1、 中考数学（福建专用）8.2新定义与阅读理解1.定义符号mina,b的含义为:当ab时,mina,b=b;当ab时,mina,b=a.如:min1,-3=-3,min-4,-2=-4,则min-x2+1,-x的最大值是()A.B.C.2D.0512512答案答案A在同一平面直角坐标系xOy中,画出二次函数y=-x2+1与正比例函数y=-x的图象,如图所示,设它们交于点A、B.令-x2+1=-x,即x2-x-1=0,解得x=或,A,B.观察图象可知:1521521551,221515,22 当x时,min-x2+1,-x=-x2+1,函数值随x的增大而增大,其最大值为;当x0)参照上面材料,解答
2、下列问题:(1)2 4=,(-2)4=;(2)若x,且满足(2x-1)(4x2-1)=(-4)(1-4x),求x的值.(0),(0).baaab a31211xx12解析解析(1)2;-6.(4分)(2)x,2x-10,(2x-1)(4x2-1)=2x+1.(6分)-40,(-4)(1-4x)=-4-(1-4x)=-5+4x.(8分)(2x-1)(4x2-1)=(-4)(1-4x)可化为2x+1=-5+4x,解得x=3.(10分)1224121xx解后反思解后反思本题考查了实数运算与解一元一次方程,难度不大,属于新定义题目,理解题意是关键.5.(2020内蒙古呼和浩特,22,7分)“通过等价变
3、换,化陌生为熟悉,化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式.例如:解方程x-=0,就可以利用该思维方式,设=y,将原方程转化为:y2-y=0这个熟悉的关于y的一元二次方程,解出y,再求x,这种方法又叫“换元法”.请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题.已知实数x,y满足求x2+y2的值.xx2222522133,251,4x yxyxyx y 解析解析令xy=a,x+y=b,则原方程组可化为整理得-得11a2=275,解得a2=25,代入可得b=4,方程组的解为或x2+y2=(x+y)2-2xy=b2-2a,当a=5时,x2+y2=6,当a=-5时,x2+y2=26,因此x2+y2的
4、值为6或26.2252133,251,4abba2252133,162408,abab5,4ab5,4,ab 思路分析思路分析本题是一道阅读理解题,须先理解并掌握材料所给的方法,结合所学知识推导,求解.6.(2020北京,28,7分)在平面直角坐标系xOy中,O的半径为1,A,B为O外两点,AB=1.给出如下定义:平移线段AB,得到O的弦AB(A,B分别为点A,B的对应点),线段AA长度的最小值称为线段AB到O的“平移距离”.(1)如图,平移线段AB得到O的长度为1的弦P1P2和P3P4,则这两条弦的位置关系是;在点P1,P2,P3,P4中,连接点A与点的线段的长度等于线段AB到O的“平移距离
5、”;(2)若点A,B都在直线y=x+2上,记线段AB到O的“平移距离”为d1,求d1的最小值;33(3)若点A的坐标为,记线段AB到O的“平移距离”为d2,直接写出d2的取值范围.32,2解析解析(1)平行;P3.(2分)详解:由题意可知P1P2,P3P4都是由线段AB平移得来的,所以P1P2P3P4.由题意可知点A与点P1,点P3是对应点,且点A与点P3在x轴上方,点P1在x轴下方,且点P1与点P3关于x轴对称,所以连接点A与点P3的线段的长度小于连接点A与点P1的线段的长度.所以连接点A与点P3的线段的长度等于线段AB到O的“平移距离”.(2)如图,由题意可得,ABAB且AB=AB=1,则
6、四边形AABB为平行四边形.由题意可得,AA=d1.分别取AB和AB的中点M和M,连接MM,可得MM=AA.连接OM,则OMAB,且OM=.设直线y=x+2交x轴于点C,交y轴于点D,则点C(-2,0),D(0,2).32333延长OM交直线CD于点N,则ONCD.在RtCOD中,可得ON=.NM=.MMNM,AA.d1的最小值是(当AB的中点M与点N重合时取得).(5分)(3)d2.(7分)提示:当点A在线段OA上时(如图1),可知AA有最小值,易求得AO=2.5,所以AA的最小值为2.5-1=1.5;当AA=AA时(如图2),AA有最大值,OP=0.5,AO=2.5,AP=,可知AA=.3
7、3232323239232223(0.52.5)2392图1图27.(2016厦门,28,6分)当m,n是正实数,且满足m+n=mn时,就称点P为“完美点”,已知点A(0,5)与点M都在直线y=-x+b上,点B,C是“完美点”,且点B在线段AM上,若MC=,AM=4,求MBC的面积.,mmn32解析解析m+n=mn,且m,n是正实数,+1=m,即=m-1,P(m,m-1),即“完美点”B在直线y=x-1上,点A(0,5)在直线y=-x+b上,b=5,直线AM的方程为y=-x+5,“完美点”B在直线AM上,由解得B(3,2),mnmn1,5,yxyx 3,2.xy一、三象限的角平分线y=x垂直于
8、二、四象限的角平分线y=-x,而直线y=x-1与直线y=x平行,直线y=-x+5与直线y=-x平行,直线AM与直线y=x-1垂直,点B是直线y=x-1与直线AM的交点,垂足是点B,点C是“完美点”,点C在直线y=x-1上,MBC是直角三角形,B(3,2),A(0,5),AB=3,AM=4,BM=,又CM=,BC=1,2223SMBC=BMBC=.1222思路分析思路分析由m+n=mn变形为=m-1,可知P(m,m-1),所以“完美点”在直线y=x-1上,点A(0,5)在直线y=-x+b上,求得直线AM:y=-x+5,进而求得B(3,2),根据直线平行的性质证得直线AM与直线y=x-1垂直,然后
9、根据勾股定理求得BC的长,从而求得三角形的面积.mn解后反思解后反思本题考查了一次函数的性质,直角三角形的判定,勾股定理的应用以及三角形面积的计算等,判断直线垂直,借助正比例函数是本题的关键.8.(2020厦门二检,25)在平面直角坐标系中,点(p,tq)与(q,tp)(t0)称为一对泛对称点.(1)若点(1,2),(3,a)是一对泛对称点,求a的值;(2)若P,Q是第一象限内的一对泛对称点,过点P作PAx轴于点A,过点Q作QBy轴于点B,线段PA,QB交于点C,连接AB,PQ,判断直线AB与PQ的位置关系,并说明理由;(3)抛物线y=ax2+bx+c(ayN时xM的取值范围;若不是,请说明理
10、由.解析解析(1)因为点(1,2),(3,a)是一对泛对称点,所以令3t=2,(1分)解得t=.(2分)所以a=t1=.(3分)(2)ABPQ.理由:解法一:设P,Q两点的坐标分别为P(p,tq),Q(q,tp),其中0p0.因为PAx轴于点A,QBy轴于点B,线段PA,QB交于点C,所以点A,B,C的坐标分别为A(p,0),B(0,tp),C(p,tp).(4分)设直线AB,PQ的解析式分别为y=k1x+b1,y=k2x+b2,其中k1k20.分别将A(p,0),B(0,tp)代入y=k1x+b1,得解得(5分)23231110,pkbbtp11,.ktbtp 分别将点P(p,tq),Q(q
11、,tp)代入y=k2x+b2,得解得(6分)因为k1=k2,b1b2,所以ABPQ.(7分)解法二:设P,Q两点的坐标分别为P(p,tq),Q(q,tp),其中0p0.因为PAx轴于点A,QBy轴于点B,线段PA,QB交于点C,所以点A,B,C的坐标分别为A(p,0),B(0,tp),C(p,tp).(4分)所以QC=xQ-xC=q-p,CB=xC-xB=p,PC=yP-yC=tq-tp,CA=yC-yA=tp.在RtPCQ与RtACB中,tanCPQ=.(5分)2222,pkbtqqkbtp22,.ktbtptq QCPCqptqtp()qpt qp1ttanCAB=.(6分)所以tanCP
12、Q=tanCAB.所以CPQ=CAB.所以ABPQ.(7分)(3)因为抛物线y=ax2+bx+c(a0)交y轴于点D,所以点D的坐标为(0,c),因为DMx轴,所以点M的坐标为(xM,c),又因为点M在抛物线y=ax2+bx+c(a0)上,所以a+bxM+c=c,即xM(axM+b)=0.解得xM=0或xM=-.因为点M不与点D重合,即xM0,也即b0,所以点M的坐标为.(8分)CBCAptp1t2Mxba,bca因为直线y=ax+m经过点M,a+m=c,化简得m=b+c.(9分)所以直线MN的解析式为y=ax+b+c.因为抛物线y=ax2+bx+c与直线y=ax+b+c交于点N,由ax2+b
13、x+c=ax+b+c,可得ax2+(b-a)x-b=0.因为=(b-a)2+4ab=(a+b)20,解得x1=-,x2=1.即xM=-,xN=1,且-1,也即a+b0.所以点N的坐标为(1,a+b+c).(10分)要使M与N(1,a+b+c)是一对泛对称点,babababa,bca则需c=t1且a+b+c=t.也即a+b+c=c.(11分)也即(a+b)a=-(a+b)c.因为a+b0,所以当a=-c时,M,N是一对泛对称点.因此对于任意满足条件的实数b,都存在M,N是一对泛对称点的情形.(12分)此时点M的坐标为,点N的坐标为(1,b),所以M,N两点都在函数y=(b0)的图象上.因为a0时
14、,点M,N都在第一象限,此时y随x的增大而减小,所以当yMyN时,0 xM1;当byN时,xM的取值范围是xM0.综上,xM的取值范围是xM1且xM0.(14分)9.【图形定义】如图,将正n边形绕点A顺时针旋转60后,发现旋转前后两图形有另一个交点O,连接AO,我们称AO为“叠弦”;再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60后,交旋转前的图形于点P,连接PO,我们称OAB为“叠弦角”,AOP为“叠弦三角形”.【探究证明】(1)请在图1和图2中选择其中一个证明:“叠弦三角形”(即AOP)是等边三角形;(2)如图2,求证:OAB=OAE;【归纳猜想】(3)图1、图2中“叠弦角”的度数分别为,;
15、(4)图n中,“叠弦三角形”等边三角形(填“是”或“不是”);(5)图n中,“叠弦角”的度数为(用含n的式子表示).解析解析(1)选择图1.证明:依题意得DAD=60,PAO=60.DAP=DAD-PAD=60-PAD,DAO=PAO-PAD=60-PAD,DAP=DAO.D=D,AD=AD,DAP DAO,AP=AO.PAO=60,AOP是等边三角形.(2分)选择图2.证明:依题意得EAE=60,PAO=60.EAP=EAE-PAE=60-PAE,EAO=PAO-PAE=60-PAE,EAP=EAO.E=E,AE=AE,EAP EAO,AP=AO.PAO=60,AOP是等边三角形.(2分)(
16、2)证法一:连接AC,AD,CD.AE=AB,E=B=108,ED=BC,AED ABC,AD=AC,ADE=ACB,由AD=AC,得ADC=ACD,ODC=OCD,OC=OD,BC-OC=ED-OD,即BO=EO.AB=AE,B=E,ABO AEO,OAB=OAE.(5分)证法二:连接AC,AD,CD.AE=AB,E=B=108,ED=BC,AED ABC,AD=AC,ADE=ACB,EAD=BAC,点A在线段CD的垂直平分线上,ADC=ACD,ODC=OCD,OC=OD,点O在线段CD的垂直平分线上,直线AO是线段CD的垂直平分线,CAO=DAO,BAC-CAO=EAD-DAO,即OAB=
17、OAE.(5分)(3)15;24.(7分)(4)是.(8分)(5)60-.(10分)1803n解后反思解后反思本题主要考查新定义“叠弦三角形”,等边三角形和全等三角形以及正多边形的综合应用.解答本题的关键是先读懂新定义,再利用新定义解决问题.同时要从特殊到一般归纳出结论.10.阅读理解抛物线y=x2上任意一点到点(0,1)的距离与到直线y=-1的距离相等,你可以利用这一性质解决问题.问题解决如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+1与y轴交于C点,与函数y=x2的图象交于A,B两点,分别过A,B两点作直线y=-1的垂线,交于E,F两点.(1)写出点C的坐标,并说明ECF=90;(2)在PEF中
18、,M为EF的中点,P为动点.求证:PE2+PF2=2(PM2+EM2);已知PE=PF=3,以EF为一条对角线作平行四边形CEDF,若1PD2,试求CP的取值范围.1414解析解析(1)当x=0时,y=k0+1=1,则点C的坐标为(0,1).根据题意可得AC=AE,AEC=ACE.AEEF,COEF,AECO,AEC=OCE,ACE=OCE.同理可得OCF=BCF.ACE+OCE+OCF+BCF=180,2OCE+2OCF=180,OCE+OCF=90,即ECF=90.(2)证明:过点P作PHEF于H,(i)若点H在线段EF上,如图.图M为EF的中点,EM=FM=EF.根据勾股定理可得PE2+
19、PF2-2PM2=PH2+EH2+PH2+HF2-2PM2=2PH2+EH2+HF2-2(PH2+MH2)12=EH2-MH2+HF2-MH2=(EH+MH)(EH-MH)+(HF+MH)(HF-MH)=EM(EH+MH)+MF(HF-MH)=EM(EH+MH)+EM(HF-MH)=EM(EH+MH+HF-MH)=EMEF=2EM2,PE2+PF2=2(PM2+EM2).(ii)若点H在线段EF的延长线(或反向延长线)上,如图.图同理可得PE2+PF2=2(PM2+EM2).综上所述:当点H在直线EF上时,都有PE2+PF2=2(PM2+EM2).连接CD、PM、PE、PF,如图.ECF=90
20、,CEDF是矩形,M是EF的中点,M是CD的中点,且MC=EM.由中的结论可得在PEF中,有PE2+PF2=2(PM2+EM2),在PCD中,有PC2+PD2=2(PM2+CM2).MC=EM,PC2+PD2=PE2+PF2.PE=PF=3,PC2+PD2=18.1PD2,1PD24,118-PC24,14PC20,PC0,3k2-2k+1=3+0,“带线”l与x轴,y轴所围成的三角形的面积为S=k=,令t=,则t2,S=,=t2-2t+3=(t-1)2+2,23212kk23212kk22,0321kkk12213k231222321kkk22321kkk211123kk1k122123tt
21、1S当t2时,=3,=2,23,S.121S最大值1S最小值1S131212.在平面直角坐标系中,我们定义点P(a,b)的“变换点”为Q,且规定:当ab时,Q为(b,-a);当ab时,Q为(a,-b).(1)(2,1)的变换点坐标为;(2)若点A(a,-2)的变换点在函数y=的图象上,求a的值;(3)已知直线l与坐标轴交于(6,0),(0,3)两点.将直线l上所有点的变换点组成一个新的图形记作M.判断抛物线y=x2+c与图形M的交点个数,以及相应的c的取值范围,请直接写出结论.1x解析解析(1)(1,-2).21,点(2,1)的变换点坐标为(1,-2).(2)当a-2时,A(a,-2)的变换点
22、坐标为(-2,-a),代入y=可得-a=,解得a=;当a-2时,A(a,-2)的变换点坐标为(a,2),代入y=可得2=,解得a=(舍去).综上可知,a的值为.(3)设直线l的解析式为y=kx+d(k0),将(6,0)、(0,3)代入y=kx+d得解得1x12121x1a121260,3,kdd1,23.kd 直线l的解析式为y=-x+3.当x=y时,x=-x+3,解得x=2.设此时的点为C,变换点为C,则点C的坐标为(2,2),点C的变换点的坐标为C(2,-2),点(6,0)的变换点的坐标为(0,-6),点(0,3)的变换点的坐标为(0,-3).当x2时,所有变换点组成的图形是以C(2,-2
23、)为端点,过(0,-6)的一条射线,即y=2x-6.当x2时,所有变换点组成的图形是以C(2,-2)为端点,过(0,-3)的一条射线,即y=x-3.所以新的图形M是由以C(2,-2)为端点的两条射线组成的图形.如图所示:121212由得x2-x+c+3=0(x-时,抛物线y=x2+c与图形M有0个交点;当方程(*)有两个相等的实数根,即c=-时,抛物线y=x2+c与图形M有1个交点;当方程(*)无实数根,且方程(*)有两个不相等的实数根时,或当y=x2+c的图象恰好经过点C后再向下平移时,-5c-或c-6,此时抛物线y=x2+c与图形M有2个交点;当方程(*)有两个相等的实数根或y=x2+c的图象恰好经过C时,即当c=-5或c=-6时,抛物线y=x2+c与图形M有3个交点;当方程(*)和方程(*)均有两个不相等的实数根,且各根均小于2时,即当-6c-5时,抛物线y=x2+c与图形M有4个交点.471647164716
