1、1 1 1. .1 1 分分类类加加法法和和分分布布乘乘法法计计数数原原理理 【基础梳理】 1分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那 么完成这件事共有 Nmn 种不同的方法 2分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共 有 Nmn 种不同的方法 3分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别 分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事； 分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相
2、互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事 【典型例题】 题题型型一一 分分类类加加法法计计数数原原理理 【例 1-1】 （2020全国高三专题练习）有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数学，在数学检测 时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有 A8 种B9 种C10 种D11 种 【答案】B 【解析】设四位监考教师分别为 ?翿，所教班分别为 ?，假设 A 监考 b，则余下三人监考剩下的三 个班，共有 3 种不同方法，同理 A 监考 c，d 时，也分别有 3 种不同方法，由分类加法计数原理，共有 33 39(种)不同的监考方法，故选 B 【例 1-2】设集合A1,2,3,
3、4，m，nA，则方程x 2 m y 2 n 1 表示焦点位于x轴上的椭圆的有() A6 个B8 个 C12 个D16 个 【答案】A 【解析】因为椭圆的焦点在x轴上，所以mn.当m4 时，n1,2,3；当m3 时，n1,2；当m2 时， n1，即所求的椭圆共有 3216(个) 【举一反三】 1 （2020重庆高二月考（理） ）小王有 70 元钱，现有面值分别为 20 元和 30 元的两种 IC 电话卡若他至 少买一张，则不同的买法共有() A7 种B8 种 C6 种D9 种 2 【答案】A 【解析】要完成的一件事是“至少买一张 IC 电话卡” ，分三类完成：买 1 张 IC 卡，买 2 张 I
4、C 卡，买 3 张 IC 卡而每一类都能独立完成“至少买一张 IC 电话卡”这件事买 1 张 IC 卡有 2 种方法，即买一张 20 元 面值的或买一张 30 元面值的；买 2 张 IC 卡有 3 种方法，即买两张 20 元面值的或买两张 30 元面值的或 20 元面值的和 30 元面值的各买一张，买 3 张 IC 卡有 2 种方法，即买两张 20 元面值的和一张 30 元面值的或 3 张 20 元面值的，故共有 2327(种)不同的买法 2 （2020全国高三专题练习）从 3 名女同学和 2 名男同学中选 1 人主持主题班会，则不同的选法种数为 （） A6B5C3D2 【答案】B 【解析】选
5、女同学有 3 种选法，选男同学有 2 种选法，所以共有 5 种选法.故选：B. 3 （2020全国高三专题练习）从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有 8 班汽车、2 班火车和 2 班飞机. 一天一人从甲地去乙地，共有_种不同的方法. 【答案】12 【解析】 （1）分三类：一类是乘汽车有 8 种方法；一类是乘火车有 2 种方法；一类是乘飞机有 2 种方法， 由分类加法计数原理知，共有 82212（种）方法.故答案为：12. 题题型型二二 分分步步乘乘法法计计数数原原理理 【例 2-1】 （2019辽宁实验中学高三月考（理） ）高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习， 去哪个工厂可以自
6、由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（） A16 种B18 种C37 种D48 种 【答案】C 【解析】根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有 4 种选择，共有 ? t h? 种情况，其中工厂 甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有 3 种选择，共有 ? t h? 种方 案；则符合条件的有 h? h? t ? 种，故选：C 【例 2-2】 （2020全国高三专题练习）如图，用 4 种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻 的矩形涂色不同，则不同的涂法有（ ） 3 A72 种B48 种C24 种D12 种 【答案】A 【解析】先涂 A 的话，有 4
7、 种选择，若选择了一种，则 B 有 3 种，而为了让 C 与 AB 都不一样，则 C 有 2 种， 再涂 D 的话，只要与 C 涂不一样的就可以，也就是 D 有 3 种，所以一共有 4x3x2x3=72 种，故选 A。 【举一反三】 1现有 4 件不同款式的上衣和 3 条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种 数为() A7B12C64D81 【答案】B 【解析】要完成配套，分两步：第 1 步，选上衣，从 4 件上衣中任选一件，有 4 种不同的选法；第 2 步， 选长裤，从 3 条长裤中任选一条，有 3 种不同的选法故共有 4312(种)不同的配法 2已知a3,4,6，
8、b1,2，r1,4,9,16，则方程(xa) 2(yb)2r2可表示的不同圆的个数是 () A6B9C16D24 【答案】D 【解析】确定一个圆的方程可分为三个步骤：第一步，确定a，有 3 种选法；第二步，确定b，有 2 种选 法；第三步，确定r，有 4 种选法由分步乘法计数原理得，不同圆的个数为 32424. 3某运动会上，8 名男运动员参加 100 米决赛，其中甲、乙、丙三人必须在 1,2,3,4,5,6,7,8 八条跑道的 奇数号跑道上，则安排这 8 名运动员比赛的方式共有_种 【答案】2 880 【解析】分两步安排这 8 名运动员 第一步，安排甲、乙、丙三人，共有 1,3,5,7 四条
9、跑道可安排，所以共有 43224(种)方法； 第二步，安排另外 5 人，可在 2,4,6,8 及余下的一条奇数号跑道安排，共有 54321120(种) 所以安排这 8 人的方式共有 241202 880(种) 题题型型三三 两两个个原原理理的的综综合合运运用用 【例 3-1】用 0,1,2,3,4 五个数字， (1)可以排成多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数？ 【答案】见解析 【解析】(1)三位数字的电话号码，首位可以是 0，数字也可以重复，每个位置都有 5 种排法，共有 55 55 3125(种) (2)三位数的首
10、位不能为 0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除 0 外共有 4 种方法，第二、三位 4 可以排 0，因此，共有 455100(种) (3)被 2 整除的数即偶数， 末位数字可取 0,2,4， 因此， 可以分两类， 一类是末位数字是 0， 则有 4312(种) 排法；一类是末位数字不是 0，则末位有 2 种排法，即 2 或 4，再排首位，因 0 不能在首位，所以有 3 种排 法，十位有 3 种排法，因此有 23318(种)排法因而有 121830(种)排法即可以排成 30 个能被 2 整除的无重复数字的三位数 【例 3-2】(1)将 3 种作物全部种植在如图所示的 5 块试验田中，每块种
11、植一种作物，且相邻的试验田不能 种同一种作物，则不同的种植方法共有_种. 【答案】42 【解析】分别用a，b，c代表 3 种作物，先安排第一块田，有 3 种方法，不妨设放入a，再安排第二块田， 有两种方法b或c，不妨设放入b，第三块也有 2 种方法a或c. (1)若第三块田放c： abc 第四、五块田分别有 2 种方法，共有 224(种)方法 (2)若第三块田放a： aba 第四块有b或c两种方法， 若第四块放c： abac 第五块有 2 种方法； 若第四块放b： abab 第五块只能种作物c，共 1 种方法 综上，共有 32(2221)42(种)方法 利用两个计数原理解决应用问题的一般思路
12、(1)弄清完成一件事是做什么 (2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类 (3)弄清分步、分类的标准是什么 (4)利用两个计数原理求解 5 【举一反三】 1 （2019上海市奉贤中学高二期中）现某学校共有 34 人自愿组成数学建模社团，其中高一年级 13 人， 高二年级 12 人,高三年级 9 人. (1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？ (2)每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？ (3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？ 【答案】 （1）34； （2）1404； （3）381. 【解析】 （1）根据题意，选其中一人为负责人，有 3 种情况， 若
13、选出的是高一学生，有 13 种情况，若选出的是高二学生，有 12 种情况， 若选出的是高三学生，有 9 种情况，由分类计数原理可得，共有 12+13+934 种选法 （2）根据题意，从高一学生中选出 1 人，有 13 种情况； 从高二学生中选出 1 人，有 12 种情况；从高三学生中选出 1 人，有 9 种情况； 由分步计数原理，可得共有 121391404 种选法 （3）根据题意，分三种情况讨论： 若选出的是高一、高二学生，有 1213156 种情况， 若选出的是高一、高三学生，有 139117 种情况， 若选出的是高二、高三学生，有 129108 种情况， 由分类计数原理可得，共有 156
14、+117+108381 种选法 【强化训练】 1 （2020浙江高三专题练习）空间中不共面的 4 点A，B，C，D，若其中 3 点到平面的距离相等且为第 四个点到平面的 2 倍，这样的平面的个数为（） A8B16C32D48 【答案】C 【解析】第一种情况，A，B，C，D点在平面的同侧. 当平面平面BCD时，A与平面的距离是与平面BCD的距离的 2 倍.这种情况下有 4 个平面. 第二种情况，A，B，C，D中有 3 个点在平面的一侧，第 4 个点在平面的另一侧，这时又有两种情形： 一种情形是平面与平面BCD平行， 且A与平面的距离是平面与平面BCD距离的 2 倍.这时有 4 个平面. 6 另一
15、种情形如图a所示，图中E，F分别是AB，AC的中点，K是AD的三等分点中靠近A的分点，A，B，C 到平面EFK（即平面）的距离是D到平面EFK距离的一半. EF可以是AB，AC的中点的连线，又可以是AB，BC的中点的连线，或AC，BC的中点的连线， 这种情形下的平面有 34=12（个）. 第三种情况，如图b所示，在A，B，C，D四点中，平面两侧各种有两点. 容易看出：点A到平面EFMN（平面）的距离是B，C，D到该平面距离的 2 倍。 就A，C与B，D分别位于平面两侧的情形来看，就有A离平面远，B离平面远，C离平面远，D离 平面远这四种情况.又“AC，BD异面，则这样的异面直线共有 3 对，平
16、面有 43=12（个）. 综上分析，平面有 4+4+12+12=32（个）.故选：C. 2 （2020浙江高三专题练习）从 1，3，5，7，9 中任取两个数，从 0，2，4，6，8 中任取 2 个数，则组 成没有重复数字的四位数的个数为（） A2100B2200C2160D2400 【答案】C 【解析】这 4 个数中没有零时，组成没有重复数字的四位数的个数为 224 544 C C A =1440；这 4 个数中有 零时，组成没有重复数字的四位数的个数为 2113 5433 C C A A720所以组成没有重复数字的四位数的个数为 14407202160故选C 3 （2020全国高三专题练习）
17、若从 1，2，3，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则 不同的取法共有 A60 种B63 种C65 种D66 种 【答案】D 【解析】要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，有 4 4 C1种结果， 当取得4个奇数时，有 4 5 C5种结果，当取得2奇2偶时有 22 45 CC6 1060 种结果,共有 7 1 56066 种结果.故答案为 D. 4 （2020全国高三专题练习）已知两条异面直线 a，b 上分别有 5 个点和 8 个点，则这 13 个点可以确定 不同的平面个数为 A40B16C13D10 【答案】C 【解析】分两类情况讨论：第
18、1 类，直线 a 分别与直线 b 上的 8 个点可以确定 8 个不同的平面；第 2 类， 直线 b 分别与直线 a 上的 5 个点可以确定 5 个不同的平面 根据分类加法计数原理知，共可以确定 8513 个不同的平面，故选 C 5 （2020山东高三期末）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、 牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三 位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都 喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是（） A 1 66 B 1 55 C 5
19、66 D 5 11 【答案】C 【解析】若甲选牛或羊作礼物，则乙有3种选择，丙同学有10种选择，此时共有2 3 1060 种； 若甲选马作礼物，则乙有4种选择，丙同学有10种选择，此时共有1 4 1040 种. 因此，让三位同学选取的礼物都满意的概率为 3 12 60401005 132066A .故选：C. 6 （2019吉林省实验高二期末（理） ）有不同的语文书 9 本，不同的数学书 7 本，不同的英语书 5 本，从 中选出不属于同一学科的书 2 本，则不同的选法有 A21 种B315 种C153 种D143 种 【答案】D 【解析】由题意，选一本语文书一本数学书有 97=63 种，选一本
20、数学书一本英语书有 57=35 种， 选一本语文书一本英语书有 95=45 种，共有 63+45+35=143 种选法.故选 D. 7 （2020全国高三专题练习）从集合1，2，3，4，10中，选出 5 个数组成子集，使得这 5 个数中 任意两个数的和都不等于 11，则这样的子集有 A32 个B34 个C36 个D38 个 【答案】A 【解析】由题意，将和等于 11 的放在一组：1 和 10，2 和 9，3 和 8，4 和 7，5 和 6. 8 从每一小组中取一个，有 1 2 C2 种，共有 2222232 个故选 A. 8 （2017上海高二期末）甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则
21、甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的 选法有 A6 种B12 种C24 种D30 种 【答案】C 【解析】甲和乙选中同一课程的选法有 1 4 C种，甲和乙再各选一门有 1 3 C和 1 2 C种，根据乘法原理，甲和乙完 成选修课程选择有 111 432 24C C C 种，选 C. 9 （2020全国高三专题练习）从集合1，2，3，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数 列，这样的等比数列的个数为（） A3B4C6D8 【答案】D 【解析】以 1 为首项的等比数列为 1，2，4；1，3，9；以 2 为首项的等比数列为 2，4，8； 以 4 为首项的等比数列为 4，6，9；把这 4 个数
22、列的顺序颠倒，又得到另外的 4 个数列， 所求的数列共有 2（211）8 个.故选：D. 10 （2020黑龙江牡丹江一中高三期末（理） ）如下图中A、B、C、D、E、F六个区域进行染色，每 个区域只染一种颜色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有 _种不同的染色方案. 【答案】96 【解析】要完成给出的图形中A、B、C、D、E、F六个区域进行染色， 染色方法分为两类，第一类是仅用三种颜色染色， 即AF同色，BD同色，CE同色，即从四种颜色中取三种颜色，有 3 4 4C种取法，三种颜色染三个区域 有 3 3 6A 种染法，共4 624种染法； 第二类是用四种颜
23、色染色，即AF、BD、CE三组中有一组不同色，则有3种方案（AF不同色或BD不 9 同色或CE不同色） ， 先从四种颜色中取两种染同色区域有 2 4 12A 种染法， 剩余两种染在不同色区域有2种 染法，共有3 12 272种染法. 由分类加法原理可得总的染色方法种数为247296（种）.故答案为：96. 11 （2020浙江高三专题练习）由数字 1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字的三位数，偶数共有_ 个，其中个位数字比十位数字大的偶数共有_个 【答案】6036 【解析】根据题意， 对于第一空：分 2 步分析： 要求是没有重复数字的三位偶数，其个位是 2、4 或 6，有 3 种情况， 在
24、剩下的 5 个数字中任选 2 个，安排在前 2 个数位，有 2 5 20A 种情况， 则有 320=60 个符合题意的三位偶数； 对于第二空：分 3 种情况讨论： ，当其个位为 2 时，十位数字只能是 1，百位数字有 4 种情况，此时有 4 个符合题意的三位数； ，当其个位为 4 时，十位数字可以是 1、2、3，百位数字有 4 种情况，此时有 34=12 个符合题意的三位 数； ，当其个位为 6 时，十位数字可以是 1、2、3、4、5，百位数字有 4 种情况，此时有 54=20 个符合题意 的三位数； 则有 4+12+20=36 个符合题意的三位数； 故答案为 60，36 12（2020 浙江
25、高三专题练习） 由数字 0， 1， 2， 3， 4， 5 组成没有重复数字且为偶数的四位数， 有_. 个. 【答案】156 【解析】由题意知，数字 0 不能在首位，又在末位时构成偶数， 当末位是零时,只要从其他 5 个数字中选 3 个排列,共有 3 5 A种结果， 当末位不是零时，需要从 2，4 两个数字中选一个放在末位， 从除 0 外的 4 个中放在首位,其他的四个数字在两个位置排列,共有 112 244 A A A， 根据分类加法得到共有 1 24 312 54 156A A AA .故答案为：156 13（2019四川成都七中高二期中（文） ）4 名大学生毕业到 3 个用人单位应聘，若每
26、个单位至少录用其中 一人，则不同的录用情况的种数是_ 【答案】60 10 【解析】根据题意，分 2 种情况讨论： 4 名大学生中录用 3 人，有 3 4 4 3 224A 种录取情况； 4 名大学生全部录用，有 23 43 6 636C A 种录取情况，则有243660种录用种数； 故答案为：60 14 （2020全国高三专题练习）某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里， 火车有 4 趟，轮船有 3 次，问此人的走法可有_种 【答案】7 【解析】由题意，可知某人从甲地到乙地，乘火车的走法有 4 种，坐轮船的走法有 3 种，每一种方法都能 从甲地到乙地，根据分类加法计数
27、原理，可得此人的走法可有 437(种) 15 （2020全国高三专题练习）在编号为 1，2，3，4，5，6 的六个盒子中放入两个不同的小球，每个盒 子中最多放入一个小球，且不能在两个编号连续的盒子中同时放入小球，则不同的放小球的方法有_ 种 【答案】20 【解析】由题意，设两个不同的小球为 A，B，当 A 放入 1 号盒或者 6 号盒时，B 有 4 种不同的放法；当 A 放入 2，3，4，5 号盒时，B 有 3 种不同的放法，一共有 423420 种不同的放法 16 （2019上海市延安中学高二期末）4 个不同的红球和 6 个不同的白球放入同一个袋中，现从中取出 4 个球 （1）若取出的红球的
28、个数不少于白球的个数，则有多少不同的取法？ （2）取出一个红球记 2 分，取出一个白球记 1 分，若取出 4 个球所得总分不少于 5 分，则有多少种不同取 法 【答案】 （1）115； （2）195. 【解析】 （1）若取出的红球个数不少于白球个数，则有4红、3红1白、2红2白三种情况， 其中4红有 4 4 1C 种取法，3红1白有 31 46 24C C 种取法，2红2白有 22 46 90C C 种取法. 因此，共有1 2490115种不同的取法； （2）若取出的4个球的总分不少于5分，则有4红、3红1白、2红2白和1红3白四种情况. 其中4红有 4 4 1C 种取法，3红1白有 31 46 24C C 种取法，2红2白有 22 46 90C C 种取法，1红3白有 13 46 80C C 种不同的取法. 11 因此，共有1 249080195种不同的取法.
