1、 北京四中 2019-2020 学年度第二学期开学考试高三测试 数学试题 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1. 已知集合 2 |20Ax xx，0,1,2B ，则AB （ ） A. 0 B. 0,1 C. 0,2 D. 0,1,2 2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标为2, 1，则1 i z等于（ ） A. 3 i B. 2 i C. 1 i D. 1 i 3. 已知数列 n a， 2 1a ， 1 2 nn aan ， * nN，则 13 aa的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 4. 已知, a bR，则“ab”是“ 22 logloga
2、b”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，如图所示的是一位猎 人记录自己采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，猎人采 摘的果实的个数（用十进制表示）是（ ） A. 492 B. 382 C. 185 D. 123 6. 设 f x是定义在R上的奇函数，且 3 2 fxf x ，当10x 时， 3 log63f xx.则 2020f 的值为（ ） A. -1 B. -2 C. 1 D. 2 7. 已知椭圆C： 22 22
3、10 xy ab ab 的左、 右焦点为 1 F、 2 F， 离心率为 3 3 ， 过 2 F的直线l交C于A、 B两点，若 1 AFB的周长为4 3，则C的方程为（ ） A. 22 1 32 xy B. 2 2 1 3 x y C. 22 1 128 xy D. 22 1 124 xy 8. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ） A. 2 3 B. 4 3 C. 8 3 D. 3 9. 有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时自身分裂为 2 个，现有一个这样的细菌 和 200 个病毒，则细菌将病毒全部杀死至少需要（ ） A. 6 秒钟 B. 7 秒钟 C. 8
4、秒钟 D. 9 秒钟 10. 已知点1, 2A，2,0B，P为曲线 2 3 3 4 yx上任意一点，则AP AB的取值范围为（ ） A. 1,7 B. 1,7 C. 1,32 3 D. 1,32 3 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11. 直线310xy 的倾斜角大小为 . 12. 已知 f x， g x分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且 32 1f xg xxx，则 11fg . 13. ABC中，若面积为 6，5c ， 4 tan 3 A，则a的值为 . 14. 设函数 2 , ln , x xxa f x x xa ， 若1a ，则 f x的零点的个数为
5、 . 若 f x的值域为1, ，则实数a的取值范围是 . 15. 已知向量 1 e， 2 e是平面内的一组基向量，O为内的定点， 对于内任意一点P， 当 12 OPxeye 时，则称有序实数对, x y为点P的广义坐标.若点A、B的广义坐标分别为 11 ,x y， 22 ,xy，关于下列 命题： 线段A、B的中点的广义坐标为 1212 , 22 xxyy ； A、B两点间的距离为 22 1212 xxyy； 向量OA平行于向量OB的充要条件是 1221 x yx y； 向量OA垂直于OB的充要条件是 1212 0x xy y. 其中的真命题是 .（请写出所有真命题的序号） 三、解答题（本大题共
6、 85 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16. 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA 平面ABCD，E为PD的中点. （1）证明：/PB平面AEC； （2）已知1AP ，3AD ，2AB ，求二面角DAEC的余弦值. 17. 为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公 司各随机抽取一名快递员， 并从两人某月 （30 天） 的快递件数记录结果中随机抽取 10 天的数据， 制表如图： 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件 4.5 元；乙公司规定每天 35 件以 内（含 35 件）的部分每件 4
7、 元，超出 35 件的部分每件 7 元. （）根据表中数据写出甲公司员工A在这 10 天投递的快递件数的平均数和众数； （）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这 10 天中随机抽取 1 天， 他所得的劳务费记为X （单位：元） ，求X的分布列和数学期望； （）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费. 18. 在 2 11 390 nnn n aa aa ， 22 1 3 nn aa ， 2 22 n nnS 这三个条件中任选一个，补充在 下面问题中. 已知：数列 n a的前n项和为 n S，且 1 1a ， . 求：对大于 1 的自然数n，是否存在大于 2 的自然数m，使
8、得 1 a， n a， m a成等比数列.若存在，求m的最 小值；若不存在，说明理由. 19. 已知函数 1 ln0f xaxa x . （）若1a ，求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程； （）求函数 f x的单调区间； （）若 |0x f x 且 |00,1x f x ，求实数a的取值范围. 20. 已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 过点 0, 3，且离心率为 1 2 .设A，B为椭圆C的左、右顶点， P为椭圆上异于A，B的一点，直线AP，BP分别与直线l：4x相交于M，N两点，且直线MB与 椭圆C交于另一点H. （）求椭圆C的标准方程； （）求证：直线AP与BP的斜
9、率之积为定值； （）判断三点A，H，N是否共线，并证明你的结论. 21. 若数列 12 ,2 nn Aa aan满足 1 11,2,1 kk aakn ，数列 n A为E数列，记 12nn S Aaaa. （）写出一个满足 15 0aa，且 5 0S A的E数列 5 A； （）若 1 13a ，2008n，证明：E数列 n A是递增数列的充要条件是2020 n a ； （）对任意给定的整数2n n，是否存在首项为 0 的E数列 n A，使得0 n S A？如果存在，写出一 个满足条件的E数列 n A；如果不存在，说明理由. 参考答案 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40
10、分） 1-5：CAABD 6-10：BACCA 1. 2 |200,2Ax xx，0,1,2B ， 0,2AB . 故选：C. 2. 由已知得，2zi， 1123i ziii . 故选：A. 3. 数列 n a， 2 1a ， 1 2 nn aan ， * nN， 可得 12 2aa， 23 4aa， 解得 1 1a ， 3 3a ， 13 4aa. 故选：A. 4. 22 loglogab， 0ab， “ab”是“ 22 loglogab”的必要不充分条件， 故选：B. 5. 由题意满六进一，可得该图示为四进制数， 化为十进制数为 32 1 43 42 43123 . 故选：D. 6. f
11、x是奇函数， f x关于0,0对称， 又 3 2 fxf x ， f x关于 3 4 x 对称， 函数 f x的一个周期为 3 403 4 ， 20201 3 67311ffff 3 log 92 . 故选：B. 7. 1 AFB的周长为4 3， 1 AFB的周长 1212 224AFAFBFBFaaa， 44 3a ， 3a ， 离心率为 3 3 ， 3 3 c a ，1c， 22 2bac， 椭圆C的方程为 22 1 32 xy . 故选：A. 8. 该三视图还原成直观图后的几何体是如图的四棱锥， 红色线四棱锥A BCDE为三视图还原后的几何体， CBA和ACD是两个全等的直角三角形：2A
12、CCDBC， 几何体的体积为： 18 2 2 2 33 ， 故选：C. 9. 231 12222200 n ， 1 2 200 1 2 n ， 2201 n ， 解得8n， 即至少需 8 秒细菌将病毒全部杀死， 故选：C. 10. 设,P x y则由 2 3 3 4 yx可得 22 10 43 xy y， 令2cos3sinxy，0,， 1,2APxy，1,2AB ， 12423AP ABxyxy 2cos2 3sin34sin3 6 ， 0， 7 666 ， 1 sin1 26 ， 14sin37 6 ， 故选：A. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11. 3
13、0 12. 1 13. 4 14. 2， 1 , e 15. 11. 直线310xy 化为斜截式为 33 33 yx， 故直线的斜率是 3 3 ， 直线的倾斜角满足 3 tan 3 ， 结合0 ,180，可得30. 故答案为：30. 12. 由 32 1f xg xxx，将所有x替换成x，得 32 1fxgxxx， f x， g x分别是定义在R上的偶函数和奇函数， f xfx， gxg x， 即 32 1f xg xxx， 再令1x ，得 111fg. 故答案为：1. 13.【解答】解： 4 tan0 3 A ，0, 2 A ， 4 sin 5 A ， 3 cos 5 A， 114 sin5
14、6 225 SbcAb ， 3b， 由余弦定理得： 222 3 cos 25 bca A bc ， 4a， 故答案为：4. 14. 当1x时，令 20f xx x，解得0x或2x，此时函数 f x有两个零点； 当1x 时，令 ln0f xx，解得1x （舍） ，此时函数 f x无零点； 综上，当1a 时，函数 f x有 2 个零点； 作出函数2yx x及函数lnyx的图象如下图所示， 由图象可知，若 f x的值域为1, ，则实数a的取值范围是 1 , e . 故答案为：2， 1 , e . 15. 根据题意得，由中点坐标公式知正确； 只有平面直角坐标系中两点间的距离公式 B 才正确，未必是平面
15、直角坐标系因此错误； 由向量OA与OB平行的充要条件是OAkOB， 即 1122 ,x yk x y， 1221 0x yx y， 因此正确； OA与OB垂直的充要条件为0OA OB，即 1 1122212 0x eyxyeee； 22 1 2 1122122112 0x x ey y ex yx y e e，因为 1 e， 2 e未必垂直，也未必是单位向量，因此错误； 故答案为：. 三、解答题（本大题共 85 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（1）证明：连接BD交AC于点O，连接OE， E为PD中点，O为BD中点， /PBOE， PB不在平面AEC内，OE在平面AEC内
16、， /PB平面AEC； （2）以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐 标系Axyz， 则0,0,0A， 0, 3,0D， 3 1 0, 22 E ， 2, 3,0C， 则 3 1 0, 22 AE ， 0, 3,0AD ， 2, 3,0AC ， 设平面AEC的一个法向量为, ,mx y z，则 31 0 22 230 m AEyz m ACxy ，可取 3,2, 2 3m ， 易知平面DAE的一个法向量为2,0,0AB ， 设二面角DAEC的平面角为，则 2 357 cos 19234 12 m AB m AB ， 显然二面角DAEC的平面角为
17、锐角， 故二面角DAEC的余弦值为 57 19 . 17.（）甲公司员工A投递快递件数的平均数为： 1 3233333835363933414036 10 x 众数为 33. （）设a为乙公司员工B投递件数，则 当34a时，136X 元，当35a时，35 4357Xa 元， X的可能取值为 136，147，154，189，203， 1 (136) 10 P X ， 3 (147) 10 P X ， 2 (154) 10 P X ， 3 (189) 10 P X ， 1 (203) 10 P X ， X的分布列为： X 136 147 154 189 203 P 1 10 3 10 2 10 3
18、 10 1 10 1323 ()136147154189 10101010 E X 11655 203165.5 1010 （元）. （）根据图中数据，由（）可估算： 甲公司被抽取员工该月收入36 4.5 304860元， 乙公司被抽取员工该月收入165.5 304965元. 18. 由 1 1a ， 22 1 3 nn aa ，即 22 1 3 nn aa ， 可得数列 2 n a是首项为 1，公差为 3 的等差数列， 则 2 1 3132 n ann ， 假设对大于 1 的自然数n，存在大于 2 的自然数m，使得 1 a， n a， m a成等比数列， 可得 2 1nm aa a，即323
19、2nm， 两边平方可得 2 22 22 32(32)3 3423 3 33 mnnnn ， 由 2 342f nnn在1n ，且 * nN递增，可得2n时， f n取得最小值 6， 可得此时m取得最小值 6， 故存在大于 2 的自然数m，使得 1 a， n a， m a成等比数列，且m的最小值为 6. 19.（）若1a ，则 1 lnfxx x ，故 2 11 fx xx ， 11f， 10f， 所求切线方程为1y ； （）函数的定义域为0,， 22 11 aax fx xxx ， 当0a时， 0fx ，函数 f x在0,上单调递减， 当0a时，令 0fx 得 1 x a ，令 0fx 得 1
20、 0x a ，故函数 f x在 1 0, a 单调递减，在 1 , a 单调递增； （）当 a0a时，函数 f x在0,上单调递减， 又 111 1 1 ln10 aaa a feaee e ，而 1 0,1 a e ，不合题意； 当0a时，由（）可知， min 1 1 lnf xfaa a ， （i）当 1 1 ln0faa a ，即0ae时， |0x f x ，不合题意； （ii）当 1 1 ln0faa a ，即ae时， 1 |00,1x fx e ，满足题意； （iii）当 1 1 ln0faa a ，即ae时，则 1 01 a ， 110f ，函数 f x在 1 , a 单调递增，
21、当1x时， 0f x ， 又函数的定义域为0,， |00,1x f x ，满足题意. 综上，实数a的取值范围为, e . 20.（）根据题意可知 222 3 1 2 b c a abc 解得 2 3 1 a b c 所以椭圆C的方程 22 1 43 xy ； （）根据题意，直线AP，BP的斜率都存在且不为零.2,0A ，2,0B， 设 00 ,P x y，则 22 00 0 122 43 xy x . 则 2 000 2 000 224 APBP yyy kk xxx ， 因为点P在椭圆上，则 22 00 1 43 xy ，所以， 2 2 0 2 0 0 3 4 3 1 44 x x y ，
22、所以 2 2 0 0 22 00 3 4 3 4 444 APBP x y kk xx ， 所以直线AP与BP的斜率之积为定值 3 4 ； （）三点A、H、N共线.证明如下： 设直线AP的方程为20yk xk，则直线BP的方程为 3 2 4 yx k ， 所以，4,6Mk， 3 4, 2 N k ， 6 3 42 BM k kk ， 设直线HM：32yk x， 联立方程组 22 3 (2) 1 43 yk x xy ，消去y整理得， 2222 1 12484840kxk xk. 设 11 ,H x y，则 2 1 2 484 2 121 k x k ，所以 2 1 2 242 121 k x
23、k ， 11 2 12 32 121 k yk x k . 所以 2 22 24212 , 121121 kk H kk ， 因2,0A 、 3 4, 2 N k ， 3 1 2 64 AN k k k ， 2 2 2 12 1 121 2424 2 121 AH k k k kk k ， 所 ANAH kk，所以三点A，H，N共线. 21.（）0，1，0，1，0 是一个满足条件的E数列 5 A. （）必要性：因为E数列 n A是递增数列， 所以 1 11,2,2007 kk aak ， 所以 n A是首项为 13，公差为 1 的等差数列. 所以 2008 132008 112020a ， 充
24、分性：由于 20082007 1aa， 20072006 1aa， 21 1aa， 所以 20081 2003aa，即 20081 2003aa， 又因为 1 13a ， 2008 2020a， 所以 20081 2003aa， 故 1 101,2,2007 kk aak ，即 n A是递增数列. 综上所述，结论成立. （）设 1 1,2,1 kkk caakn ，则1 k c ， 因为 211 aac， 3112 aacc， 1121nn aaccc ， 所以 11231 123 nn S Anancncncc 121 12111121 n nncncnc 121 1 11121 2 n n
25、 n cncnc ， 因为1 k c ，所以1 k c为偶数（1,2,1kn） 所以 121 11121 n cncnc 为偶数， 所以要使0 n S A，必须 1 2 n n 使为偶数， 即 4 整除1n n，亦即4nm或 * 41nmmN， 当 * 4nm mN时，E数列 n A的项满足 4141 0 kk aa ， 42 1 k a ， 4 11,2,1 k akn， 此时，有 1 0a 且0 n S A成立， 当 * 41nmmN时，E数列 n A的项满足 4141 0 kk aa ， 42 1 k a ， 4 11,2,1 k akn， 41 0 m a 时，亦有 1 0a 且0 n S A成立， 当42nm或 * 43nmmN时，1n n不能被 4 整除，此时不存在数列数列 n A，使得 1 0a 且 0 n S A成立.
