1、实数的分类实数的分类第一章数与式知识点1第一节实数及其运算1 1按定义来分类按定义来分类负整数负整数 负分数负分数无理数无理数正无理数正无理数负无理数负无理数常见无理数的形式常见无理数的形式(1)(1)含根号且开方开不尽的数是无理数含根号且开方开不尽的数是无理数(如如 ，)；(2)(2)某些三角函数的值是无理数某些三角函数的值是无理数(如如sin 45sin 45，cos 30cos 30，tan 30tan 30)；(3)(3)及化为最简结果后含及化为最简结果后含 的数是无理数的数是无理数(如如 3)3)；(4)(4)有规律的无限不循环小数是无理数有规律的无限不循环小数是无理数 如如0.01
2、0 010 0010.010 010 001(相邻两个相邻两个1 1之间依次多一个之间依次多一个0)0)23342.2.按正、负分类按正、负分类正有理数正有理数正无理数正无理数0 0负有理数负有理数负无理数负无理数正负数的意义正负数的意义(1)0(1)0既不是正数也不是负数；既不是正数也不是负数；(2)(2)用正负数可以表示一组具有相反意义的量如将用正负数可以表示一组具有相反意义的量如将“向东向东”记为正，则记为正，则“向西向西”记为负；将记为负；将“零上零上”记为正，则记为正，则“零下零下”记为负记为负 1 1数轴数轴(1)(1)概念：规定了概念：规定了_、_和和 _的直线叫做数轴的直线叫做
3、数轴(2)(2)性质：实数与数轴上的点是性质：实数与数轴上的点是_的；的；离原点越远的数的绝对值越离原点越远的数的绝对值越_；数轴上右边的数总比左边的数数轴上右边的数总比左边的数_实数的有关概念实数的有关概念 原点原点 正方向正方向单位长度单位长度 一一对应一一对应 大大 大大 数轴的应用数轴的应用(1)(1)数轴上两点之间的距离：用右边的点表示的数减去左边的点表示的数；数轴上两点之间的距离：用右边的点表示的数减去左边的点表示的数；(2)(2)利用数轴比较大小：数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的利用数轴比较大小：数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；数大；(3)(3)借助数轴
4、可以加深对借助数轴可以加深对“绝对值绝对值”“”“相反数相反数”等概念的理解，是初中常等概念的理解，是初中常用的数形结合思想的体现用的数形结合思想的体现2 2相反数相反数只有只有_不同的两个数互为相反数不同的两个数互为相反数a ab b0 0a a，b b互为相反数；互为相反数；实数实数a a的相反数是的相反数是 _._.特别地，特别地，0 0的相反数是的相反数是_几何意义：在数轴几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离上，表示相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离_3 3倒数倒数乘积是乘积是_的两个数互为倒数用数学语言表述为的两个数互为倒数用数学语言表述为aba
5、b1 1，则，则a a，b b互为倒互为倒数；数；a a，b b互为倒数互为倒数abab1.1.实数实数a(a0)a(a0)的倒数是的倒数是_，0_0_倒倒数，数，_的倒数是它本身的倒数是它本身1a 符号符号 a a 0 0 相等相等 1 1 没有没有 1 1和和1 1相反数的确定方法相反数的确定方法(1)(1)定义法：若两个数互为相反数，则这两个数除了符号外，其余均相同；定义法：若两个数互为相反数，则这两个数除了符号外，其余均相同；(2)(2)运算法：若运算法：若a a，b b互为相反数，则互为相反数，则a ab b0 0；(3)(3)排除法：正数的相反数是负数，负数的相反数是正数排除法：正
6、数的相反数是负数，负数的相反数是正数4 4绝对值绝对值(1)(1)实数实数a a的绝对值可以表示为的绝对值可以表示为|a|a|(2)(2)对任何实数对任何实数a a，总有，总有|a|0.|a|0.(3)(3)若若|x|x|a(a0)a(a0)，则，则x xa.a.解与绝对值有关的问题的注意事项解与绝对值有关的问题的注意事项对于含有绝对值的实数运算或运算中需要去掉绝对值符号时，一定要注意对于含有绝对值的实数运算或运算中需要去掉绝对值符号时，一定要注意先判断绝对值符号内代数式的正负，再去掉绝对值符号若不能明确绝对先判断绝对值符号内代数式的正负，再去掉绝对值符号若不能明确绝对值符号内的代数式是正还是
7、负，则需分两种情况讨论值符号内的代数式是正还是负，则需分两种情况讨论5 5平方根、算术平方根、立方根平方根、算术平方根、立方根(1)(1)平方根：一般地，如果一个数的平方根：一般地，如果一个数的_等于等于a a，那么这个数叫做，那么这个数叫做a a的平的平方根或二次方根，记作方根或二次方根，记作_正数的平方根有两个，它们互为正数的平方根有两个，它们互为 _，0 0的平方根是的平方根是0 0，负数没有平方，负数没有平方根根(2)(2)算术平方根：一般地，如果一个正数算术平方根：一般地，如果一个正数x x的平方等于的平方等于a a，即，即x x2 2a a，那么这，那么这个正数个正数x x叫做叫做
8、a a的算术平方根，记作的算术平方根，记作_.正数的算术平方根是正数，正数的算术平方根是正数，0 0的的算术平方根是算术平方根是0.0.(3)(3)立方根：一般地，如果一个数的立方等于立方根：一般地，如果一个数的立方等于a a，那么这个数叫做，那么这个数叫做a a的立方的立方根或三次方根，记作根或三次方根，记作_正数的立方根是正数，正数的立方根是正数，0 0的立方根是的立方根是0 0，负数，负数的立方根是负数每个实数有且只有一个立方根的立方根是负数每个实数有且只有一个立方根a a3a 平方平方 相反数相反数1 1近似数近似数与实际完全符合的数称为与实际完全符合的数称为 _，与实际接近的数称为，
9、与实际接近的数称为 _2 2精确度精确度一个近似数的最后一位是哪一位，就说这个近似数精确到哪一位一个近似数的最后一位是哪一位，就说这个近似数精确到哪一位3 3科学记数法科学记数法把一个数表示成把一个数表示成a a1010n n的形式的形式(其中其中1|a|1|a|1010，n n是整数是整数)，使用的，使用的是科学记数法是科学记数法近似数与科学记数法近似数与科学记数法准确数准确数近似数近似数科学记数法的表示方法科学记数法的表示方法对于含有计数或计量单位的数用科学记数法表示，可先将计数或计量单位对于含有计数或计量单位的数用科学记数法表示，可先将计数或计量单位前面的数用科学记数法表示，然后与计数或
10、计量单位表示的数相乘常见前面的数用科学记数法表示，然后与计数或计量单位表示的数相乘常见的计数单位有：的计数单位有：1 1千千10103 3，1 1万万10104 4，1 1亿亿10108 8；计量单位有：；计量单位有：1 1千米千米10103 3米，米，1 m1 m10106 m6 m，1 nm1 nm10109 m9 m如如2424万万2.42.410105 5，5 0005 000千米千米5 510106 6米米1 1数轴比较法数轴比较法在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数_2 2法则比较法法则比较法_0_0负数；两个负数比较大小，负
11、数；两个负数比较大小，_大的数反而小大的数反而小3 3作差比较法作差比较法a ab0b0abab；a ab b0 0a ab b；a ab0b0ab.a0a0，b0b0，则，则 11abab；1 1a ab b；11ab.ab.(2)(2)若若a0a0，b0b11abab；1 1a ab b；1b.ab.5 5平方比较法平方比较法若若()()2 2()()2 200，即，即ab0ab0，则，则 .如如()()2 2 ()()2 22 2，则则 .b ab B B|a|b|a|0 b0 D.0D.实数的运算实数的运算 (10 (10年年9 9考考)(2017 (2017广东广东)计算：计算：|7
12、|7|(1(1)0 0()()1 1.【思路分析思路分析】直接利用绝对值的性质、零指数幂的性质、负指数幂的性质直接利用绝对值的性质、零指数幂的性质、负指数幂的性质得出答案得出答案【规范解答规范解答】解：原式解：原式7 71 13 39.9.133 3(2019(2019广东广东)计算：计算：2 0192 0190 0()()1 1_4 4(2019(2019广东深圳广东深圳)计算：计算：2cos 602cos 60()()1 1(3.14)3.14)0 0.解：原式解：原式3 32 2 8 81 13 31 18 81 111.11.13918 4 4 125 5(2016(2016广东广东)
13、计算：计算：|3|3|(2 016(2 016sin 30sin 30)0 0()1 1.解：原式解：原式3 31 12 22 22 24.4.12正负数的表示与数感意识的运用正负数的表示与数感意识的运用九章算术九章算术正负数正负数中国人很早就开始使用负数著名的中国古代数学著作中国人很早就开始使用负数著名的中国古代数学著作九章算术九章算术的的“方程方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为并给出名为“正负术正负术”的算法的算法材料阅读：魏晋时期的数学家刘徽在其著作材料阅读：魏晋时期的数学家刘徽在其著作九章算术
14、注九章算术注中用不同颜色中用不同颜色的算筹的算筹(小棍形状的记数工具小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数分别表示正数和负数(白色为正，黑色为负白色为正，黑色为负)；也可以用斜摆的小棍表示负数，用正摆的小棍表示正数这样可以用一些也可以用斜摆的小棍表示负数，用正摆的小棍表示正数这样可以用一些小竹棍摆出各种数字来进行计算，如图小竹棍摆出各种数字来进行计算，如图应用：应用：1 1下图表示的过程是在计算下图表示的过程是在计算 _3535121223232 2(2017(2017江西江西)魏晋时期的数学家刘徽在魏晋时期的数学家刘徽在“正负术正负术”的注文中指出，可的注文中指出，可将算筹将算筹(小棍形状的
15、记数工具小棍形状的记数工具)正放表示正数，斜放表示负数如图，根据正放表示正数，斜放表示负数如图，根据刘徽的这种表示法，观察图，可推算图中所得的数值为刘徽的这种表示法，观察图，可推算图中所得的数值为 _3 33 3(2020(2020湖南湘潭湖南湘潭)算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献在算筹计数法中，以具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献在算筹计数法中，以“纵纵式式”和和“横式横式”两种方式来表示数字如图：两种方式来表示数字如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空示例如图：以此类推，遇零则置空示例如图：表示的数是表示的数是 9 167 9 167
