，每个 考生都必须作答.22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
14、（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S， 36 4,27aS. （1）求 n a的通项公式； （2）设2 n a n b ，记 n T为数列 n b的前 n 项和.若124 m T ，求m. 【答案】 （1）1 n an； （2）5m； 【解析】 （1）设 n a的首项为 1 a，公差为d， 由已知得 1 1 24 61527 ad ad ，解得 1 2 1 a d . 所以 1 11 n aandn. （2）因为2 n a n b ，由（1）可得 1 2n n b ， n b是首项为 4，公比为 2 的等比数列， 则 4 1 2 4 2
15、1 1 2 n n n T . 由124 m T ，得4 21124 m ， 解得5m. 18在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村100户贫困户.为了 做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转 化为各户的贫困指标x.将指标x按照0,0.2，0.2,0.4，0.4,0.6，0.6,0.8，0.8,1.0分成五组， 得到如图所示的频率分布直方图.规定若00.6x，则认定该户为绝对贫困户，否则认定该户为相对贫 困户；当00.2x时，认定该户为亟待帮住户.工作组又对这100户家庭的受教育水平进行评测，家庭 受教
16、育水平记为良好与不好两种. （1）完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关： 受教育水平良好 受教育水平不好 总计 绝对贫困户 2 相对贫困户 52 总计 100 （2）上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于00.4,的贫困户中，随机选取两户， 用X表示所选两户中亟待帮助户的户数，求X的分布列和数学期望EX. 附： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中na b cd . 2 0 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 【答案】 （1）列联表见解析，有； （2）
17、分布列见解析， 2 3 . 【解析】 （1）由题意可知，绝对贫困户有0.25 0.500.750.2 10030（户） ，可得出如列联表： 受教育水平 良好 受教育水平 不好 总计 绝对贫困户 2 28 30 相对贫困户 18 52 70 总计 20 80 100 2 2 10018 282 52 30 70 20 80 K 4.7623.841 故有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关 （2）贫困指标在00.4,的贫困户共有0.250.50.2 10015（户） ， 亟待帮助户共有0. 25 0.2 1005（户） ， 依题意X的可能值为0，1，2， 2 10 2 15 3 0
18、7 C P X C ， 11 105 2 15 10 1 21 C C P X C ， 2 5 2 15 2 2 21 C P X C ， 则X的分布列为 X 0 1 2 P 3 7 10 21 2 21 故 31022 012 721213 EX 19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是梯形，ADBC， 1 2 2 ABADDCBC， PBAC. （1）证明：平面PAB 平面ABCD； （2）若4PA，2 3PB ，求二面角BPCD的余弦值. 【答案】 （1）见解析（2） 2 4 【解析】 （1）证明：因为/ /ADBC， 1 2 2 ABADDCBC， 所以90BAC，即ABAC，
19、因为PBAC，PBABB，所以AC 平面PAB， 因为AC 平面ABCD，所以平面PAB 平面ABCD； （2）因为4PA，2 3PB ，2AB ，所以PBBA. 由（1）知平面PAB 平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB， 所以PB 平面ABCD， 由BC 平面ABCD，PB 平面PBC，所以PBBC，平面PBC 平面ABCD. 过点D作DEBC于E，则DE 平面PBC. 过E作EFPC交PC于F，则DFPC即DFE为所求二面角的平面角， 在梯形ABCD中，求得1EC ， 22 3DECDCE ， 在Rt PBC中， 22 3 sin 7 PBPB PBC PC PBBC ， 所以 3
20、7 EF EC 即 3 7 EF ， 在RtDEF中， 22 2 6 7 DFDEEF， 在RtDEF中，求得 2 cos 4 EF DFE DF ， 故二面角BPCD的余弦值为 2 4 . 20如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点为 ,0F c，下顶点为 P，过点(0,) 2 b M的动直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点. （1）当直线 l 平行于 x 轴时，P，F，A 三点共线，且 3 3 2 PA ，求椭圆 C 的方程； （2）当椭圆 C 的离心率为何值时，对任意的动直线 l，总有PAPB？ 【答案】 （1） 22 1 32
21、xy （2）椭圆 C 的离心率为 6 3 【解析】 （1）当直线l与 x 轴平行时，即 1 : 2 l xb， 如图，作ADx轴于点 D， 则根据 1 2 ADFDAF OPOFPF ，可得 31 , 22 Acb ， 且 22 3333 3 2222 PAPFcba， 解得3a ， 又因为A在椭圆上，所以 22 22 91 44 1 cb ab ， 解得 22 1 1 3 ca 所以 2 3 12b ， 所以椭圆 C 的方程为 22 1 32 xy ； （2）当直线 l 平行于 x 轴时， 由PAPB，得 33 22 1 33 22 PAPB bb kk aa 22 3ab=，又 222 a
22、bc， 22 23ac， 2 2 3 e ， 0,1e， 6 3 e . 当直线 l 不平行于 x 轴时，下面证明当 6 3 e ，总有PAPB， 事实上，由知椭圆可化为 22 22 1 3 xy bb ， 222 33xyb， 直线 l 的方程为 2 b ykx， 11 ,A x y， 22 ,B x y， 由 222 2 33 b ykx xyb ，得 222 9 1330 4 kxkbxb， 12 2 3 13 kb xx k ， 2 12 2 9 4 13 b x x k 11 ,PAx yb， 22 ,PBxyb 1212 PA PBx xybyb 1212 33 22 bb x x
23、kxkx 22 1212 39 1 24 kb kx xxxb 2 22 22 9 339 4 1 1 321 34 b kbkb kb kk 22 222 2 9 1 3 999 4 0 1 3444 bk bbb k . PAPB， 综上，当椭圆 C 的离心率为 6 3 时，对任意的动直线 l，总有PAPB. 21已知函数 若函数的最大值为 3，求实数 的值； 若当时，恒成立，求实数 的取值范围； 若，是函数的两个零点，且，求证： 【答案】 4； ；证明见解析. 【解析】 函数的定义域为 因为， 所以在内，单调递增； 在内，单调递减 所以函数在处取得唯一的极大值，即的最大值 因为函数的最大
24、值为 3， 所以， 解得 因为当时，恒成立， 所以， 所以， 即令， 则 因为， 所以 所以在单调递增 所以， 所以 ， 所以即实数 k 的取值范围是； 由 可知：， 所以 因为，是函数的两个零点， 所以 因为 令， 则 所以在，单调递减 所以 所以，即 由 知，在单调递增， 所以， 所以 点睛：不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立 （即可） ； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或 恒成立； 讨论参数. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在请考生在 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的
25、第一题计分. 22在直角坐标系xOy中，已知曲线 1 C的参数方程为 2cos 32sin x y （是参数） ，以O为极点，以x轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin2 2 4 （1）求曲线 1 C和曲线 2 C的普通方程； （2）曲线 2 C与x轴交点P，与曲线C交于点,A B两点，求 11 PAPB 的值. 【答案】 （1）曲线 1 C的普通方程 2 2 34xy，曲线 2 C的普通方程4xy， （2） 2 3 【解析】 （1）消去参数后可得曲线 1 C的普通方程为 2 2 34xy； 由sin2 2 4 可得 22 sincos2 2 22 ， 即sincos4，由
26、 sin cos x y 可得曲线 2 C的曲线方程为4xy； （2）由题意可知点4,0P，则直线 2 C的参数方程可写为 2 4 2 2 2 xt yt ， 代入 2 2 34xy得 2 7 2210tt ，140， 7 20 AB tt，210 A B t t ， 所以 1111117 22 213 AB ABABA B tt PAPBttttt t . 23已知( ) |2 1|1|f xxx. （1）求不等式( ) 9f x 的解集； （2）设( )9 |1|24|g xxx ，在同一坐标系内画出函数 ( )f x和( )g x的图象，并根据图象写出不等 式( )( )f xg x的解
27、集. 【答案】 （1） | 33xx 剟（2）作图见解析；不等式的解集为 | 12xx 剟 【解析】 （1） 3 ,1 1 ( )2112,1 2 1 3 , 2 x x f xxxxx xx ， 当1x时，39x，得13x剟； 当 1 1 2 x时，29x，解得7x，故 1 1 2 x； 当 1 2 x时，39x，解得3x，故 1 3 2 x剟. 综上，原不等式的解集为 | 33xx 剟. （2） 36,1 ( )91244,12 312,2 xx g xxxxx xx ， 在同一坐标系内画出函数 ( )f x和( )g x 的图象， 由图可知，不等式( )( )f xg x的解集为 | 12xx 剟.
