1、 浦东新区 2019 学年度第二学期期中教学质量监测 高三数学试卷 2020.05 一、填空题（本大题满分一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有分）本大题共有 12 题，题，1-6 题每题题每题 4 分，分，7-12 题每题题每题 5 分考生分考生 应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分或分或 5 分，否则一律得零分，否则一律得零 分分 1设全集210 ,U ，集合10,A，则A U C 2. 某次考试，5名同学的成绩分别为：115,108,95,100,96，则这组数据的中位数为 3. 若函数 2 1 xxf
2、，则 1 1 f 4. 若i1是关于x的方程0 2 qpxx的一个根（其中i为虚数单位，Rq ,p） ，则 qp 5.若两个球的表面积之比为41:则这两个球的体积之比为 6.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数t ty tx 1 ，圆O的参数方程 为为参数 siny cosx ，则直线l与圆O的位置关系是 7. 若二项式 4 21 x 展开式的第4项的值为24，则 n n xxxx 32 lim 5 1 8. 已知双曲线的渐近线方程为xy，且右焦点与抛物线xy4 2 的焦点重合，则这个双 曲线的方程是_. 9. 从4N mmm，且个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A表
3、示选 出的2个人性别相同， 事件B表示选出的2个人性别不同 如果A的概率和B的概率相等， 则m 10. 已知函数 22 2 2 2 axlogaxxf的零点有且只有一个， 则实数a的取值集合 为 11. 如图，在ABC中， 3 BAC，D为AB中点，P为 CD上一点，且满足ABACtAP 3 1 ，若ABC的面积为 2 33 ，则AP的最小值 为 . 12.已知数列 , nn ab满足 11 1ab，对任何正整数n均有 22 1nnnnn aabab ， 22 1nnnnn babab ， 设 11 3n n nn c ab ， 则 数 列 n c的 前2 0 2 0项 之 和 为 . 二、选
4、择题（本大题满分二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题有且题，每题有且只只有一个正确有一个正确答案答案考生考生必须必须 在答题纸的相应编号上，在答题纸的相应编号上，将将代表答案的小方格涂黑，选对得代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分 13若x、y满足 0 1 0 y yx yx ， 则目标函数 yxf 2 的最大值为( ) A 1 B 2 C 3 D. 4 14. 如图， 正方体ABCDDCBA 1111 中，E、F分别为棱AA1、BC 上的点，在平面 11A ADD内且与平面DEF平行的直线( ) A 有一条 B 有二条 C
5、 有无数条 D. 不存在 15. 已知函数 xcosxcosxf.给出下列结论： xf是周期函数； 函数 xf图像的对称中心+,0)() 2 （ kkZ； 若 21 xfxf，则Zkkxx 21 ； 不等式xcosxcosxsinxsin2222的解集为 Zk ,kxkx 8 5 8 1 . 则正确结论的序号是 ( ) A B C D. 16. 设集合1,2,3,.,2020S ，设集合A是集合S的非空子集，A中的最大元素和最小 元素之差称为集合A的直径. 那么集合S所有直径为71的子集的元素个数之和为( ) A 71 1949 B 70 21949 C 70 237 1949 D. 70 2
6、72 1949 三、解答题（本大题满分三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共有分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤规定区域内写出必要的步骤 17 （本题满分 （本题满分 14 分分）本题共有本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 7 分，第分，第 2 小题满分小题满分 7 分分. 如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为 2 的正方形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴顺 时针旋转 120得到的 （1）求此几何体的体积； （2）设P是弧EC上的一点，且BEBP ，求异面 直线
7、FP与CA所成角的大小 （结果用反三角函数值表示） 18 （本题满分 （本题满分 14 分分）本题共有本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分. 已知锐角、的顶点与坐标原点重合，始边与x轴正方向重合，终边与单位圆分别交 于P、Q两点，若P、Q两点的横坐标分别为 5 52 10 103 、 （1）求cos的大小； （2） 在ABC中，cba、为三个内角CBA、对应的边长，若已知角C， 4 3 Atan，且 22 cbca，求的值 19 （本题满分 （本题满分 14 分分）本题共有本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题
8、满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分. 疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额 在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案方案要求同时具备下列 两个条件：补助款 f x（万元）随企业原纳税额x（万元）的增加而增加；补助款不 低于原纳税额x（万元）的50%经测算政府决定采用函数模型 4 4 xb fx x （其中 b为参数）作为补助款发放方案 （1）判断使用参数12b 是否满足条件，并说明理由； （2）求同时满足条件、的参数b的取值范围 20 （本题满分 （本题满分 16 分分）本题共有本题共有 3 个小题，第个小题，第 1
9、 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小小 题满分题满分 6 分分. 在平面直角坐标系xOy中， 1 F， 2 F分别是椭圆 2 2 2 10 x ya a ：的左、右焦点， 直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且22 21 AFAF. （1）求椭圆的方程； （2）已知直线l经过椭圆的右焦点 2 F，,P Q是椭圆上两点，四边形ABPQ是菱形， 求直线l的方程； （3）已知直线l不经过椭圆的右焦点 2 F，直线 2 AF，l， 2 BF的斜率依次成等差数列， 求直线l在y轴上截距的取值范围. 21 （本题满分 （本题满分 18 分分）本题共有本题共有
10、3 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小小 题满分题满分 8 分分. 若数列 n a对任意连续三项 12 , iii a aa ，均有 221 0 iiii aaaa ，则称该数列 为“跳跃数列”. （1）判断下列两个数列是否是跳跃数列： 等差数列：,54321； 等比数列： 16 1 8 1 4 1 2 1 1,； （2）若数列 n a满足对任何正整数n，均有 11 n a n aa 1 0a .证明：数列 n a是跳跃数 列的充分必要条件是 1 01a. （3）跳跃数列 n a满足对任意正整数n均有 2 1 19 5
11、n n a a ，求首项 1 a的取值范围. 浦东新区 2019 学年度第二学期期中教学质量监测 高三数学答案及评分细则 2020.05 一、填空题（本大题满分一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有分）本大题共有 12 题，题，1-6 题每题题每题 4 分，分，7-12 题每题题每题 5 分考生分考生 应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分或分或 5 分，否则一律得零分，否则一律得零 分分 1设全集210 ,U ，集合10,A，则A U C 2 2. 某次考试，5名同学的成绩分别为：115,108,95,100
12、,96，则这组数据的中位数为 100 3. 若函数 2 1 xxf，则 1 1 f 1 4. 若i1是关于x的方程0 2 qpxx的一个根（其中i为虚数单位，Rq ,p） ，则 qp 0 5.若两个球的表面积之比为41:则这两个球的体积之比为 81: 6.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数t ty tx 1 ，圆O的参数方程 为为参数 siny cosx ，则直线l与圆O的位置关系是 相交 7. 若二项式 4 21 x 展开式的第4项的值为24，则 n n xxxx 32 lim 5 1 8. 已知双曲线的渐近线方程为xy，且右焦点与抛物线xy4 2 的焦点重合，则这个双 曲线
13、的方程是_122 22 yx_. 9. 从4N mmm，且个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A表示选 出的2个人性别相同， 事件B表示选出的2个人性别不同 如果A的概率和B的概率相等， 则m 10 10. 已知函数 22 2 2 2 axlogaxxf的零点有且只有一个， 则实数a的取值集合 为 1 11. 如图，在ABC中， 3 BAC，D为AB中点，P为 CD上一点，且满足ABACtAP 3 1 ，若ABC的面积为 2 33 ，则AP的最小值为 2 . 12.已知数列 , nn ab满足 11 1ab，对任何正整数n均有 22 1nnnnn aabab ， 22 1nnnnn
14、babab ， 设 11 3n n nn c ab ， 则 数 列 n c的 前2 0 2 0项 之 和 为 . 【解】 11 2+2n nnnnnn ababab ， 1 11 22n nnnnnn aba bab ， 1 2 333 nnn n c ， 2021 2020 33S 二、选择题（本大题满分二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题有且题，每题有且只只有一个正确有一个正确答案答案考考生生必须必须 在答题纸的相应编号上，在答题纸的相应编号上，将将代表答案的小方格涂黑，选对得代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分 13若
15、x、y满足 0 1 0 y yx yx ， 则目标函数 yxf 2 的最大值为( B ) A 1 B 2 C 3 D. 4 14. 如图， 正方体ABCDDCBA 1111 中，E、F分别为棱AA1、BC 上的点，在平面 11A ADD内且与平面DEF平行的直线( C ) A 有一条 B 有二条 C 有无数条 D. 不存在 16. 已知函数 xcosxcosxf.给出下列结论： xf是周期函数； 函数 xf图像的对称中心+,0)() 2 （ kkZ； 若 21 xfxf，则Zkkxx 21 ； 不等式xcosxcosxsinxsin2222的解集为 Zk ,kxkx 8 5 8 1 . 则正确
16、结论的序号是 ( D ) A B C D. 16. 设集合1,2,3,.,2020S ，设集合A是集合S的非空子集，A中的最大元素和最小 元素之差称为集合A的直径. 那么集合S所有直径为71的子集的元素个数之和为( C ) A 71 1949 B 70 21949 C 70 237 1949 D. 70 272 1949 三、解答题（本大题满分三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共有分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤规定区域内写出必要的步骤 17 （本题满分 （本题满分 14 分分）本题共有本题共有 2
17、 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 7 分，第分，第 2 小题满分小题满分 7 分分. 如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为 2 的正方形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴顺 时针旋转 120得到的 （1）求此几何体的体积； （2）设P是弧EC上的一点，且BEBP ，求异面 直线FP与CA所成角的大小 （结果用反三角函数值表示） 【解答】 （1）因为 3 4 2 3 2 2 1 2 1 22 rS EBC扇形 （4 分） 所以， 3 8 2 3 4 hSV（7 分） （2）如图所示，以点 B 为坐标原点建立空间直 角坐标系则200,A，202,F，020,P， 03
18、1,C 所以，222,FP， 231,AC.（11 分） 设异面直线FP与CA所成的角为，则 ACFP ACFP cos x y z 2 2 22 2 2 231222 223212 4 26 .（13 分） 所以，异面直线FP与CA所成角为 4 26 arccos.（14 分） 18 （本题满分 （本题满分 14 分分）本题共有本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分. 已知锐角、的顶点与坐标原点重合，始边与x轴正方向重合，终边与单位圆分别交 于P、Q两点，若P、Q两点的横坐标分别为 5 52 10 103 、 （1）求cos
19、的大小； （2） 在ABC中，cba、为三个内角CBA、对应的边长，若已知角C， 4 3 Atan，且 22 cbca，求的值 【解答】 （1）由已知 3 10102 55 cos =sin =cos,sin 101055 ， (2 分) 因而 3 102 51052 cos( + )=coscossinsin 1051052 （6 分） （2）法一： （正弦定理）由已知， 22 ,cos,sin 422 CCC .(7 分) 32427 2 sinsin()sin() 4525210 BACA (10 分) 2222 91 sinsin1 252 = sinsin57 22 102 acAC
20、 bcBC (14 分) 法二： （余弦定理） 222 2cosacbbcA， 因而由已知得 2 47 2 2 8sin881 510 2cos= 5sin5552 2 bc bB bbcAbc ccC 法三： （余弦定理、正弦定理） 2 coscos() 410 BC 因而由余弦定理得： 222 222 2cos22 coscos 1022cos bacacB acBbCcb cababC 同理 222 222 2cos42 coscos 522cos abcbcA bcAaCca cababC 得 3 27 , 55 c ac b得 22 1 = 2 ac bc 法四： （射影定理）可得
21、22 coscos 102 acBbCcb ， 42 coscos 52 bcAaCca 下同解法二 19 （本题满分 （本题满分 14 分分）本题共有本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分. 疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额 在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案方案要求同时具备下列 两个条件：补助款 f x（万元）随企业原纳税额x（万元）的增加而增加；补助款不 低于原纳税额x（万元）的50%经测算政府决定采用函数模型 4 4 xb fx x （其中 b为参数）
22、作为补助款发放方案 （1）判断使用参数12b 是否满足条件，并说明理由； （2）求同时满足条件、的参数b的取值范围 【解答】 （1）法一：因为当12b 时， 33 3 42 f，所以当12b 时不满足条件 （6 分） 法二：由条件可知 121 44,12 42 x f xxx x 因为34,12，所以当12b 时不满足条件（6 分） 法三：由条件可知 2 x f x 在3,6上恒成立，所以 2 max 1 4 4 bxx ， 解得 39 4 b ，所以当12b 时不满足条件（6 分） (注：如果证明了当12b 时满足条件得 2 分) （2）法一：由条件可知， f x在3,6上单调递增，则对任意
23、 12 36xx时， 有 1212 1212 1212 4 ( )()44()0 444 xxx xbbb f xf xxx xxx x 恒成立， 即 12 40x xb 12 1 4 bx x 恒成立，所以 9 4 b ；（10 分） 由条件可知， 2 x f x ，即不等式 1 4 42 xb x x 在3,6上恒成立， 所以 2 max 139 4 44 bxx （13 分） 综上，参数b的取值范围是 9 39 , 44 （14 分） 法二：由条件可知， 4 4 xb f x x 在3,6上单调递增， 所以当0b时，满足条件；当0b时，得23b 9 0 4 b ， 所以 9 4 b （1
24、0 分） 由条件可知， 2 x f x ，即不等式4 4 xb x 在3,6上恒成立，所以 3 4 43 6 4 46 b b ，得 39 4 b （13 分） 综上，参数b的取值范围是 9 39 , 44 （14 分） 20 （本题满分 （本题满分 16 分分）本题共有本题共有 3 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小小 题满分题满分 6 分分. 在平面直角坐标系xOy中， 1 F， 2 F分别是椭圆 2 2 2 10 x ya a ：的左、右焦点， 直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且22 21 AFAF. （1）求椭
25、圆的方程； （2）已知直线l经过椭圆的右焦点 2 F，,P Q是椭圆上两点，四边形ABPQ是菱形， 求直线l的方程； （3）已知直线l不经过椭圆的右焦点 2 F，直线 2 AF，l， 2 BF的斜率依次成等差数列， 求直线l在y轴上截距的取值范围. 【解答】 （1）由 12 AF + AF =2 2可得22 2a ，从而2a ， 椭圆方程为 2 2 1 2 x y. (4 分) （2）由于四边形ABPQ是菱形，因此/ /ABPQ且| |ABPQ. 由对称性， 1 F在线段PQ上. 因此，,AP BQ分别关于原点对称；并且由于菱形的对角线 相互垂直，可得APBQ，即OAOB. (6 分) 设:1
26、l xmy ，与椭圆方程联立可得 22 (2)210mymy ，设,因此 12 2 2 2 m yy m ， 12 2 1 2 y y m . (8 分) 由 1212 0x xy y，可得 22 2 1212 22 12 (1)() 110 22 mm my ym yy mm ， 解得2m ，即直线方程为210xy . (10 分) （3） 设: l ykxb，由 12 2kkk，可得 12 12 2 11 yy k xx ， 即 12 12 2 11 kxbkxb k xx . 化简可得 1 21212 2()()22 (1)(1)kx xbk xxbk xx， 即 12 ()(2)0bk
27、 xx. 若0bk，则: l ykxk经过 2 F，不符，因此 12 2xx. (12 分) 联立直线与椭圆方程， 222 (21)4(22)0kxkbxb. 因为 22 8(21)0kb 由 12 2 4 2 21 kb xx k ，可得， 2 21 2 k b k (14 分) 将代入， 222 1 421, 2 kkk；再由 11 (2) 2 bk k ， 可得，(, 2 2)(2 2,)b . (16 分) 21 （本题满分 （本题满分 18 分分）本题共有本题共有 3 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小小 题满
28、分题满分 8 分分. 若数列 n a对任意连续三项 12 , iii a aa ，均有 221 0 iiii aaaa ，则称该数列 为“跳跃数列”. （1）判断下列两个数列是否是跳跃数列： 等差数列：,54321； 等比数列： 16 1 8 1 4 1 2 1 1,； （2）若数列 n a满足对任何正整数n，均有 11 n a n aa 1 0a .证明：数列 n a是跳跃数 列的充分必要条件是 1 01a. （3）跳跃数列 n a满足对任意正整数n均有 2 1 19 5 n n a a ，求首项 1 a的取值范围. 【解答】 （1） 等差数列：1,2,3,4,5,.不是跳跃数列； (2 分
29、) 等比数列： 1 11 1 1,. 2 48 16 是跳跃数列. (4 分) （2）必要性：若 1 1a ，则 n a是单调递增数列，不是跳跃数列； 若 1 1a ， n a是常数列，不是跳跃数列. (6 分) 充 分 性 ： 下 面 用 数 学 归 纳 法 证 明 ： 若 1 01a， 则 对 任 何 正 整 数n， 均 有 2121222221 , nnnnnn aaaaaa 成立. （1）当1n 时， ， 1 1 2111 a aaaa， 21 3112 aa aaaa， 12 1 213111 1, aa aaaaaa Q， 231 aaa (8 分) 321 231111342 ,
30、 aaa aaaaaaaaaQ，所以1n 命题成立 (9 分) （2）若nk时， 2121222221 , kkkkkk aaaaaa ， 则 22221 212322 , kkk aaa kkk aaaaaa ， 212322 222423 , kkk aaa kkk aaaaaa ，所以当1nk时命题也成立 (10 分) 根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足 221 0 iiii aaaa ，故 n a是跳跃数 列. （3） 2 1 1 195 5 nnnn aaaa ， 22 21 1 519 195 125 nnnnnn aaaaaa ， (11 分) 2 2 1 23 195 125 nnnnnn aaaaaa ， (12 分) 1若 1nn aa ，则 12nnn aaa ，此时 5101 ,2 2 n a ； (14 分) 2若 1nn aa ，则 12nnn aaa ，此时 5101 3, 2 n a ； (16 分) 若 5101 ,2 2 n a ，则 2 1 195101 3, 52 n n a a ，所以2,2 n a . 若 5101 3, 2 n a ，则 2 1 19 2,2 5 n n a a ，所以 3, 21 n a . 所以 1 2,23, 21a U， 此时对任何正整数n，均有 2,23, 21 n a U (18 分)
