1、2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1. 已知集合,则( )A.B.C.D.2. 在复平面内,复数满足,则( )A. 1B.iC. D. 3.设函数的定义域为,则“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 某四面体的三视图如图所示,该四面体的表面积为( )A. B.C. D. 5. 双曲线过点,离心率为,则该双曲线的标准方程为( )A. B. C. D. 6.已知和是两个
2、等差数列,且是常值,若,则的值为( )A. B. 100C. 128D. 1327.已知函数,则该函数( )A. 奇函数,最大值为2B. 偶函数,最大值为2C. 奇函数,最大值为D. 偶函数,最大值为8.对24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义:小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水,则这一天的雨水属于哪个等级( )A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨9. 已知圆,直线,则当的值发生变化时,直线被圆C所截的弦长的最小值为1,则的取值为( )A. B. C. D. 10. 数列是递增的整数数列,且,则的最大值为( )A. 9B. 10C. 11D. 12第二部分(非选择题共11
3、0分)二、填空题5小题,每小题5分,共25分11. 的展开式中常数项为_12. 已知抛物线,C焦点为,点在上,且,则的横坐标是_;作轴于,则_13. ,则_;_14. 若点与点关于轴对称,写出一个符合题意的值_15. 已知,给出下列四个结论:若,则有两个零点;,使得有一个零点;,使得有三个零点;,使得有三个零点以上正确结论的序号是_三、解答题共6小题,共85分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程16. 已知在中,(1)求的大小;(2)在三个条件中选择一个作为已知,使存在且唯一确定,并求出边上的中线的长度;周长为;面积为;17. 已知正方体,点为中点,直线交平面于点(1)求证:点为中点;(2
4、)若点为棱上一点,且二面角的余弦值为,求的值18. 为加快新冠肺炎检测效率,某检测机构采取“k合1检测法”,即将k个人的拭子样本合并检测,若为阴性,则可确定所有样本都是阴性的;若为阳性,则还需要对本组的每个人再做检测现有100人,已知其中2人感染病毒(1)若采用“10合1检测法”,且两名患者在同一组,求总检测次数;已知10人分成一组,分10组,两名感染患者在同一组的概率为,定义随机变量X为总检测次数,求检测次数X的分布列和数学期望E(X);(2)若采用“5合1检测法”,检测次数Y的期望为E(Y),试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)19. 已知函数(1)若,求在处的切线方程;(2)若
5、函数在处取得极值,求的单调区间,以及最大值和最小值20. 已知椭圆过点,以四个顶点围成的四边形面积为(1)求椭圆E的标准方程;(2)过点P(0,-3)的直线l斜率为k,交椭圆E于不同的两点B,C,直线AB,AC交y=-3于点M、N,若|PM|+|PN|15,求k的取值范围21. 定义数列:对pR,满足:,;,(1)对前4项2,-2,0,1的数列,可以是数列吗?说明理由;(2)若是数列,求的值;(3)是否存在pR,使得存在数列,对任意满足?若存在,求出所有这样的p;若不存在,说明理由参考答案一、选择题1.B 2.D 3.A 4.A 5.A 6.C 7.D 8.B 9.C 10.C二、填空题11.-4 12. (1). 5 (2). 13. (1). 0 (2). 314. (满足即可)15. 三、解答题16. (1);(2)答案不唯一 由余弦定理可得边上的中线的长度为:;则由余弦定理可得边上的中线的长度为:.17. (1)证明见解析;(2)18. (1)次;分布列见解析;期望为(2)若时,;若时,;若时,.19. (1);(2)函数的增区间为、,单调递减区间为,最大值为,最小值为.20.(1);(2)21.(1)不可以是数列;理由见解析;(2);(3)存在;- 6 -