1、 数学答案第 1页（共 6页） 青岛市 2020 年高三年级统一质量检测 数学参考答案及评分标准 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。分。 B CADC B AB 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 9AC10BCD11ABD12CD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 1322m； 1425； 1510xy ；16 （ （1） 2 8yx； （； （2）2 四、解答题：本题共 四、解
2、答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分（本小题满分 10 分） 解： 分） 解： （1）方案一：选条件 因为数列 1 n Sa为等比数列 所以 2 211131 ()()()SaSaSa，即 2 121123 (2)2(2)aaaaaa 设等比数列 n a的公比为q，因为 1 1a 所以 22 (2)2(2)qqq，解得2q 或0q （舍） 所以 11 1 2 nn n aa q * (N )n （2）由（1）得 1 2n n a * (N )n 所以 2123 111 11 ()
3、 loglog(2)22 n nn b aan nnn 所以 1111111111 (1)()()()() 232435112 n T nnnn 1 3113111 ()() 4212 2122nnnn 323 42(1)(2) n nn 方案二： （1）选条件 因为点 1 (,) nn Sa 在直线1yx上 所以 1 1 nn aS * (N )n，所以 1 1 nn aS (2)n 两式相减得 1nnn aaa ， +1 =2 n n a a (2)n 因为 1 1a ， 211 112aSa ， 2 1 =2 a a 适合上式 所以数列 n a是首项为1，公比为2的等比数列 所以 11
4、1 2 nn n aa q * (N )n （2）同方案一的（2） 数学答案第 2页（共 6页） 方案三： （1）选条件 当2n时，因为 1 121 222 nn nn aaana * (N )n（） 所以 12 121 222(1) nn nn aaana 所以 12 121 2222(1) nn nn aaana （） （）（）得 1 22(1) nnn anana ，即 +1 =2 n n a a (2)n 当1n 时， 12 2aa， 2 1 =2 a a 适合上式 所以数列 n a是首项为1，公比为2的等比数列 所以 11 1 2 nn n aa q * (N )n （2）同方案一的
5、（2） 18 （本小题满分 （本小题满分 12 分） 解： 分） 解： （1）因为cos2cossinaCaCcA， 所以由正弦定理可得：sincos2sincossinsinACACCA 因为(0, )A，sin0A 所以cos2cossinCCC 所以 22 cossincossinCCCC，即(cossin)(cossin1)0CCCC 所以cossin0CC或cossin10CC 即cossinCC或cossin10CC 若cossinCC，则 4 C 若cossin10CC ，则 2 sin() 42 C 因为 5 444 C ，所以 3 44 C ，即 2 C 综上， 4 C 或
6、2 C (2)因为ABC为锐角三角形，所以 4 C 因为 22222 1442cos222(22) 4 cababababababab 即 144 72(22) 22 ab （当且仅当ab等号成立） 所以 1122 sinsin72(22)36( 21) 22444 SabCabab 即ABC面积S的最大值是36( 21) 数学答案第 3页（共 6页） 19 （本小题满分 （本小题满分 12 分） 解： 分） 解： （1）底面ABCD和侧面 11B BCC都是矩形，CDBC ， 1 CCBC CCCCD 1 ，BC平面 11D DCC 1 D E 平面 11D DCC， 1 BCD E， 1
7、D ECD，BCCDC， 1 D E 底面ABCD 1 D E 平面 11 CC D D， 平面 11 CC D D 底面ABCD （2）取AB的中点F E是CD的中点，底面ABCD是矩形， EFCD 以E为原点，以 1 EFECED、所在直线分别为 x y z, ,轴，建立空间直角坐标系Exyz如图所示. 设 1 (0)EDa a，则(0,0,0)E，(1,1,0)B， 1(0,0, ) Da，(0,1,0)C， 1(0,2, ) Ca 设平面 1 BED的法向量 1111 ( ,)nx y z ，(1,1,0)EB ， 1 (0,0, )EDa . 由 1 11 0 0 n EB n ED
8、 可得： 11 1 0 0 xy az ， 令 1 1x 可得 11 1,0yz ， 1 (1, 1,0)n 设平面 11 BCC B的法向量 2222 (,)nxy z ，(1,0,0)CB ， 1 (0,1, )CCa . 由 2 21 0 0 nCB nCC 可得， 2 22 0 0 x yaz ，令 2 1z 可得 2 ya ， 2 (0,1)na 由于平面 11 BCC B与平面 1 BED所成的锐二面角的平面角为 3 ， 所以 12 12 2 12 |cos,|cos 3| | 21 n na n n nn a 解得1a 平面 11 BCC B的法向量 2 (0, 1,1)n ，
9、由于(1, 1,0)A，(0,1,0)C，(0, 1,0)D， 1(0,0,1) D， 所以 111 (1, 2,0)(0,1,1)(1, 1,1)CACAAACADD ， 设直线 1 CA和平面 11 BCC B所成的角为，则 12 12 1 16 sin| 3| |23 CA n CAn AB CD 1 A 1 B 1 C 1 D E x y z F 数学答案第 4页（共 6页） 20 （本小题满分 （本小题满分 12 分） 解： 分） 解： （1）由频率分布直方图的性质可得：0.050.351abc ，即0.6abc , ,a b c成等差数列，所以2bac，所以0.2b 又23cb，
10、解之得：0.3,0.1ca 所以7.5 0.1 8.5 0.3 9.5 0.35 10.5 0.2 11.5 0.059.3x 即抗疲劳次数的平均数9.3x 万次 （2）由甲地试验结果的频率分布直方图可得：抗疲劳次数超过9万次的零件数为 100 (0.350.20.05)60件，不超过9万次的件数为1006040件， 由乙地试验结果的分布表可得：抗疲劳次数超过9万次的零件数为41 25975，不超 过9万次的零件数为25件，所以2 2列联表为 质量不优秀质量优秀总计 甲地4060100 乙地2575100 总计65135200 （说明：填对 5 个数据得 1 分，用去尾法） 所以 2 200(
11、40 7525 60)200 5.1285.024 65 135 100 10039 k 所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为零件质量优秀与否与气候条件有关 即有97.5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关 （3）在甲地实验条件下，随机抽取一件产品为特优件的频率为0.25 以频率为概率，所以任意抽取一件产品为特优件的概率 1 4 p 则的取值可能为0,1,2,3,4 所以 040 4 3181 (0)( ) ( ) 44256 PC 131 4 3110827 (1)( ) ( ) 4425664 PC 222 4 315427 (2)( ) ( ) 44256128 PC
12、313 4 31123 (3)( ) ( ) 4425664 PC 404 4 311 (4)( ) ( ) 44256 PC 所以的分布列为 01234 P 81 256 27 64 27 128 3 64 1 256 的数学期望 8110854121 ( )012341 256256256256256 E 21 （本小题满分 （本小题满分 12 分）分） 数学答案第 5页（共 6页） 解：解： （1）椭圆E的离心率为 1 2 ， 1 2 c e a 四边形 1122 AB A B的面积为4 3， 1 224 3 2 ab 又 222 abc 解之得：2,3,1abc 椭圆E的方程为： 22
13、 1 43 xy （2） 设 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy， 则 1 FMN的周长48a， 1 11 1 (|)4 2 F MN SFMF NMNrr ，即 1 1 4 F MN rS 当lx轴时，l的方程为：1x ，| 3MN 1 12 1113 | 4424 F MN rSMNFF 当l与x轴不垂直时，设:(1)l yk x(0)k 由 222 22 (1) (43)690 1 43 yk x kykyk xy 2 1212 22 69 , 4343 kk yyy y kk 11 21 2 1221211221 111 | | | | 222 F MNF F MF F
14、N SSSFFyFFyFFyy 2 22 122112 22 1169 |()42()4() 224343 kk FFyyy y kk 22 22 (1) 12 (43) kk k 1 22 22 1(1) 3 4(43) F MN kk rS k 令 2 43kt， 则3t ， 2 2 323 4 tt r t 22 3113114 3( )2( ) 13() 4433ttt 3t ， 11 0 3t ， 3 0 4 r 综上可知： 3 0 4 r 22 （本小题满分 （本小题满分 12 分）分） 数学答案第 6页（共 6页） 解：解： （1）由题( ) x fxeax 因为函数( )f x
15、有两个极值点 1 x， 2 x 所以方程( )0 x fxeax有两个不相等的根 12 ,x x 设( )( ) x g xfxeax，则( ) x g xea 当0a 时，( )0 x g xea， 所以( )g x在R上单调递增，至多有一个零点，不符合题意 0a 时，由( )0 x g xea得lnxa. 当(,ln )xa 时，( )0g x，函数( )g x单调递减； 当(ln ,)xa时，( )0g x，函数( )g x单调递增. 所以 min ( )(ln )ln0g xgaaaa，即ae， 令( )2lnaaa(0)a ，则 22 ( )1 a a aa ， 当(0,2)a时，(
16、 )0a，( )a为减函数；当(2,)a时，( )0a，( )a为增函 数； min ( )(2)22ln22(1 ln2)0a ( )0a，即2lnaa，从而ln 2 a aa， 2a ea 2 ( )0 a g aea，又因为(0)10g ， 所以( )g x在区间(0,ln )a和(ln , )a a上各有一个零点，符合题意， 综上，实数a的取值范围为( ,)e . （2）不妨设 12 xx，则 1 (,ln )xa ， 2 (ln ,)xa，所以 12 lnxax 设( )( )(2ln)p xg xgax 2ln (2ln) xa x eaxeaax 2 22 ln xx ea eaxaa 则 2 ( )2 xx p xea ea 2 22220 xx ea eaaa （当且仅当 2xx ea e，即lnxa时，等号成立）. 所以函数( )p x在R上单调递增. 由 2 lnxa，可得 2 ()(ln )0p xpa，即 22 ()(2ln)0g xgax， 又因为 12 ,x x为函数( )g x的两个零点，所以 12 ()()g xg x， 所以 12 ()(2ln)g xgax， 又 2 lnxa，所以 2 2lnlnaxa， 又函数( )g x在(,ln )a上单调递减， 所以 12 2lnxax，即 12 2lnxxa.
