1、教材同步复习第一部分 第三章函数第13讲二次函数的综合与应用知识要点知识要点 归纳归纳人教：人教：九九上第上第二二十十二二章章P49P53；北师大：北师大：九九下第下第二二章章P46P50.知识点知识点1二次函数的应用二次函数的应用1解题步骤(1)根据题意得到二次函数的解析式；(2)根据已知条件确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的性质和自变量的取值范围求出最大(小)值【注意】二次函数的最大(小)值不一定是实际问题的最大(小)值，一定要结合实际问题中的自变量的取值范围确定最大(小)值2常考题型抛物线型的二次函数的实际应用，此类问题一般分为四种：(1)求高度，此时一般是求二次函数图象顶点的纵
2、坐标，或根据自变量的取值范围，利用函数的增减性求二次函数的最值；(2)求水平距离，此时一般是令函数值y0，解出所得一元二次方程的两个根，求两根之差的绝对值；(3)用二次函数求图形面积的最值问题；(4)用二次函数求利润最大问题1有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽为20 m，拱顶距水面4 m，在如图直角坐标系中，该抛物线的解析式为_y0.04(x10)24知识点知识点2二次函数与几何的综合二次函数与几何的综合2存在性问题注意灵活运用数形结合思想，可先假设存在，再借助已知条件求解，如果有解(求出的结果符合题目要求)，则假设成立，即存在；如果无解(推出矛盾或求出的结果不符合题目要求)，则假设不成
3、立，即不存在3动点问题通常利用数形结合、分类讨论和转化思想，借助图形，切实把握图形运动的全过程，动中取静，选取某一时刻作为研究对象，然后根据题意建立方程模型或者函数模型求解2如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴相交于点C，在该抛物线的对称轴上存在点Q，使得QAC的周长最小，则Q点的坐标为_(1，2)五年真题五年真题 精选精选命题点命题点 二次函数与几何的综合二次函数与几何的综合(5年5考)类型1与图形规律有关的二次函数问题1(2016江西23题12分)设抛物线的解析式为yax2，过点B1(1，0)作x轴的垂线，交抛物线于点A1(1，2)；过点B2(，0)作x
4、轴的垂线，交抛物线于点A2；过点Bn(（）n1，0)(n为正整数)作x轴的垂线，交抛物线于点An，连接AnBn1，得RtAn Bn Bn+1.(1)求a的值(2)直接写出线段AnBn，BnBn1的长(用含n的式子表示)(3)在系列RtAnBnBn1中，探究下列问题：1212当n为何值时，RtAnBnBn1是等腰直角三角形？设1kmn(k，m均为正整数)，问：是否存在RtAkBkBk1与RtAmBmBm1相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由解：(1)如答图所示，点A1(1，2)在抛物线yax2上，a2.(2)AnBn()2n3，BnBn1()n.(3)由RtAnBnBn1是等腰直角三角
5、形得AnBnBn Bn+1，则()2n3()n，2n3n，n3，当n3时，RtAnBnBn1是等腰直角三角形12121212存在依题意得AkBkBk1AmBmBm190分两种情况：)当RtAkBkBk1RtAmBmBm1时，()2k2m()km，km(舍去)；121223123111()()22,11()()22kkkkkkmmmmmmA BB BA BB B )当RtAkBkBk1RtBm1BmAm时，23123111()()22,11()()22kkkkkkmmmmmmA BB BBBB A ()2k3m()k2m3，km6.1k0)(1)当a1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；(2)
6、试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写直接写出C2的表达式；(3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值解：(1)当a1时，抛物线的解析式为yx24x5(x2)29，对称轴为直线x2.当y0时，x23或3，即x1或5，抛物线与x轴的交点坐标为(1，0)或(5，0)(2)抛物线C1的解析式为yax24ax5，整理得yax(x4)5.当ax(x4)0时，y恒定为5，抛物线C1一定经过两个定点(0，5)，(4，5)；将抛物线C1沿直线y5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变，抛物
7、线C2的解析式为yax24ax5.(3)C2：yax24ax5(a0)的顶点坐标为的顶点坐标为(2，4a5)，抛物线抛物线yax24ax5的顶点到的顶点到x轴的距离为轴的距离为|4a5|2，a 或或 .7434类型3与动点有关的二次函数问题3(2020江西22题9分)已知抛物线yax2bxc(a，b，c是常数，a0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x2 1012ym03n3(1)根据以上信息，可知抛物线开口向_，对称轴为_(2)求抛物线的表达式及m，n的值上上直线直线x1(3)请在图1中画出所求的抛物线设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P，描出相应的点P，再把相应的点P用平滑的曲线连
8、接起来，猜想该曲线是哪种曲线？(4)设直线ym(m2)与抛物线及(3)中的点P所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系_A1A2A3A41解：(1)上；直线x1.(2)由表格可知抛物线过点(0，3)，yax2bx3，将点(1，0)，(2，3)代入，得 a-b-3=0，4a+2b-3=-3解得 a=1，b=-2，抛物线的表达式为yx22x3.当x2时，m(2)22(2)35.当x1时，n122134.(3)如答图所示，点P所在曲线是抛物线(4)A1A2A3A41.【解法提示】设P(x0，x022x03)，则P(，)，设
9、 t，则x02t，y 2t22t ，图象为抛物线，x22x3m，x1+x22，2t22t m，t1t21，得(t1t2)(x1x2)1，t1x1x2t21，A1A2A3A41.02x200232xx02x200232xx3232类型4与新定义有关的二次函数问题4(2018江西23题12分)小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验：(1)已知抛物线yx2bx3经过点(1，0)，则b_，顶点坐标为_，该抛物线关于点(0，1)成中心对称的抛物线的表达式是_.4(2，1)yx24x5抽象感悟：我们定义：对于抛物线yax2bxc(a0)，以y轴上的点M(0，m)为中心，作该抛物线关于
10、点M对称的抛物线y，则我们又称抛物线y为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”(2)已知抛物线yx22x5关于点(0，m)的衍生抛物线为y，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围问题解决：(3)已知抛物线yax22axb(a0)若抛物线y的衍生抛物线为ybx22bxa2(b0)，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标；若抛物线y关于点(0，k12)的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点(0，k22)的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；关于点(0，kn2)的衍生抛物线为yn，其顶点为An，(n为正整数)求AnAn1的长(用含n的式子表示)解：(1)抛物线yx2b
11、x3经过点(1，0)，1b30，b4，抛物线的表达式为yx24x3(x2)21，抛物线的顶点坐标为(2，1)，抛物线的顶点坐标(2，1)关于(0，1)的对称点为(2，1)，即新抛物线的顶点坐标为(2，1)，令原抛物线的x0，y3，(0，3)关于点(0，1)的对称点坐标为(0，5)，设新抛物线的表达式为ya(x2)21.点(0，5)在新抛物线上，5a(02)21，a1，新抛物线的表达式为y(x2)21x24x5.(2)抛物线yx22x5(x1)26，抛物线的顶点坐标为(1，6)，在抛物线上取点(0，5)，即点(1，6)和(0，5)关于点(0，m)的对称点为(1，2m6)和(0，2m5)，设衍生抛
12、物线为ya(x1)22m6，2m5a2m6，a1，衍生抛物线为y(x1)22m6x22x2m5，联立，得x22x2m5x22x5，整理得2x2102m.这两条抛物线有交点，102m0，m5.(3)抛物线yax22axba(x1)2ab，此抛物线的顶点坐标为(1，ab)抛物线y的衍生抛物线为ybx22bxa2b(x1)2a2b，此衍生抛物线的顶点坐标为(1，a2b).两个抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，b+2b+a2=-a-b，a0(舍去)或a3，b3，a+2a-b=a2-b，抛物线y的顶点坐标为(1，0)，抛物线y的衍生抛物线的顶点坐标为(1，12)，两抛物线的衍生中心的坐标为(0，6)
13、yax22axba(x1)2ab，y1a(x1)22k212ab，顶点A1为(1，2k212ab)，y2a(x1)22k222ab，顶点A2为(1，2k222ab)，以此类推，yna(x1)22k2n2ab，顶点An为(1，2k2n2ab)，yn1a(x1)22k2(n1)2ab，顶点An1为(1，2k2(n1)2ab)，AnAn12k2(n1)2ab(2k2n2ab)4n2.5(2019江西23题12分)特例感知(1)如图1，对于抛物线y1x2x1，y2x22x1，y3x23x1，下列结论正确的序号是_；抛物线y1，y2，y3都经过点C(0，1)；抛物线y2，y3的对称轴由抛物线y1的对称轴
14、依次向左平移 个单位得到；抛物线y1，y2，y3与直线y1的交点中，相邻两点之间的距离相等形成概念(2)把满足ynx2nx1(n为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”12知识应用在(2)中，如图2.“系列平移抛物线”的顶点依次为P1，P2，P3，Pn，用含n的代数式表示顶点Pn的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”：C1，C2，C3，Cn，其横坐标分别为k1，k2，k3，kn(k为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由；在中，直线y1分别交“系列平移抛物线”于
15、点A1，A2，A3，An，连接CnAn，Cn1An1，判断CnAn，Cn1An1是否平行？并说明理由解：(1)当x0时，y1y2y31，正确；y1，y2，y3的对称轴分别是直线x1 ，x21，x3，正确；y1，y2，y3与y1交点(除了点C)的横坐标分别为1，2，3，相邻两点之间的距离为1，都相等，正确.1232(2)ynx2nx1(x )2+，顶点Pn(，).令顶点Pn的横坐标为x ，纵坐标为y ，则y ()21x21，即顶点Pn满足关系式yx21.相邻两点之间的距离都相等，为 .2n2n 244n 244n 2n244n 244n 2n21k 【解法提示】根据题意得Cn(kn，k2nk1)
16、，Cn1(kn1，k2nkk1)，则Cn，Cn1两点之间的铅直高度为k2nkk1(k2nk1)k，Cn，Cn1两点之间的水平距离为kn1(kn)1.由勾股定理得Cn Cn-12k21，CnCn121k CnAn与Cn1An1不平行理由：根据题意得Cn(kn，k2nk1)，Cn1(kn1，k2nkk1)，An(n，1)，An1(n1，1)，过Cn，Cn1分别作直线y1的垂线，垂足为D，E，D(kn，1)，E(kn1，1)在RtDAnCn中，tan DAnCn kn，221(1)()nnC DknkknkA Dnknk 在RtEAn1Cn1中，tan EAn1Cn1 kn1.kn1kn，tan D
17、AnCntan EAn1Cn1，DAnCnEAn1Cn1，CnAn与Cn1An1不平行22111(1)1(1)nnCEknkkknkkAEnknk 重点难点重点难点 突破突破重难点二次函数与几何的综合重难点二次函数与几何的综合(难难点点)已知抛物线ya(xm)22m(m0)经过原点，其顶点为P，与x轴的另一交点为A.(1)点P的坐标为_，点A的坐标为_(用含m的代数式表示)(2)求出a，m之间的关系式【解题思路】将x0，y0代入ya(xm)22m中，化简即可求得a，m之间的关系式(2m，0)(m，2m)2m【解答】将x0，y0代入ya(xm)22m，得am22m0，am20，am2，a .(3
18、)当m0时，若抛物线ya(xm)22m向下平移m个单位长度后经过点(1，1)，求此抛物线的表达式【解题思路】先表示出当m0时，抛物线ya(xm)22m向下平移m个单位长度后的解析式，再将点(1，1)代入，结合(2)中a和m的关系式，解得a和m的值，即可得出此抛物线的表达式【解答】当m0时，抛物线ya(xm)22m向下平移m个单位长度后，得ya(xm)2m.抛物线经过点(1，1)，a(1m)2m1，am22amam1.又am2，am3.把am3代入am2，解得a11，m12或a22，m21.此抛物线的表达式为y(x2)24或y2(x1)22.(4)抛物线ya(xm)22m向下平移|m|个单位长度
19、后与x轴所截的线段长，与平移前相比有什么变化？请直接写出结果【解题思路】分两种情况：m0，a0，a ，m0，a ，分别得出平移后的抛物线与坐标轴的交点，然后用含m的式子表示出与x轴所截的线段长，两者相比即可求得答案2m2m【解答】抛物线ya(xm)22m向下平移|m|个单位长度后与x轴所截的线段长，与平移前相比是原来的 或 倍.2262【解法提示】a ，当m0时，a0.抛物线ya(xm)22m(m0)经过原点，yax22amx向下平移m个单位长度后为yax22amxm，平移前：d2m，平移后：令ax22amxm0，得a(xm)2am2m，化简，得(xm)2 ，解得x1m m，x2m m，d m
20、，；2m2222222dd当m0，a ，原抛物线为yax22amx，向下平移|m|个单位长度后为yax22amxm，平移前：d2m，平移后：令ax22amxm0，得a(xm)2am2m，化简，得(xm)2 m2，解得x1m m，x2m m，d m，.2m326262626dd已知抛物线C1：y(xm)2m2(m0)，抛物线C2：y(xn)2n2(n0)，称抛物线C1，C2互为派对抛物线例如：抛物线C1：y(x1)21与抛物线C2：y(x-）22是派对抛物线已知派对抛物线C1，C2的顶点分别为A，B，抛物线C1的对称轴交抛物线C2于点C，抛物线C2的对称轴交抛物线C1于点D.(1)已知抛物线：y
21、x22x，y(x3)23，y(x )22，22yx2x ，则抛物线中互为派对抛物线的是_(请在横线上填写抛物线的数字序号)；和，和(2)如图1，当m1，n2时，求证：ACBD；(3)如图2，连接AB，CD交于点F，延长BA交x轴的负半轴于点E，记BD交x轴于点G，CD交x轴于点H，BEOBDC.求证：四边形ACBD是菱形；若已知抛物线C2：y(x2)24，请求出m的值(1)解：yx22x(x1)212，y(x3)23(x3)2()2，y(x )22(x )2()2，yx2x (x )2()2，和互为派对抛物线，和互为派对抛物线3222121212(2)证明：当m1，n2时，抛物线C1：y(x1
22、)21，抛物线C2：y(x2)24，故A(1，1)，B(2，4)ACBDy轴，点C的横坐标为1，点D的横坐标为2.当x1时，y(x2)2413，则C(1，13)，当x2时，y(x1)218，则D(2，8)，AC13112，BD4(8)12，ACBD.(3)证明：抛物线C1：y(xm)2m2(m0)，则A(m，m2)，抛物线C2：y(xn)2n2(n0)，则B(n，n2)当xm时，y(xn)2n2m22mn2n2，则C(m，m22mn2n2)当xn时，y(xm)2m22mnn2，则D(n，2mnn2)，ACm22mn2n2m22mn2n2，BDn2(2mnn2)2mn2n2，ACBD，四边形AC
23、BD为平行四边形BEOBDC，EHFDHG，EFHDGH90，ABCD，四边形ACBD是菱形解：抛物线C2 ：y(x2)24，则B(2，4)，n2，AC BD2mn2n24m8.A(m，m2)，C(m，m24m8)，BC2(m2)2(m24m84)2(m2)2(m2)4.四边形ACBD是菱形，BCBD，(m2)2(m2)4(4m8)2.即(m2)415(m2)2.m0，(m2)215，m2 ，m 2.151520212021权威权威 预测预测如图，抛物线y1x2c与x轴交于A，B两点，且AB2.(1)求抛物线y1的解析式，并直接写出y1的顶点坐标；(2)将y1先向右平移1个单位长度，再向上平移
24、1个单位长度，记为第一次操作，得到抛物线y2.按同样的操作方式，经过第二次操作，可得到抛物线y3，经过第三次操作，可得到抛物线y4，经过第(n1)次操作可得到抛物线yn.y1的顶点是否在y2上？请说明理由；若抛物线yn恰好经过点B(不含y1)，求抛物线yn的解析式；定义：当抛物线与x轴有两个交点时，以这两个交点及抛物线顶点构成的三角形叫做该抛物线的“轴截三角形”如ABC是抛物线y1的“轴截三角形”记抛物线y1，y2，y3，yn的“轴截三角形”的面积分别为S1，S2，S3，Sn.当Sn125时，求n的值解：(1)AB2，抛物线y1x2c的对称轴为直线x0，点A，B的坐标分别为(1，0)，(1，0)将点A(1，0)代入yx2c，得c1，则抛物线y1的解析式为y1x21，顶点坐标为(0，1)(2)由平移性质得抛物线y2的顶点坐标为(1，2)，则抛物线y2的解析式为y2(x1)22，当x0时，y21，则y1的顶点(0，1)在抛物线y2上由题意，得抛物线y3(x2)23，y4(x3)24，yn(xn1)2n，将点B(1，0)代入yn，得(1n1)2n0，解得n4或n1(舍去)，抛物线yn的解析式为y4(x3)24.令yn(xn1)2n0，解得x1n1 ，x2n1 ，则Sn (n1 )(n1 )n n125.53125，5，即n25.nnnnnn12
