1、教材同步复习第一部分 第四章三角形解题方法突破篇中点四大模型模型模型 1倍长中线或类中线倍长中线或类中线(与中点有关的线段与中点有关的线段)构造全等三角形构造全等三角形 如图1，AD是ABC的中线，延长AD至点E，使DEAD，易证：ADCEDB(SAS)如图2，D是BC的中点，延长FD至点E，使DEFD，易证：FDBEDC(SAS)【模型分析模型分析】当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移 如图，在ABC中，AD是ABC的中线，F为AD上一点，连接BF并延长交AC于点E，BFAC.求证：AEEF.例1题图【解题思路】第一步：延长AD
2、至点G，使DFDG，连接CG，证出BDDC；第二步：根据SAS推出BDFCDG，根据全等三角形的性质得出BFCG，BFDG；第三步：推出AFEG，CGAC，推出GCAF，得出AFECAF，即可得证【解答】【解答】延长延长AD至点至点G，使，使DFDG，连接，连接CG，如答图，如答图例1题答图AD是是ABC的中线，的中线，BDDC.在在BDF和和CDG中，中，BDFCDG(SAS)，BFCG，BFDG.AFEBFD，AFEG.BFCG，BFAC，CGAC，GCAF，AFECAF，AEEF,BDCDBDFCDGDFDG 1如图，在ABC中，BDDCAC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE.第1题
3、图第1题答图证明：证明：延长延长AE到点到点M，使，使EMAE，连接，连接DM，如答图，如答图E是是DC的中点，的中点，DECE.在在DEM和和CEA中，中，CMDE，DMAC.又又BDDCAC，DMBD，ADCCAD.又又ADBCCAD，ADMMDEADC，ADMADB.在在ADB和和ADM中，中，ADBADM(SAS)，BADMAD，AD平分平分BAE.,EMEADEMCEADECE DEMCEA(SAS)，,ADADADBADMBDMD 模型模型2已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一三线合一”如图，已知ABAC，点D为BC的中
4、点，连接AD，则BDCD，BADCAD，ADBC.【模型分析模型分析】等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等或边相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到“边等、角等、三线合一”如图，在ABC中，ABAC5，BC6，P是BC边上的动点，过点P作PDAB于点D，PEAC于点E，则PDPE的长是_245例2题图【解题思路解题思路】第一步：过点A作AFBC于点F，连接AP；第二步：根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得AF的长；第三步：由图形面积得SABCSABPSACP，代入数值，解答即可2如图，在ABC中，ABAC，D是BC的中
5、点，过A点的直线EFBC，且AEAF，求证：DEDF.第2题图第2题答图证明：证明：如答图，连接如答图，连接AD.在在ABC中，中，ABAC，D是是BC的中点，的中点，ADBC.EFBC，ADEF.又又AEAF，AD垂直平分垂直平分EF，DEDF.模型模型3已知三角形一边的中点，可以考虑中位线定理已知三角形一边的中点，可以考虑中位线定理 (1)如图，已知点D为AB的中点，取AC的中点E，连接DE，则DEBC，且DE BC.12 (2)如图，延长BC至点F，使得CFBC，连接CD，AF，则DCAF，且DC AF.12【模型分析模型分析】在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位
6、线的性质定理来解题，中位线定理既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决线段之间的倍半、相等及平行问题 如图，在四边形ABCD中，ABCD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，求证：BMECNE.例3题图【解题思路】第一步：连接BD,取BD的中点H，连接HE，HF；第二步：根据三角形中位线的定理得到FHBM，FH AB，EHCN，EH CD;第三步：根据平行线的性质得到BMEHFE，CNEHEF；第四步：根据等腰三角形的性质得到HFEHEF，等量代换即可得到结论1212【解答】【解答】连接连接BD，取，取BD的中点的中点H，连接，连接HE
7、，HF，如答图如答图例3题答图E，F分别是分别是BC，AD的中点，的中点，FHBM，FH AB，EHCN，EH CD，BMEHFE，CNEHEF.ABCD，FHEH，HFEHEF，BMECNE.12123如图，在ABC中，ABC90，ABBC，BDAC于点D，CE平分ACB，交AB于点E，交BD于点F.求证：(1)BEF是等腰三角形；(2)BD (BCBF)证明：证明：(1)在在ABC中，中，ABBC，BDAC于点于点D，ABDCBD，ADCD.12ABC90，ACB45.CE平分平分ACB，ECBACE22.5，BEFCFDBFE67.5，BEBF，BEF是等腰三角形是等腰三角形(2)如答图
8、，延长如答图，延长AB至点至点M，使得，使得BMAB，连接，连接CM.则则BD MC，BD MC，BFEMCE.由由(1)得得BEFBFE，BEBF，BEFMCE，MEMC，BD MC ME (MBBE)(BCBF)1212121212第3题答图 模型模型4已知直角三角形的斜边中点，可以考虑构造斜边中线已知直角三角形的斜边中点，可以考虑构造斜边中线如图，在RtABC中，点D为AB的中点，连接CD，则CD AB.12【模型分析模型分析】在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：ACD和BC
9、D，该模型经常会与中位线定理一起综合应用例4题图 如图，在四边形ABCD中，ABBC，ADDC，P是AC的中点求证：点P在线段BD的垂直平分线上【解题思路】第一步：连接PB，PD；第二步：根据垂直的定义得到ABCADC90；第三步：根据直角三角形的性质得到PB AC，PD AC；第四步：由线段垂直平分线的判定定理即可得到结论1212例4题答图【解答】【解答】连接连接PB，PD，如答图，如答图ABBC，ADDC，ABCADC90.P是是AC的中点，的中点，PB AC，PD AC，PBPD，点点P在线段在线段BD的垂直平分线上的垂直平分线上12124如图，在ABC中，BDAC于点D，CEAB于点E，M，N分别是BC，DE的中点(1)求证：MNDE；(2)若BC10，DE6，求MDE的面积第4题图(1)证明：证明：连接连接ME，MD，如答图，如答图BDAC，BDC90.M是是BC的中点，的中点，DM BC，同同理可得理可得EM BC，DMEM.N是是DE的中点，的中点，MNDE.1212(2)SMDE12.第4题答图
