1、 非凡联盟 2018-2019 学年高三年级调研考试 数学（文）卷 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 2 10Ax xx，3Bx x，则 BA （ ） A1,3 B1,3 C,3 D 1,30 2已知i为虚数单位，且复数z满足1 2i3 4iz，则
2、复数z （ ） A12i B12i C2i D2i 3已知 1 sin 2 ，则 3 sin2 2 （ ） A 3 2 B 3 2 C 1 2 D 1 2 4在等腰三角形ABC中，点D是底边AB的中点，若1,2AB ，2,CDt，则CD （ ） A5 B5 C2 5 D20 5某外卖企业抽取了阿朱、阿紫两位员工今年 3 月某 10 天日派送外卖量的数据（单位：件） ，如茎叶图所 示针对这 10 天的数据，下面说法错误的是（ ） A阿朱的日派送量的众数为 76 B阿紫的日派送量的中位数为 77 C阿朱的日派送量的中位数为 76.5 D阿紫的日派送外卖量更稳定 6已知双曲线C： 22 2 1 9
3、xy a （0a）的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，一条渐近线与直线430xy垂 直，点M在C上，且 2 6MF ，则 1 MF （ ） A2 或 14 B2 C14 D2 或 10 7设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 27813 2 21 aaaa ，则 14 tanS（ ） A 3 3 B 3 3 C3 D3 8已知函数 f x满足 32 2 x fxx ，则曲线 yf x在点1,1f处的切线的斜率为（ ） A8 B16 C8 D16 9某组合体的正视图和侧视图如图（1）所示，它的俯视图的直观图是图（2）中粗线所表示的平面图形， 其中四边形OABC 为平行四边形， D 为 C
4、B 的中点， 则图 （2） 中平行四边形OABC 的面积为 （ ） A12 B3 2 C6 2 D6 10 将函数 2sin1g xx的图象向左平移 3 个单位， 再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 1 2（纵 坐标不变） ， 得到函数 f x的图象， 若 12 3f xf x， 且 21 xx， 则 12 2xx的值为 （ ） A B 2 C 5 6 D 23 12 11在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中B为钝角，且满足2b， 3 sincos2baAbA，若点D与点B在AC的两侧，且A，B，C，D四点共圆，则四边形ABCD 面积的最大值为（ ） A 33 3 24
5、B3 3 C 4 3 3 D2 3 12已知定义在R上的函数 f x的导函数为 fx，1f x的图象关于点1,0对称，且对于任意的 实数x，均有 ln2 fx f x 成立，若22f ，则不等式 1 2xf x 的解集为（ ） A2, B2, C, 2 D,2 二、填空题：本题共 4 小题 13函数 2019 2020 x af x （0a且1a ）的图象过定点A，则点A的坐标为_ 14已知实数x，y满足约束条件 2 1 22 y xy yx ，则3zxy的最小值为_ 15十五巧板，又称益智图，为清朝浙江省德清知县童叶庚在同治年间所发明，它能拼出草木、花果、鸟 兽、鱼虫、文字等图案十五巧板由十
6、五块板组成一个大正方形（如图 1） ，其中标号为 2，3，4，5 的小板 均为等腰直角三角形，图 2 是用十五巧板拼出的 2019 年生肖猪的图案，则从生肖猪图案中任取一点，该点 恰好取自阴影部分中的概率为_ 16已知在三棱锥PABC中，侧面PAC 底面ABC，ABBC，2ABBC，5APPC， 则三棱锥PABC的外接球的表面积为_ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作 答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 17已知数列 n a满足 1 0a ，且 1 12 nn aa （n N） （1）求证：数列1 n a
7、 为等比数列； （2）求数列 n a的前n项和 n S 18如图，四边形ABCD是等腰梯形，且/AB CD，60ABC，1ADDCCBCF，四边形 ACFE是矩形，CFAB，点M为EF上的一动点 （1）求证：AMBC； （2）分别记四棱锥BAMFC与三棱锥MADE的体积为 1 V， 2 V，当点M为EF的中点时，求 1 2 V V 的 值 19随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每个人每日健步的步数，从 而为科学健身提供一定的帮助 某市工会为了解该市市民每日健步走的情况， 从本市市民中随机抽取了 2000 名市民（其中不超过 40 岁的市民恰好有 1000 名） ，
8、利用手机计步软件统计了他们某天健步的步数，并将样 本数据分为3,5，5,7，7,9，9,11，11,13，13,15，15,17，17,19，19,21九组（单位： 千步） ，将抽取的不超过 40 岁的市民的样本数据绘制成频率分布直方图如右，将 40 岁以上的市民的样本数 据绘制成频数分布表如下，并利用该样本的频率分布估计总体的概率分布 分组 （单位：千步） 3,5 5,7 7,9 9,11 11,13 13,15 15,17 17,19 19,21 频数 10 20 20 30 400 200 200 100 20 （1）现规定，日健步步数不低于 13000 步的为“健步达人” ，填写下面列
9、联表，并根据列联表判断能否有 999%的把握认为是否为“健步达人”与年龄有关； 健步达人 非健步达人 总计 40 岁以上的市民 不超过 40 岁的市民 总计 （2）利用样本平均数和中位数估计该市不超过 40 岁的市民日健步步数（单位：千步）的平均数和中位数； （3）若日健步步数落在区间2 ,2xs xs内，则可认为该市民“运动适量” ，其中x，s分别为样本平 均数和样本标准差，计算可求得频率分布直方图中数据的标准差s约为 3.64若一市民某天的健步步数为 2 万步，试判断该市民这天是否“运动适量”？ 参考公式： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中na b cd 参考数据： P（
10、 2 0 Kk） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 20已知斜率为 1 的直线交抛物线C： 2 2ypx（0p ）于A，B两点，且弦AB中点的纵坐标为 2 （1）求抛物线C的标准方程； （2）记点1,2P，过点P作两条直线PM,PN分别交抛物线C于M，N（M，N不同于点P） 两点， 且MPN的平分线与y轴垂直，求证：直线MN的斜率为定值 21已知函数 2 ee x aaxf xx （1）当0a时，求函数 f x的极值； （2）若函数 f x在区间0,1内存在零点，求实数a的取值范围
11、 （二）选考题：请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy中， 直线l的参数方程为 2 2 2 2 2 xt yt （t为参数） ， 圆C的参数方程为 cos sin x y （为参数） （1）求直线l与圆C的普通方程； （2）记直线l与y轴的交点为A，点B为圆C上的动点，求线段AB的中点P的轨迹方程 23 【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数 24f xxx （1）求不等式 f xx的解集； （2）记 f x的最大值为t，正数a，b满足66abt，求证： 18 28 log1 ab 非凡联盟 20
12、18-2019 学年高三年级调研考试 文科数学参考答案 1 【答案】A 【解析】,1A ，,3B ，故1,3 BA 2 【答案】A 【解析】 34i5 1 2i5 1 2i 1 2i1 2i5 z 3 【答案】C 【解析】 2 31 sin2cos22sin1 22 4 【答案】A 【解析】由题意知ABCD，1 2 20t ，1t ， 2 2 215CD 5 【答案】D 【解析】 阿朱的日派送量中， 只有 76 出现 2 次， 其他数只出现 1 次， 故众数为 76， A 正确； 计算可得阿朱、 阿紫的日派送量的中位数分别为 765、77，B、C 正确，阿朱日派送外卖量波动较小，D 错误 6
13、【答案】C 【解析】由题意知 33 4a ，故4a，5c 由 2 69MFac ，知点M在C的右支上，由双曲线 的定义知 12 28MFMFa，所以 1 14MF 7 【答案】D 【解析】 114 1478 14 7 23 aa Saa ， 14 tantan3 3 S 8 【答案】B 【解析】 32 2 x fxx ， 32 84f xxx， 2 248xxxf，116f 9 【答案】B 【解析】由图易知，该几何体为一个四棱锥（高为2 3，底面是长为 4，宽为 3 的矩形）与一个半圆柱（底 面圆半径为 2，高为 3）的组合体，所以其俯视图的外侧边沿线组成一个长为 4，宽为 3 的矩形，其面积
14、为 12，由斜二测知识可知平行四边形OABC 的面积为 3 4sin453 2 2 10 【解析】D 【 解 析 】 易 求 得 2sin 21 3 f xx ， 若 12 3f xf x， 即s i n21 3 x ， 则 22 32 xk （kZ） ， 12 xk （kZ） ，由 1 x， 2 ,x ，得 2 11 12 x ， 1 12 x ， 则 12 1123 22 121212 xx 11 【答案】C 【解析】由3 sincos2baAbA，得1 cos23 sinbAaA， 2 2 sin3 sinbAaA，由正弦定 理得 22 2sinsin3sinBAA， 3 sin 2 B
15、 ，又B为钝角， 2 3 B ，又A，B，C，D四点共圆， 3 D 由余弦定理得 22222 2cos2ACADDCAD DCDADDCAD DAD DC AD DCAD DC， 即 2 A DD CA C 同 理 2 3A CA BB C， 即 2 1 3 A BB CA C， 2 11 sinsin3 223 ADC SAD DCDAC ， 2 113 sinsin 2633 ABC SAB BCBAC 四边 形ABCD面积的最大值为 34 3 3 33 12 【答案】D 【解析】由1f x的图象关于点1,0对称，得 f x为奇函 数 ln20 ln2 fx f xfxf x 令 2x f
16、 x g x ，则 2 2 2 2ln 2 x x x fx x f x g ln 2 0 2x fxfx ， 则 g x在, 上 单 调 递 减 ， 由22f ， 得 22f ， 21 2 42 f g 1 1 22 22 x x f x f xg xg ，所以2x 13 【答案】2019,2021 【解析】令20190x，得2019x，2021y ，故2019,2021A 14 【答案】5 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，当直线3zxy经过点A时，z取得最小值，由 2 1 y xy ， 得1,2A ，故 min 1 325z 15 【答案】 4 9 【解析】设图 1 中大正方形的边长
17、为 6，则大正方形的面积为36S ，由图 2 可知，阴影部分中的图案是 由图 1 中的标号为 4，5，15，3，13 组成的，其中标号为 4 与 5 的图案组成一个边长为 2 的正方形，其面 积为 4；标号为 15 的图案可视为长为 4、宽为 2 的长方形面积一半，即面积为 4；标号为 3 的三角形面积为 1 4 24 2 ，标号为 13 的图案可视为长为 4，宽为 2 的长方形面积一半，即面积为 4；所以阴影部分面积 为4 416S 阴影 由几何概型的概率公式得所求概率为 164 369 S P S 阴影 16 【答案】 25 3 【解析】如图，设三棱锥PABC的外接球的球心为O，半径为r，
18、AC的中点为D由侧面PAC 底 面ABC，得PD 底面ABC，又ABBC，所以球心O在PD上，易求得3PD ，2BD 由 222 ODDBOB，得 22 2 32rr，解得 5 3 6 r ，所以球O的表面积 2 25 4 3 Sr 7证明： （1） 1 12 nn aa ， 1 121 nn aa ， 又 1 1 1a ， 数列1 n a 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列 （2）由（1）知， 11 1 1122 nn n aa ， 1 21 n n a 0121 123 21212121 n nn Saaaa 0121 2222nn 21 n n 18解： （1）证明：在等腰梯形ABC
19、D中， /AB CD，60DABABC ， 120ADCDCB ， 又ADDC，30DACDCA 90ACB，30CAB BCAC 四边形ACFE是矩形， CFAC， 又CFAB，ABACA， CF 平面ABCD CFBC BCAC，ACCFC， BC 平面ACFE AM 平面ACFE， AMBC （2）易求得3EFAC，所以 3 2 MFME， 1 11133 31 1 32624 VMFACCF BC 2 111313 sin301 3262224 MADED AME VVVAE ME AD 1 2 6 V V 19解： （1）列联表为 健步达人 非健步达人 总计 40 岁以上的市民 52
20、0 480 1000 不超过 40 岁的市民 400 600 1000 总计 920 1080 2000 2 2 2000520 600480 400 2910.828 920 1080 1000 1000 K ， 所以有 99.9%的把握认为是否为“健步达人”与年龄有关 （2）样本平均数为 4 0.04 6 0.06 8 0.10 10 0.10 12 0.3 14 0.2x 16 0.1 18 0.08 20 0.02 12.16， 由前 4 组的频率之和为0.04 0.06 0.10 0.100.30， 前 5 组的频率之和为 0.30 0.300.6， 知样本中位数落在第 5 组，设样
21、本中位数为t，则110.150.5 0.3t， 37 3 t 故可以估计，该市不超过 40 岁的市民日健步步数的平均数为 12.16，中位数为 37 3 （3）2 ,24.88,19.44xs xs， 而 2 万步恰好落在该区间右侧， 所以可据此判断该市民这天“运动不适量” 20解： （1）设, AA A xy，, BB B xy， 则 2 2 AA ypx， 2 2 BB ypx， 两式相减，得 2 2 AB AB p yyp k ，由AB的中点的纵坐标为 2， 得4 AB yy，故2p 所以抛物线C的标准方程为 2 4yx （2） 由M P N的平分线与y轴垂直， 可知直线PM，PN的斜率
22、存在， 且斜率互为相反数， 且不等于零 设 11 ,M x y， 22 ,N x y，直线PM：12yk x，0k 由 2 12, 4 , yk x yx 得 2 222 24420k xkkxk， 由点1,2P在抛物线C上，易知上述方程的一个根为 1， 2 2 1 22 244 1 kkk x kk ， 即 2 1 2 44kk x k ，同理 2 2 2 44kk x k ， 2 12 2 28k xx k ， 12 2 88k xx kk ， 1212 1212yyk xk x 2 12 2 288 22 k k xxkkk kk ， 12 12 8 1 8 MN yy k k xx k
23、 ， 直线MN的斜率为定值1 21解： （1）若0a，则 ee x f xx， 则 ee x fx， 10 f ， 当1x时， 0fx， f x单调递减； 当1x 时， 0fx， f x单调递增， 所以 f x在1x 处取得极小值，且极小值为 10f，无极大值 （2）由题得 e2e x axfax， 设 e2e x aag xx，则 e2 x g xa 若0a，则 10f，故由（1）得 f x在区间0,1内没有零点 若0a，则 e20 x g xa，故函数 g x在区间0,1内单调递增 又 e010ag ， 10ga ，所以存在 0 0,1x ，使 0 0g x 故当 0 0,xx时， 0fx
24、， f x单调递减； 当 0,1 xx时， 0fx， f x单调递增 因为 01f， 10f，所以当0a时， f x在区间0,1内存在零点 若0a，由（1）得当0,1x时，ee x x 则 222 eeee0 x axaxxaxaxa xf xx， 此时函数 f x在区间0,1内没有零点 综上，实数a的取值范围为,0 22解： （1）直线l的普通方程为20xy 圆C的普通方程为 22 1xy （2）将0x代入20xy，得2y ，即0,2A 设,P x y，则 0cos 2 sin2 2 x y （为参数） ， 消去，并整理得 2 2 1 1 4 xy， 即线段AB的中点P的轨迹方程为 2 2 1 1 4 xy 23解： （1）由 24f xxxx，得 24, 2 xxx x 或 24, 24, xxx x 或 24, 4, xxx x 解得62x ，或22x ，或6x， 所以原不等式的解集为62,6xxx 或 （2）由不等式的性质可知 24246f xxxxx ， 当且仅当 24 , 240 xx xx 时取等号，即4x时取等号 即6t ，所以1ab 所以 28282828 1010218 baba ab abababab 当且仅当 28ba ab 且1ab，即 1 3 a ， 2 3 b 时等式成立 所以 18 28 log1 ab
