1、2020 年全国普通高等学校统一招生考试（新课标 III 卷）押题猜想卷 数 学（文） 第 I 卷 选择题（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1已知集合 | 22Axx N ， 1,1,2,3B ，则AB （ ） A 1 B0,1 C0,1,2 D0,1,2,3 【答案】A 【解析】 | 220,1Axx N，因此，1AB. 故选：A. 2设 z=i(2+i)，则z=( ) A1+2i B1+2i C12i D12i 【答案】D 【解析】 2 i(2i)2ii1 2iz ， 所以1 2zi ，
2、选 D 3 九章算术中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.现有一阳马，其正视 图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( ) A6 B2 C6 D24 【答案】C 【解析】 如图所示，该几何体为四棱锥 PABCD底面 ABCD 为矩形， 其中 PD底面 ABCD AB1，AD2，PD1 则该阳马的外接球的直径为 PB 1 1 46 该阳马的外接球的表面积： 2 6 4()6 2 故选 C 4若 3 sin() 25 ，则 cos2=（ ） A 7 25 B 24 25 C 7 25 D 24 25 【答案】C 【解析】 由条件得
3、3 sincos 25 ， 2 2 37 cos22cos121 525 故选 C 5已知A箱子里装有 2 个白球、3 个黑球，B箱子里装有 1 个白球、2 个黑球，从这两个箱子里分别随机 摸出 1 个球，则恰有一个黑球的概率为( ) A 4 15 B 1 3 C 2 5 D 7 15 【答案】D 【解析】 恰有一个黑球分为两类：A中一黑球B中一白球，A中一白球B中一黑球. A中一黑球B中一白球的概率为 311 535 ， A中一白球B中一黑球的概率为 224 5315 ， 则所求概率为 7 15 P . 故选：D 6已知函数 f xxaxb（其中a b）的图象如图所示，则函数 logag x
4、xb的图象大致 是( ) A B C D 【答案】B 【解析】 法一：结合二次函数的图象可知，1a ，10b ，所以函数 logag xxb单调递增，排除 C，D； 把函数logayx的图象向左平移b个单位，得到函数 logag xxb的图象，排除 A，选 B. 法二：结合二次函数的图象可知，1a ，10b ，所以1a ，01b ，在 logag xxb中， 取0x，得 0log0 a gb，只有选项 B 符合， 故选 B. 7在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若 22 ()6cab，且 ,A C B成等差数列，则 ABC的面积是（ ） A 3 3 2 B 9 3 2 C3 D3
5、 3 【答案】A 【解析】 ,A C B成等差数列， 2CA B，又ABC， 3 C ， 22222 2coscababCabab， 又 2222 ()626cababab， 由得6ab， 1133 3 sin6 2222 ABC SabC ， 故选 A. 8已知圆 O： 22 1xy，直线l过点（-2，0） ，若直线l上任意一点到圆心距离的最小值等于圆的半径， 则直线l的斜率为（ ） A 3 3 B3 C 2 D 【答案】A 【解析】 由题意知所求直线的斜率存在，设为 k，直线 l 方程为 y=k（x2） ，即 kxy2k=0， 直线 l 上任意一点到圆心距离的最小值等于圆的半径， 圆心到直
6、线 l 的距离 d= 2 |-2 | 1 k k =1， 解得：k= 3 3 故答案为：A 9已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的一条渐近线截圆 22 :40C xyy为弧长之比为 1：2 的两部 分，则此双曲线的离心率等于（ ） A2 B 2 C3 D3 【答案】A 【解析】 圆的标准方程为 22 (2)4xy，所以圆心坐标为（0,2） ，半径为 2，且过原点. 因为双曲线的一条渐近线经过坐标原点，截圆 22 :40C xyy为弧长之比为 1：2 的两部分， 所以双曲线的一条渐近线y kx 的倾斜角为 3 ， 所以 2222222 3,3 ,3,3,4, b babacaa
7、ca a 所以 22 ( )4,4,2. c ee a 故答案为：A 10 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个引葭赴岸问题：今有池方一丈，葭生 其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？其意思为今有水池 1 丈见方（即10CD 尺） ，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为 1 尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.试 问水深、芦苇的长度各是多少？假设BAC，现有下述四个结论： 水深为 12 尺；芦苇长为 15 尺； 2 tan 23 ； 17 tan 47 . 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 【答案】B 【解析】 设BCx，则1AC
8、x， 5AB， 222 5(1)xx，12x . 即水深为 12 尺，芦苇长为 12 尺； 12 tan 5 BC AB ，由 2 2tan 2 tan 1 tan 2 = - ，解得 2 tan 23 （负根舍去）. 12 tan 5 ， 1tan17 tan 41tan7 . 故正确结论的编号为. 故选：B. 11设 f x， g x分别是定义在R上的奇函数和偶函数， 0g x ，当0x时， 0fx g xf x g x ，且30f ，则不等式 0 f x g x 的解集是（ ） A3,0 3, B3,00,3 C , 33, D, 30,3 【答案】D 【解析】 依题意有 2 0 f x
9、fxg xf xgx g x g x , f x g x 在( ) ,0-?上单调递增,因为 f x， g x分 别是定义在R上的奇函数和偶函数,故 f x g x 为奇函数,所以 f x g x 在区间( ) 0,+?上单调递增,且 33 0 33 ff ,结合 f x g x 图象可知,小于零位于30 3, U 点晴:构造函数法是导数题目中一个常用的方法,( )cos( )sinfxxf xx ,构造的函数是 cos f x F x x ,常见 的构造方法还还有:( )( )fx xf x 构造为 F xxf x；( )( )fx xf x 构造为 f x F x x ； ( )( ) x
10、 fx ef x构造为 x f x F x e ； fx g xf x g x构造为 f x g x . 12设A BCD， ， ， 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9 3，则三 棱锥DABC体积的最大值为( ) A12 3 B18 3 C24 3 D54 3 【答案】B 【解析】 如图所示， 点 M 为三角形 ABC 的中心，E 为 AC 中点， 当DM 平面ABC时，三棱锥DABC体积最大 此时，ODOBR4 2 3 9 3 4 ABC SAB AB6, 点 M 为三角形 ABC 的中心 2 BM2 3 3 BE Rt OMB中，有 22 OM2OBBM
11、DMOD OM4 26 max 1 9 3618 3 3 D ABC V 故选 B. 第 II 卷 非选择题部分（共 90分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分. 13若向量1,2a r ，2,bm r ，且(2 )aba，则m_. 【答案】 1 4 【解析】 2( 3,22 )abm ， (2 )aba，(2 )3440abam ， 1 4 m 故答案为： 1 4 14如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动 员在这五场比赛中得分的方差为 【答案】6.8 【解析】 得分的平均分为 89 10 13 15 11 5 x , 方差 22222 2
12、 1 8 119 1110 1113 1115 116.8 5 s . 15已知x y， 满足 20 0 30 xy y xy ，则 2zxy 的取值范围是_. 【答案】0 5， 【解析】 首先画出不等式组表示的可行域，如图OAB， 令0z ，画出初始目标函数20xy，然后平移到点B取得最大值 20 30 xy xy ，解得： 1,2xy ， max 1 2 25z . 当目标函数过点0,0时，取得最小值， min 02 00z ， 2zxy 的取值范围是0,5. 故答案为：0,5 16已知定义在R上的奇函数 f x满足 2f xf x ，且当 (?1,0)x)时 1 ( )2 5 x f x
13、 ，则 220 f log_. 【答案】1 【解析】 因为 yf x是定义在R上的函数，且 2f xf x， 所以 24f xf xf x， 所以两数 f x是周期为 4 的函数. 又由 222 41620325logloglog， 得 22222 5 202042016 4 f logf logf loglogflog 又因为函数 f x是奇函数，所以 22 55 loglog. 44 ff 又当1,0x 时， 1 2, 5 x fx 所以 2 5 log 4 2 51 log21 45 f 所以 222 55 log 20loglog1 44 fff 故答案为：1. 三、解答题：共 70
14、分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1721 题为必考题，每个 考生都必须作答.22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S， 36 4,27aS. （1）求 n a的通项公式； （2）设2 n a n b ，记 n T为数列 n b的前 n 项和.若124 m T ，求m. 【答案】 （1）1 n an； （2）5m； 【解析】 （1）设 n a的首项为 1 a，公差为d， 由已知得 1 1 24 61527 ad ad ，解得 1 2 1 a d . 所以 1 11 n aandn. （2
15、）因为2 n a n b ，由（1）可得 1 2n n b ， n b是首项为 4，公比为 2 的等比数列， 则 4 1 2 4 21 1 2 n n n T . 由124 m T ，得4 21124 m ， 解得5m. 18海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量 各箱水产品的产量（单位：kg）得频率分布直方图如下： （1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产 量不低于50kg，估计A的概率； （2）填写下面22列联表，并根据联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱产量
16、50kg 箱产量50kg 旧养殖法 新养殖法 附： 2 2 n adbc K abcdacbd 2 P Kk 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01） 【答案】 （1）0.4092（2）填表见解析，有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关（3）52.35 kg 【解析】 （1）记B表示事件旧养殖法的箱产量低于50kg，C表示事件新养殖法的箱产量不低于50kg，由题意 知 P AP BCP B P C ， 旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为0.0120.0140.0240.
17、0340.04050.62 ，故 P B的估 计值为 0.62. 新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为0.068 0.0460.0100.00850.66 ， 故 P C的估计值为 0.66. 因此事件A的概率估计值为0.620.660.4092. （2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量50kg 箱产量50kg 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66 2 2 20062 6634 38 15.705 100 100 96 104 K . 由于15.7056.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关. （3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图
18、面积为 0.0040.0200.04450.340.5 ， 箱产量低于55kg的直方图面积为0.0040.0200.0440.06850.680.5 ， 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 0.50.34 5052.35 kg 0.068 . 19如图所示的等腰梯形 ABCD 中，/ABCD， 1 2 ABADBCCDa，E 为 CD 中点若沿 AE 将三角形 DAE 折起，并连接 DB，DC，得到如图所示的几何体 D-ABCE，在图中解答以下问题： （1）设 G 为 AD 中点，求证：/DC平面 GBE； （2）若平面DAE 平面 ABCE，且 F 为 AB 中点，求证：DFAC 【答案】
19、（1）证明见解析； （2）证明见解析 【解析】 （1）连接 AC 交 BE 于点 O，连接 OG. 因为/ABCD， 1 2 ABADBCCDa， E 为 CD 中点 所以ABCE，即四边形ABCE为平行四边形 所以O为AC的中点 因为G分别为AD的中点， 所以/OG DC， 又因为OG 平面 GBE，DC 平面 GBE， 所以/DC平面 GBE； （2）取 AE 中点 H，连接,DH FH. 因为,F H分别为,AB AE中点，所以/FH BE， 易知，四边形 ABCE 为菱形，所以ACBE， 所以ACFH， 又因为DADE，H 为 AE 中点， 所以DHAE， 又平面DAE 平面 ABCE
20、， 所以DH 平面 ABCE， 所以DHAC， 又因为DHFHH， 所以AC 平面 DFH，则DFAC. 20已知点P在圆O： 22 6xy上运动，点P在x轴上的投影为Q，动点M满足 133OQOPOM （1）求动点M的轨迹E的方程； （2）过点2,0的动直线l与曲线E交于A、B两点，问：在x轴上是否存在定点D使得 2 DA AB DA 的 值为定值？若存在，求出定点D的坐标及该定值；若不存在，请说明理由 【答案】 （1） 22 1 62 xy ； （2）存在定点 7 ,0 3 D ，使得 2 DA AB DA 的值为定值 5 9 【解析】 （1）由133OQOPOM，得3PQMQ， 设,M
21、x y， 00 ,P x y， 0,0 Q x， 则 00 0,3,yxxy， 0 xx， 0 3yy， 代入圆O： 22 6xy，可得 22 36xy，即 22 1 62 xy 动点M的轨迹E的方程为 22 1 62 xy ； （2）设直线l的方程为2xmy，设点 11 ,A x y、 22 ,B x y， 联立 22 2 1 62 xmy xy ，消去x得， 22 3420mymy ， 12 2 4 3 m yy m ， 12 2 2 3 y y m ， 假设在x轴上存在定点,0D t使得 2 DA ABDA 的值为定值， 而 1111 ,2,DAxt ymyt y， 22 2,myByD
22、t， 2 DA ABDADAABDADA DB 1212 22mytmyty y 2 2 1212 122my ymtyyt 22 2 22 22 2142 4102 22 33 mmt tm tt mm 为定值， 则 2 410 3 t ，解得 7 3 t ， 且此时 2 725 2 339 DA DB 因此，在x轴上存在定点 7 ,0 3 D ，使得 2 DA ABDA 的值为定值 5 9 21已知函数 ln 1f xaxxax. （1）函数 f x在1x 处的切线l过点22，求l的方程； （2）若 * Na且函数 f x有两个零点，求a的最小值. 【答案】 （1）22yx 即220xy；
23、 （2）8. 【解析】 （1）因为 ln10f xaxxaxx， 所以 1 lnln2fxaxaxaaxa x ， 所以 12fa又 11fa， 所以 f x在1x 处切线l方程为121yaa x， 即21yaxa. 又因为直线l过点22，所以得241aa 即1a. 所以直线l方程为22yx 即220xy. （2）因为 ln2ln2fxaxaax. 令 0fx 得ln2x即 2 xe， 因为 * aN所以0a， 所以当 2 0xe时， 0fx ，当 2 xe时， 0fx ， 则 f x在 2 0e，上单调递减，在 2 e，上单调递增， 所以 22 min 1f xf eae . 因为 f x有
24、两个零点，所以 min0f x即 2 10ae得 2 ae， 又因为 110fa ， 1111 ln1 aaaa faa eeee 2 2 1 1 a aaa aa eaa eee . 设 2 1 a g aeaa a 则 2 a gaea，因为 g a在1 ，上单调递增， 所以 0g a ，所以 g a在1 ，单调递增， 所以 10g age. 又 1 0 a e ，所以 1 0 a f e ， 故 f x在 2 11 a ee ， 上有一个零点，在 2 1 1 e ，上有一个零点， 即 f x在0 ，上有两个零点， 则 2 ae又 * aN且 2 739e ， 所以a得最小值为 8. （二
25、）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在请考生在 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分. 22在直角坐标系xOy中，已知曲线 1 C的参数方程为 2cos 32sin x y （是参数） ，以O为极点，以x轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin2 2 4 （1）求曲线 1 C和曲线 2 C的普通方程； （2）曲线 2 C与x轴交点P，与曲线C交于点,A B两点，求 11 PAPB 的值. 【答案】 （1）曲线 1 C的普通方程 2 2 34xy，曲线 2 C的普通方程4xy， （2） 2 3 【
26、解析】 （1）消去参数后可得曲线 1 C的普通方程为 2 2 34xy； 由sin2 2 4 可得 22 sincos2 2 22 ， 即sincos4，由 sin cos x y 可得曲线 2 C的曲线方程为4xy； （2）由题意可知点4,0P，则直线 2 C的参数方程可写为 2 4 2 2 2 xt yt ， 代入 2 2 34xy得 2 7 2210tt ，140， 7 20 AB tt，210 A B t t ， 所以 1111117 22 213 AB ABABA B tt PAPBttttt t . 23已知( ) |2 1|1|f xxx. （1）求不等式( ) 9f x 的解集
27、； （2）设( )9 |1|24|g xxx ，在同一坐标系内画出函数 ( )f x和( )g x的图象，并根据图象写出不等 式( )( )f xg x的解集. 【答案】 （1） | 33xx 剟（2）作图见解析；不等式的解集为 | 12xx 剟 【解析】 （1） 3 ,1 1 ( )2112,1 2 1 3 , 2 x x f xxxxx xx ， 当1x时，39x，得13x剟； 当 1 1 2 x时，29x，解得7x，故 1 1 2 x； 当 1 2 x时，39x，解得3x，故 1 3 2 x剟. 综上，原不等式的解集为 | 33xx 剟. （2） 36,1 ( )91244,12 312,2 xx g xxxxx xx ， 在同一坐标系内画出函数 ( )f x和( )g x的图象， 由图可知，不等式( )( )f xg x的解集为 | 12xx 剟.
