1、高三：圆锥曲线专题讲义目录11.3 定值定点问题211.3 定值定点问题【知识点一：定值问题】1.定值问题基本思路：转化为与两点相关的斜率与的关系式2.椭圆常用结论1.过椭圆 (上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于两点，则直线有定向且（常数）.2.已知椭圆（），为坐标原点，为椭圆上两动点，且.1）;2）的最大值为;3）的最小值是.【知识点二：定点问题】1.直线过定点问题方法：要证明直线过定点，只需要找到与之间的关系即可.确定定点，可以证明任意两个斜率相等即可.【典型例题】考点一：斜率之积或和为定值例1.已知椭圆的离心率为,点 在椭圆上, 为坐标原点.（）求椭圆
2、的方程;（）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点,且与圆的相交于不在坐标轴上的两点,记直线的斜率分别为,求证:为定值.练1.已知椭圆的右焦点为，离心率为. 直线过点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.（）求椭圆的方程； （）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（）延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率练2. 已知椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点(在下方)，且过点的直线与椭圆交于两点（不与重合）（）求椭圆的方程； （）证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值考点二： 线段或者面积为定值例2.已知点在椭圆：上，是椭圆的一个焦点（）求
3、椭圆的方程；（）椭圆C上不与点重合的两点，关于原点O对称，直线，分别交轴于，两点求证：以为直径的圆被直线截得的弦长是定值1、已知椭圆过点，且.（）求椭圆的方程；（）过点的直线交椭圆于点，直线，分别交直线于点，.求的值.例3.已知椭圆C:0)的两个焦点是在椭圆C上,且O为坐标原点,直线l与直线OM平行,且与椭圆交于A,B两点.连接MA、MB与x轴交于点D，E.(I)求椭圆C的标准方程;(II)求证:为定值.练1.已知椭圆的离心率为，过焦点且与x轴垂直的直线被椭圆C截得的线段长为2（）求椭圆C的方程；（）已知点A（1，0），B（4，0），过点A的任意一条直线l与椭圆C交于M，N两点，求证：|MB|
4、NA|MA|NB|考点三： 其它定值例4 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.（）求椭圆方程；（）设为椭圆右顶点，过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线，分别交直线于，两点. 求证：，两点的纵坐标之积为定值.例5 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，点M是椭圆C上异于的一点，直线AM与y轴交于点.（）若点在椭圆的内部，求直线AM的斜率的取值范围；（）设椭圆的右焦点为，点在轴上，且，求证：为定值.练1.已知椭圆过点，设它的左、右焦点分别为，左顶点为，上顶点为，且满足（）求椭圆的标准方程和离心率；（）过点作不与轴垂直的直线 交椭圆于，（异
5、于点）两点，试判断 的大小是否为定值，并说明理由例6 已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点（）求椭圆的方程；（）已知过点 的直线与椭圆交于不同的两点与直线交于点 ， 设 ，求证：为定值.【知识点二：定点问题】1.直线过定点问题方法：要证明直线过定点，只需要找到与之间的关系即可.确定定点，可以证明任意两个斜率相等即可.【典型例题】考点一： 直线过定点问题例1已知椭圆的离心率为,且过点.（）求椭圆的方程;（）设,是椭圆上不同于点的两点,且直线,的斜率之积等于,试问直线是否过定点？若是,求出该点的坐标;若不是,请说明理由.练1已知椭圆过点，离心率为.过椭圆右顶点的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆于两点.（
6、）求椭圆的标准方程；（）直线是否过定点?若过定点，求出点的坐标；若不过，请说明理由.例2已知椭圆的焦距和长半轴长都为过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于两点（I）求椭圆的方程；（II）设点是椭圆的左顶点，直线分别与直线相交于点.求证：以为直径的圆恒过点.练2 已知椭圆（1）求椭圆的离心率（2）设分别为椭圆的左右顶点，点在椭圆上，直线分别与相交于点，当点运动时，以为直径的圆是否经过轴上的定点？试证明你的结论考点二： 定点存在性问题1.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与椭圆交于不同的两点.（）求椭圆的方程；（）直线，分别交轴于两点，问：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，
7、请说明理由. 2.已知椭圆C：的离心率为，点A(0，1)在椭圆C上（）求椭圆 C的方程；（）设O为原点，过原点的直线（不与x轴垂直）与椭圆C交于M、N两点，直线AM、AN与x轴分别交于点E、F问： y轴上是否存在定点G，使得OGE=OFG？若存在，求点G的坐标；若不存在，说明理由 【小试牛刀】已知椭圆：的右焦点为，且经过点（）求椭圆的方程以及离心率；（）若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点在轴是否存在定点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由【巩固练习基础篇】1. 已知椭圆经过点，离心率为.是椭圆上两点，且直线的斜率之积为为坐标原点.（）求椭圆的方程；（）若射线上的点满足，且与椭圆交于点，求的值.2.已知直线与椭圆相交于，两点，是椭圆上一点.（）当时，求面积的最大值；（）设直线和与轴分别相交于点，为原点.证明:为定值.3.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长为，离心率为.（）求椭圆的方程；（）设是椭圆长轴上的一个动点，过作斜率为的直线交椭圆于，两点，求证:为定值.【巩固练习提高篇】1.已知椭圆过点,且满足.（）求椭圆的方程;（）斜率为的直线交椭圆于两个不同点,点的坐标为,设直线与的斜率分别为. 若直线过椭圆的左顶点,求此时的值;试探究是否为定值？并说明理由.25会当凌绝顶，一览众山小。
