1、高中数学函数的极值与导数测试题(含答案)选修2-21.3.2函数的极值与导数一、选择题1已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是()A导数为零的点一定是极值点B如果在点x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值C如果在点x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值D如果在点x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值答案C解析导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)x3，f(x)3x2，f(0)0，但x0不是f(x)的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.2函数y13xx3有()A极小值2，极大值2B极小值2
2、，极大值3C极小值1，极大值1D极小值1，极大值3答案D解析y33x23(1x)(1x)令y0，解得x11，x21当x1时，y0，函数y13xx3是减函数，当11时，y0，函数y13xx3是增函数，当x1时，y0，函数y13xx3是减函数，当x1时，函数有极小值，y极小1.当x1时，函数有极大值，y极大3.3设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是()A必有f(x0)0Bf(x0)不存在Cf(x0)0或f(x0)不存在Df(x0)存在但可能不为0答案C解析如：y|x|，在x0时取得极小值，但f(0)不存在4对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的()A充分不必要条件B必要不充分
3、条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件5对于函数f(x)x33x2，给出命题：f(x)是增函数，无极值；f(x)是减函数，无极值；f(x)的递增区间为(，0)，(2，)，递减区间为(0,2)；f(0)0是极大值，f(2)4是极小值其中正确的命题有()A1个 B2个C3个 D4个答案B解析f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得x2或x0，令f(x)0，得02，错误6函数f(x)x1x的极值情况是()A当x1时，极小值为2，但无极大值B当x1时，极大值为2，但无极小值C当x1时，极小值为2；当x1时，极大值为2D当x1时，极大值为
4、2；当x1时，极小值为2答案D解析f(x)11x2，令f(x)0，得x1，函数f(x)在区间(，1)和(1，)上单调递增，在(1,0)和(0,1)上单调递减，当x1时，取极大值2，当x1时，取极小值2.7函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A1个 B2个C3个 D4个答案A解析由f(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点8已知函数yxln(1x2)，则函数y的极值情况是()A有极小值B有极大值C既有极大值又有极小值
5、D无极值答案D解析y111x2(x21)12xx21(x1)2x21令y0得x1，当x1时，y0，当x1时，y0，函数无极值，故应选D.9已知函数f(x)x3px2qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是()A极大值为427，极小值为0B极大值为0，极小值为427C极大值为0，极小值为427D极大值为427，极小值为0答案A解析由题意得，f(1)0，pq1f(1)0，2pq3由得p2，q1.f(x)x32x2x，f(x)3x24x1(3x1)(x1)，令f(x)0，得x13或x1，极大值f13427，极小值f(1)0.10下列函数中，x0是极值点的是()Ayx3 Bycos2x
6、Cytanxx Dy1x答案B解析ycos2x1cos2x2，ysin2x，x0是y0的根且在x0附近，y左正右负，x0是函数的极大值点二、填空题11函数y2xx21的极大值为_，极小值为_答案11解析y2(1x)(1x)(x21)2，令y0得11，令y0得x1或x1，当x1时，取极小值1，当x1时，取极大值1.12函数yx36xa的极大值为_，极小值为_答案a42a42解析y3x263(x2)(x2)，令y0，得x2或x2，令y0，得22，当x2时取极大值a42，当x2时取极小值a42.13已知函数yx3ax2bx27在x1处有极大值，在x3处有极小值，则a_，b_.答案39解析y3x22a
7、xb，方程y0有根1及3，由韦达定理应有14已知函数f(x)x33x的图象与直线ya有相异三个公共点，则a的取值范围是_答案(2,2)解析令f(x)3x230得x1，可得极大值为f(1)2，极小值为f(1)2，yf(x)的大致图象如图观察图象得22时恰有三个不同的公共点三、解答题15已知函数f(x)x33x29x11.(1)写出函数f(x)的递减区间；(2)讨论函数f(x)的极大值或极小值，如有试写出极值解析f(x)3x26x93(x1)(x3)，令f(x)0，得x11，x23.x变化时，f(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：x (，1) 1 (1,3) 3 (3，)f(x) 0
8、 0 f(x) 增 极大值f(1) 减 极小值f(3) 增(1)由表可得函数的递减区间为(1,3)；(2)由表可得，当x1时，函数有极大值为f(1)16；当x3时，函数有极小值为f(3)16.16设函数f(x)ax3bx2cx，在x1和x1处有极值，且f(1)1，求a、b、c的值，并求出相应的极值解析f(x)3ax22bxc.x1是函数的极值点，1、1是方程f(x)0的根，即有又f(1)1，则有abc1，此时函数的表达式为f(x)12x332x.f(x)32x232.令f(x)0，得x1.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x (，1) 1 (1,1) 1 (1，)f(x) 0 0
9、f(x) ? 极大值1 ? 极小值1 ?由上表可以看出，当x1时，函数有极大值1；当x1时，函数有极小值1.17已知函数f(x)ax3bx23x在x1处取得极值(1)讨论f(1)和f(1)是函数f(x)的极大值还是极小值；(2)过点A(0,16)作曲线yf(x)的切线，求此切线方程解析(1)f(x)3ax22bx3，依题意，f(1)f(1)0，即解得a1，b0.f(x)x33x，f(x)3x233(x1)(x1)令f(x)0，得x11，x21.若x(，1)(1，)，则f(x)0，故f(x)在(，1)上是增函数，f(x)在(1，)上是增函数若x(1,1)，则f(x)0，故f(x)在(1,1)上是
10、减函数f(1)2是极大值；f(1)2是极小值(2)曲线方程为yx33x.点A(0,16)不在曲线上设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0x303x0.f(x0)3(x201)，故切线的方程为yy03(x201)(xx0)注意到点A(0,16)在切线上，有16(x303x0)3(x201)(0x0)化简得x308，解得x02.切点为M(2，2)，切线方程为9xy160.18(2019北京文，18)设函数f(x)a3x3bx2cxd(a0)，且方程f(x)9x0的两个根分别为1,4.(1)当a3且曲线yf(x)过原点时，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(，)内无极值点，求a的取值范围
11、解析本题考查了函数与导函数的综合应用由f(x)a3x3bx2cxd得f(x)ax22bxcf(x)9xax22bxc9x0的两根为1,4.(1)当a3时，由(*)式得 ，解得b3，c12.又曲线yf(x)过原点，d0.故f(x)x33x212x.(2)由于a0，所以“f(x)a3x3bx2cxd在(，)内无极值点”等价于“f(x)ax22bxc0在(，)内恒成立”由(*)式得2b95a，c4a.又(2b)24ac9(a1)(a9)解 得a1,9，唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲
12、解“经籍”者，又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。而
13、对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。即a的取值范围1,9与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问示侄孙伯安诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。第 10 页
