1、 中考数学（山东专用）第四章 图形的认识4.5特殊的平行四边形A组20162020年山东中考题组考点一矩形1.(2020菏泽,5,3分)如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形,那么原来四边形的对角线一定满足的条件是()A.互相平分B.相等C.互相垂直D.互相垂直平分答案答案C由矩形的定义知,矩形的四个内角均为直角,即每组邻边互相垂直,故原四边形的对角线应互相垂直.2.(2019临沂,13,3分)如图,在平行四边形ABCD中,M、N是BD上两点,BM=DN,连接AM、MC、CN、NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是()A.OM=ACB.MB=MOC.BDACD.AMB=
2、CND12答案答案A对于A,四边形ABCD是平行四边形,OA=OC,OB=OD,对角线BD上的两点M、N满足BM=DN,OB-BM=OD-DN,即OM=ON,四边形AMCN是平行四边形,OM=AC,MN=AC,四边形AMCN是矩形.123.(2018威海,11,3分)矩形ABCD与CEFG如图放置,点B,C,E共线,点C,D,G共线,连接AF,取AF的中点H,连接GH,若BC=EF=2,CD=CE=1,则GH=()A.1B.C.D.232252答案答案C如图,过点H作HM垂直CG于点M,设AF交CG于点O.根据题意可知GOFDOA,所以=,所以OF=OA=AF,即AF=3OF,因为点H是AF的
3、中点,所以OH=AF-AF=AF,即AF=6OH,所以OH=OF.根据已知条件可知HOMFOG,可以推出HM=GF=;同理,通过HOMAOD,可以推出DM=DG,即GM=DG=.在RtGHM中,GH=GFADOGODOFOA121213121316121212121212=.22HMGM224.(2020聊城,21,8分)如图,在 ABCD中,E为BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接BF,AC,若AD=AF,求证:四边形ABFC是矩形.证明证明四边形ABCD是平行四边形,ABCD,AB=CD,AD=BC,BAE=CFE,ABE=FCE,E为BC的中点,EB=EC,ABE FCE
4、(AAS),AB=CF.ABCF,四边形ABFC是平行四边形,AD=AF,BC=AF,四边形ABFC是矩形.思路分析思路分析根据平行四边形的性质和平行线的性质,结合E为BC的中点,得到两角和其中一角的对边分别相等,利用“AAS”判定ABE FCE,从而得到AB=CF,由此可得四边形ABFC是平行四边形,再根据对角线相等的平行四边形是矩形,可得四边形ABFC是矩形.5.(2017济南,23,7分)如图,在矩形ABCD中,AD=AE,DFAE于点F,求证:AB=DF.证明证明四边形ABCD是矩形,B=90,ADBC,DAF=AEB.DFAE,AFD=90=B,又AD=AE,ABE DFA.AB=D
5、F.思路分析思路分析首先由矩形的性质和平行线的性质,得B=90,DAF=AEB,其次由垂直定义得AFD=90=B,最后由“AAS”证明两个三角形全等,即可得到AB=DF.一题多解一题多解本题还可以连接DE,通过证明DEF DEC得到要求证的结论.连接DE,如图,四边形ABCD是矩形,AB=CD,C=90,ADBC,ADE=DEC.AD=AE,AED=ADE,DEF=DEC,DFAE,DFE=90=C,又DE=DE,DEF DEC.DC=DF,AB=DF.考点二菱形1.(2019烟台,10,3分)如图,面积为24的 ABCD中,对角线BD平分ABC,过点D作DEBD交BC的延长线于点E,DE=6
6、,则sinDCE的值为()A.B.C.D.242545341225答案答案A如图,连接AC交BD于点O,过点D作DFBE于点F.BD平分ABC,ABD=CBD.四边形ABCD是平行四边形,BCAD,ADB=CBD.ABD=ADB.AB=AD.ABCD是菱形.AO垂直平分BD.DEBD,OCDE.OC=DE=6=3.菱形ABCD的面积为24,BD=8.BO=4.BC=DC=5.由平行四边形面积公式可得S ABCD=DFBC=24,DF=.在RtDCF中,sinDCF=,即sinDCE=.1212245DFDC242524252.(2018日照,1,3分)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD
7、相交于点O,AO=CO,BO=DO,添加下列条件,不能判定四边形ABCD是菱形的是()A.AB=ADB.AC=BDC.ACBDD.ABO=CBO答案答案BAO=CO,BO=DO,四边形ABCD是平行四边形.当AB=AD时,根据邻边相等的平行四边形是菱形,能判定四边形ABCD是菱形;当AC=BD时,根据对角线相等的平行四边形是矩形,不能判定四边形ABCD是菱形;当ACBD时,根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形,能判定四边形ABCD是菱形;当ABO=CBO时,由ADBC知ADB=DBC,ABO=ADO,AB=AD,四边形ABCD是菱形.故选B.方法规律方法规律判定菱形的思路(1)已知一组邻边相等
8、证四边形是平行四边形;(2)已知对角线互相垂直证四边形是平行四边形;(3)已知平行四边形(4)已知四边形证四条边相等.,;证一组邻边相等证对角线互相垂直3.(2017莱芜,9,3分)如图,菱形ABCD的边长为6,ABC=120,M是BC边的一个三等分点,P是对角线AC上的动点,当PB+PM的值最小时,PM的长是()A.B.C.D.722 733 55264答案答案A连接BD、DM,DM交AC于点P,则此时PB+PM的值最小.过点D作DFBC于点F,过点M作MEBD交AC于点E.ABC=120,BCD=60.易知CM=2,DC=BC,BCD是等边三角形.BF=CF=BC=3.12MF=CF-CM
9、=3-2=1,DF=CF=3.DM=2.MEBD,CEMCOB,=.又OB=OD,=.MEBD,PEMPOD,=.PM=DM=2=.故选A.3322(3 3)17MEOBCMBC2613MEOD13PMPDMEOD131414772一题多解一题多解作点M关于AC的对称点M,连接BM交AC于点P,此时PB+PM的值最小.过点B作BECD于E.可求得CE=3,则EM=1.利用勾股定理可得BM=2.利用相似三角形的性质可得PM=,则PM=.77272解题关键解题关键本题考查了菱形的性质,相似三角形的判定与性质,解直角三角形.解题的关键是确定“动点P在什么位置时,PB+PM的值最小”.4.(2020德
10、州,16,4分)菱形的一条对角线长为8,边长是方程x2-9x+20=0的一个根,则该菱形的周长为.答案答案20解析解析设菱形ABCD,易知AB=BC=CD=AD,整理方程得(x-4)(x-5)=0,解得x=4或x=5.当边长为4时,4+4=8,不能构成三角形;当边长为5时,满足题意,菱形ABCD的周长=45=20.思路分析思路分析设菱形ABCD,解方程得出x=4或x=5,当边长为4时,4+4=8,不能构成三角形;当边长为5时,满足题意,即可得出菱形ABCD的周长.5.(2020滨州,23,12分)如图,过 ABCD的对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线,分别交边AB、BC、CD、DA于
11、点P、M、Q、N.(1)求证:PBE QDE;(2)顺次连接点P、M、Q、N,求证:四边形PMQN是菱形.证明证明(1)四边形ABCD是平行四边形,EB=ED,ABCD,EBP=EDQ,在PBE和QDE中,EBPEDQEBEDBEPDEQ PBE QDE(ASA).(2)PBE QDE,EP=EQ,同理可证BME DNE(ASA),EM=EN,四边形PMQN是平行四边形,PQMN,四边形PMQN是菱形.6.(2019聊城,21,8分)在菱形ABCD中,点P是BC边上一点,连接AP,点E,F是AP上的两点,连接DE,BF,使得AED=ABC,ABF=BPF.求证:(1)ABF DAE;(2)DE
12、=BF+EF.证明证明(1)四边形ABCD是菱形,AB=AD,ADBC,BPA=DAE,ABC=AED,BAF=ADE,ABF=BPF,BPA=DAE,ABF=DAE,AB=DA,ABF DAE(ASA).(2)ABF DAE,AE=BF,DE=AF,AF=AE+EF=BF+EF,DE=BF+EF.7.(2019滨州,24,13分)如图,矩形ABCD中,点E在边CD上,将BCE沿BE折叠,点C落在AD边上的点F处,过点F作FGCD交BE于点G,连接CG.(1)求证:四边形CEFG是菱形;(2)若AB=6,AD=10,求四边形CEFG的面积.解析解析(1)证明:由题意可得,BCE BFE,BEC
13、=BEF,FE=CE,FGCE,FGE=CEB,FGE=FEG,FG=FE,FG=EC,四边形CEFG是平行四边形,又CE=FE,四边形CEFG是菱形.(2)在矩形ABCD中,AB=6,AD=10,BC=BF,BAF=90,AD=BC=BF=10,AF=8,DF=2,设EF=x,则CE=x,DE=6-x,FDE=90,22+(6-x)2=x2,解得x=,CE=,四边形CEFG的面积是CEDF=2=.103103103203思路分析思路分析(1)根据题意和翻折的性质,可以得到BCE BFE,再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立;(2)根据题意和勾股定理,可以求得AF的长,进而求
14、得EF和DF的长,从而可以得到四边形CEFG的面积.考点三正方形1.(2020威海,11,3分)如图,在 ABCD中,对角线BDAD,AB=10,AD=6,O为BD的中点,E为边AB上一点,直线EO交CD于点F,连接DE,BF.下列结论不成立的是()A.四边形DEBF为平行四边形B.若AE=3.6,则四边形DEBF为矩形C.若AE=5,则四边形DEBF为菱形D.若AE=4.8,则四边形DEBF为正方形答案答案DO为BD的中点,OB=OD,四边形ABCD为平行四边形,DCAB,CDO=EBO,DFO=OEB,FDO EBO,OE=OF,四边形DEBF为平行四边形.故A中结论成立.若AE=3.6,
15、AD=6,=,又=,=,DAE=BAD,DAEBAD,AED=ADB=90,DEB=90.AEAD3.6635ADAB61035AEADADAB四边形DEBF是矩形,故B中结论成立.若AE=5,AB=10,BE=5,又ADB=90,DE=AB=5,DE=BE,四边形DEBF为菱形.故C中结论正确.易知若AE=4.8,四边形DEBF不可能是正方形.故D中结论不成立.122.(2017济南,13,3分)如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AD=3,E为OC上一点,OE=1.连接BE,过点A作AFBE于点F,与BD交于点G,则BF的长为()A.B.2C.D.23 10523 543 2
16、2答案答案A四边形ABCD是正方形,OA=OB,AOB=BOC=90.AFBE,BFG=AOG=90,又BGF=AGO,OAG=OBE,AOG BOE.OG=OE=1.AD=3,AC=AD=6,AO=3,AE=4,BG=2.在RtAOG中,由勾股定理,得AG=.BFG=AOG,AGO=BGF,2210AGOBGF,=,=,解得BF=.BFAOBGAG3BF2103 105易错警示易错警示本题易错点:一是不能从复杂的图形中寻找到全等三角形和相似三角形,导致无法解答;二是对正方形的性质运用不够好,求不出相关线段的长;三是因粗心大意,计算上出错.方法规律方法规律正方形具有平行四边形、矩形和菱形的一切
17、性质;正方形四边相等,对边平行,邻边垂直;四个角都是直角;对角线互相垂直平分且相等,且每一条对角线平分一组对角.3.(2016淄博,8,4分)如图,正方形ABCD的边长为10,AG=CH=8,BG=DH=6,连接GH.则线段GH的长为()A.B.2C.D.10-58 3521452答案答案B如图,延长BG交CH于点E,AG=CH=8,BG=DH=6,AB=CD=10,ABG CDH(SSS).AG2+BG2=82+62=102=AB2,ABG是直角三角形,且AGB=90.同理,DHC是直角三角形,且DHC=90.1=5,2=6,AGB=CHD=90,1+2=90,5+6=90,又2+3=90,
18、4+5=90,1=3=5,2=4=6,AB=BC,ABG BCE(ASA).BE=AG=8,CE=BG=6,BEC=AGB=90.GE=BE-BG=8-6=2.同理可得HE=2.在RtGHE中,GH=2.22GEHE22222一题多解一题多解过点G作EFAB,过点H作HFAB交EF于F.AG2+BG2=82+62=102=AB2,ABG是直角三角形,且AGB=90.同理,DHC是直角三角形,且DHC=90.EG=4.8,GF=10-24.8=0.4.又易求得BE=3.6,HF=10-23.6=2.8.HG=2.故选B.6 8106 610222.80.424.(2020枣庄,17,4分)如图,
19、E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,AC=8,AE=CF=2,则四边形BEDF的周长是.答案答案85解析解析连接BD交AC于点O,由正方形的性质知,BDAC,OD=OB=OA=OC,AE=CF=2,OA-AE=OC-CF,即OE=OF,四边形BEDF为平行四边形,又BDEF,四边形BEDF为菱形,DE=DF=BE=BF,AC=BD=8,OE=OF=2,在RtOED中,DE=2,四边形BEDF的周长=4DE=42=8.8-4222ODOE22425555.(2019济南,18,4分)如图,在矩形纸片ABCD中,将AB沿BM翻折,使点A落在BC上的点N处,BM为折痕,连接MN;再将CD沿C
20、E翻折,使点D恰好落在MN上的点F处,CE为折痕,连接EF并延长交BM于点P,若AD=8,AB=5,则线段PE的长等于.答案答案203解析解析过点P作PGFN,PHBN,垂足分别为G、H,由折叠得四边形ABNM是正方形,AB=BN=NM=MA=5,CD=CF=5,D=CFE=90,ED=EF,NC=MD=8-5=3,在RtFNC中,FN=4,MF=5-4=1.在RtMEF中,设EF=x,则ME=3-x,由勾股定理得,12+(3-x)2=x2,解得x=.CFN+PFG=90,PFG+FPG=90,CFN=FPG,又FNC=PGF=90,225-353FNCPGF,FG PG PF=NC FN F
21、C=3 4 5.设FG=3m,则PG=4m,PF=5m,GN=PH=BH=4-3m,HN=5-(4-3m)=1+3m=PG=4m,解得m=1,PF=5m=5,PE=PF+FE=5+=.53203思路分析思路分析由折叠易知四边形ABNM是正方形,CD=CF=5,D=CFE=90,ED=EF,计算可得三角形FNC的三边长分别为3,4,5,在RtMEF中,由勾股定理可求三边长,通过作辅助线,可证FNCPGF,三边长之比为3 4 5,设未知数,通过PG=HN,列方程求出未知数,进而求出PF的长,然后求PE的长.6.(2019临沂,25,11分)如图,在正方形ABCD中,E是DC边上一点(与D、C不重合
22、),连接AE,将ADE沿AE所在的直线折叠得到AFE,延长EF交BC于G,连接AG,作GHAG,与AE的延长线交于点H,连接CH.显然AE是DAF的平分线,EA是DEF的平分线.仔细观察,请逐一找出图中其他的角平分线(仅限于小于180的角平分线),并说明理由.解析解析过点H作HNBM于N,则HNC=90,四边形ABCD为正方形,AD=AB=BC,D=DAB=B=DCB=DCM=90.将ADE沿AE所在的直线折叠得到AFE,ADE AFE,D=AFE=AFG=90,AD=AF,DAE=FAE,AF=AB,又AG=AG,RtABG RtAFG(HL),BAG=FAG,AGB=AGF,AG是BAF的
23、平分线,GA是BGF的平分线.由知,DAE=FAE,BAG=FAG,又BAD=90,GAF+EAF=90=45,即GAH=45,GHAG,GHA=90-GAH=45,AGH为等腰直角三角形,AG=GH,AGB+BAG=90,AGB+HGN=90,12BAG=NGH,又B=HNG=90,AG=GH,ABG GNH(AAS),BG=NH,AB=GN,BC=GN,BC-CG=GN-CG,BG=CN,CN=HN,DCM=90,NCH=NHC=90=45,12DCH=DCM-NCH=45,DCH=NCH,CH是DCN的平分线.AGB+HGN=90,AGF+EGH=90,且由知,AGB=AGF,HGN=E
24、GH,GH是EGM的平分线.综上所述,AG是BAF的平分线,GA是BGF的平分线,CH是DCN的平分线,GH是EGM的平分线.思路分析思路分析过点H作HNBM于N,利用正方形的性质及轴对称的性质,证明ABG AFG,可推出AG是BAF的平分线,GA是BGF的平分线;证明ABG GNH,推出HN=CN,得到DCH=NCH,推出CH是DCN的平分线;再证HGN=EGH,可知GH是EGM的平分线.B组20162020年全国中考题组考点一矩形1.(2019重庆A卷,5,4分)下列命题正确的是()A.有一个角是直角的平行四边形是矩形B.四条边相等的四边形是矩形C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形D.对角
25、线相等的四边形是矩形答案答案A有一个角是直角的平行四边形是矩形,A选项正确;四条边相等的四边形是菱形,B选项错误;有一组邻边相等的平行四边形是菱形,C选项错误;对角线相等的平行四边形是矩形,D选项错误.故选A.2.(2019广西桂林,11,3分)将矩形ABCD按如图所示的方式折叠,BE,EG,FG为折痕,若顶点A,C,D都落在点O处,且点B,O,G在同一条直线上,同时点E,O,F在另一条直线上,则的值为()A.B.C.D.ADAB652323答案答案B在矩形ABCD中,A=D=90,AB=CD.由折叠的性质可得点E、G分别为AD、DC的中点,AEB=BEO,OEG=GED,AB=OB,DG=O
26、G,AE=DE=AD,DG=CG=CD=AB,BEG=90.在RtABE中,BE2=AB2+AE2=AB2+.在RtEDG中,EG2=ED2+DG2=+.在RtBEG中,BE2+EG2=BG2,即AB2+=,整理得=2,即=.12121222AD22AD22AB22AD22AD22AB22ABAB22ADABADAB23.(2017安徽,10,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.动点P满足SPAB=S矩形ABCD.则点P到A,B两点距离之和PA+PB的最小值为()A.B.C.5D.13293424113224541答案D如图,过P点作MN,使MNAB,作A点关于MN的对称点A1,
27、连接PA1,A1B,则PA1=PA,设点P到AB的距离为h,由AB=5,AD=3,SPAB=S矩形ABCD可得h=2,则AA1=4,因为PA+PB=PA1+PBA1B,所以当P为A1B与MN的交点时,PA+PB最小,其最小值为=,故选D.疑难突破疑难突破本题的突破口是根据SPAB=S矩形ABCD推出P点是在平行于AB的线段上运动,从而想到利用轴对称的性质将问题转化.134.(2020云南,6,3分)已知四边形ABCD是矩形,点E是矩形ABCD的边上的点,且EA=EC.若AB=6,AC=2,则DE的长是.10答案答案或832 343解析解析四边形ABCD是矩形,DC=AB=6,ADC=90,在R
28、tADC中,AD=2.当点E在DC边上时,如图1,设EA=EC=x,则DE=6-x,在RtADE中,AD2+DE2=AE2,22+(6-x)2=x2,x=,DE=.图122-AC DC40-3610383当点E在AB边上时,如图2,易求得AE=,在RtADE中,DE=.DE的长为或.图210322AEAD2 343832 343解后反思解后反思本题主要考查矩形的性质,勾股定理以及分类讨论的思想,因为点E的位置不确定,需根据EA=EC,讨论点E在边AB和边DC上的情况,分别求DE的长.5.(2018江苏连云港,22,10分)如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE、BA交于点F,连接AC、
29、DF.(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;(2)当CF平分BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.解析解析(1)证明:因为四边形ABCD是矩形,所以ABCD,所以FAE=CDE.因为E是AD的中点,所以AE=DE.又因为FEA=CED,所以FAE CDE,所以CD=FA.又因为CDFA,所以四边形ACDF是平行四边形.(2)BC=2CD.因为CF平分BCD,所以DCE=45.因为CDE=90,所以CDE是等腰直角三角形,所以CD=DE.因为E是AD的中点,所以AD=2CD.因为AD=BC,所以BC=2CD.思路分析思路分析(1)由题意知AFDC,AE=ED,根据平行四边形的判定条件
30、,通过证明FAE CDE得到CD=FA,即可证明四边形ACDF是平行四边形;(2)因为CF平分BCD,所以DCE=45,可得CDE是等腰直角三角形,从而BC=AD=2ED=2CD.考点二菱形1.(2019广西玉林,7,3分)菱形不具备的性质是()A.轴对称图形B.中心对称图形C.对角线互相垂直D.对角线一定相等答案答案D菱形的性质主要有四边相等;对边平行且相等;对角相等;对角线互相平分且垂直,且平分每一组对角;既是轴对称图形又是中心对称图形.因此A、B、C选项均是菱形具有的性质,而D选项不是菱形的性质,故选D.2.(2019贵州贵阳,4,3分)如图,菱形ABCD的周长是4cm,ABC=60,那
31、么这个菱形的对角线AC的长是()A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm答案答案A由已知及菱形四条边都相等可知AB=BC=1cm,因为ABC=60,所以三角形ABC为等边三角形,所以AC=AB=1cm,故选A.3.(2020宁夏,5,3分)如图,菱形ABCD的边长为13,对角线AC=24,点E、F分别是边CD、BC的中点,连接EF并延长与AB的延长线相交于点G,则EG=()A.13B.10C.12D.5答案答案B连接BD交AC于点O.在菱形ABCD中,ACBD,且OC=OA=12,在RtDOC中,OD=5,BD=10.又E、F分别是CD、BC的中点,EF=BD=5.易得EFC GFB,EF=F
32、G,EG=10.22-DC OC2213-12124.(2019广西梧州,18,3分)如图,在菱形ABCD中,AB=2,BAD=60,将菱形ABCD绕点A按逆时针方向旋转,对应得到菱形AEFG,点E在AC上,EF与CD交于点P,则DP的长是.答案答案-13解析解析在菱形ABCD中,AB=BC=CD=2,ABCD,BAD=60,BAC=BAD=30=ACD.由旋转知在菱形AEFG中,EAG=60,EFAG,AE=AB=2,CEF=EAG=60,EPC=180-CEF-ACD=180-60-30=90.连接BD,交AC于点O,则ACBD且AC=2AO.12AO=ABcos30=,AC=2,EC=2
33、-2,在RtECP中,PC=ECcos30=(2-2)=3-,DP=DC-PC=2-(3-)=-1.3333323335.(2019北京,14,2分)把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形,将这四个直角三角形分别拼成如图2,图3所示的正方形,则图1中菱形的面积为.答案答案12解析解析设题图1中一个小直角三角形的两条直角边长分别为a,b,则由题图2,题图3可列方程组解得所以题图1中菱形的面积为46=12.5,-1,aba b3,2.ab12解题关键解题关键解决本题的关键是要分析题目中已知的“5”和“1”是由怎样的线段构成的.6.(2020广西北部湾经济区,18,3分)如图,在边长为2的菱
34、形ABCD中,C=60,点E,F分别是AB,AD上的动点,且AE=DF,DE与BF交于点P.当点E从点A运动到点B时,则点P的运动路径长为.3答案答案43解析解析连接BD,由菱形的性质及C=60,可知BCD、ABD均为等边三角形,故BD=AD,且BDF=A=60,又AE=DF,故在E、F运动过程中,BDF DAE,即DBF=ADE,因此DBF+BDP始终等于60,即BPD始终等于120,又C=60,因此B、C、D、P四点共圆,故点P的运动路径为以等边三角形BCD的中心O为圆心,OB为半径的圆的一部分,即,延长BO交CD于G,易证DG=CD=,ODG=BDC=30,故OB=OD=2,且BOD=1
35、20,l=.即点P的运动路径长为.BD12312332BD120 218043437.(2018新疆乌鲁木齐,18,10分)如图,在四边形ABCD中,BAC=90,E是BC的中点,ADBC,AEDC,EFCD于点F.(1)求证:四边形AECD是菱形;(2)若AB=6,BC=10,求EF的长.解析解析(1)证明:ADBC,AEDC,四边形AECD是平行四边形.BAC=90,E是BC的中点,AE=BC=CE,四边形AECD是菱形.(2)过点A作AHBC于点H,12BAC=90,AB=6,BC=10,AC=8,SABC=BCAH=ABAC,AH=.点E是BC的中点,BC=10,四边形AECD是菱形,
36、CD=CE=5.S AECD=CEAH=CDEF,EF=AH=.1212245245思路分析思路分析(1)先证四边形AECD是平行四边形,再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证四边形AECD是菱形;(2)过点A作AHBC于点H,由三角形的面积公式求出AH,再由平行四边形的面积公式求出EF.8.(2020北京,21,6分)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,EFAB,OGEF.(1)求证:四边形OEFG是矩形;(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长.解析解析(1)证明:菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DO=BO,E是AD的中
37、点,EOAB,EFOG,四边形OEFG是平行四边形,EFAB,EFB=90,四边形OEFG是矩形.(3分)(2)四边形ABCD是菱形,ACBD,AB=AD=10.在RtAOD中,E为AD的中点,AE=AD=5,OE=AD=5.EF=4,在RtAFE中,AF=3.四边形OEFG是矩形,FG=EO=5,BG=AB-AF-FG=2.(6分)121222-AE EF225-4思路分析思路分析本题第(1)问首先需要借助中位线定理推出OEAB,然后利用有一个角是90的平行四边形是矩形来判定;第(2)问需要利用勾股定理及矩形和菱形的性质求解.解题关键解题关键解决本题的关键是发现题目中有多个中点(点E是AD的
38、中点,点O是BD的中点),同时利用与中点有关的性质(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,中位线定理)来解决.考点三正方形1.(2018天津,11,3分)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下列线段的长等于AP+EP最小值的是()A.ABB.DEC.BDD.AF答案答案D在正方形ABCD中,连接CE、PC.点A与点C关于直线BD对称,AP=CP,AP+EP的最小值为EC.E,F分别为AD,BC的中点,DE=BF=AD.12AB=CD,ABF=ADC=90,ABF CDE.AF=CE.故选D.思路分析思路分析点A关于直线BD的对称点为点C,连接CE
39、,AP+EP的最小值就是线段CE的长;通过证明CDEABF,得CE=AF,即可得到PA+PE的最小值等于线段AF的长.2.(2019新疆,9,5分)如图,正方形ABCD的边长为2,点E是BC的中点,AE与BD交于点P,F是CD上一点,连接AF分别交BD,DE于点M,N,且AFDE,连接PN,则以下结论中:SABM=4SFDM;PN=;tanEAF=;PMNDPE.正确的是()A.B.C.D.2 651534答案答案A正方形ABCD的边长为2,点E是BC的中点,AB=BC=CD=AD=2,ABC=C=ADF=90,CE=BE=1.AFDE,易证ADF DCE,DF=CE=1,ABDF,ABMFD
40、M,=4,SABM=4SFDM,故正确.由勾股定理可知AF=DE=AE=,ADDF=AFDN,ABMFDMSS2ABDF221251212DN=,EN=,AN=,tanEAF=,故正确.过点P作PHAN于点H.BEAD,=2,PA=,sinEAF=,PH=PAsinEAF=,2 553 5522-AD DN4 55ENAN34PAPEADBE2 53ENAE352 55PHEN,=,AH=,HN=,PN=,故正确.PNDN,DPNPDE,PMN与DPE不相似,故错误.故选A.AHANPAAE23234 558 5154 51522PHNH2 6515思路分析思路分析利用ABMFDM及相似三角形
41、的性质即可解决问题;作PHAN于H,根据平行线分线段成比例定理,求AP,AH的长,进一步得PH,HN的长,由勾股定理即可求出PN的长;分别求出EN,AN的长即可判断;证明DPNPDE即可判断.3.(2019陕西,14,3分)如图,在正方形ABCD中,AB=8,AC与BD交于点O,N是AO的中点,点M在BC边上,且BM=6,P为对角线BD上一点,则PM-PN的最大值为.答案答案2解析解析作点N关于直线BD的对称点G,连接MG并延长交BD于点P,此时PM-PN有最大值,最大值为线段GM的长.点N为OA的中点,点G为OC的中点,过点O作OHBC,由正方形的性质可知OH=HC=BC=4.BM=6,CM
42、=2,点M为CH的中点,GM为COH的中位线,GM=OH=2.12124.(2019江苏无锡,18,2分)如图,在ABC中,AB=AC=5,BC=4,D为边AB上一动点(B点除外),以CD为一边作正方形CDEF,连接BE,则BDE面积的最大值为.5答案答案8解析解析过点C作CGBA交BA的延长线于点G,过点E作EHBG于点H,过点A作AMBC于点M.AB=AC=5,BC=4,BM=CM=2,易证AMBCGB,=,即=,55BMGBABCB2 5GB54 5GB=8.设BD=x(00),则AD=2x,将矩形ABCD对折,得到折痕MN,CN=DM=AD=x,CM=x,PMC=90,MNPC,CM2
43、=CNCP,2212222DMCD3CP=x,PN=CP-CN=x,PM=x,=,PC=MP,故错误.PC=x,PB=2x-x=x,=,PB=AB,故正确.CD=CE,EG=AB,AB=CD,CE=EG,CEM=G=90,232xx322222MNPN62PCPM3262xx333223222ABPB22xx22FEPG,CF=PF,PMC=90,CF=PF=MF,点F是CMP外接圆的圆心,故正确.故选B.3.(2019陕西,8,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=6.若点E、F分别在AB、CD上,且BE=2AE,DF=2FC,G、H分别是AC的三等分点,则四边形EHFG的面积为()
44、A.1B.C.2D.432答案答案C在矩形ABCD中,AD=BC=6,AB=CD=3,BE=2AE,E是AB的三等分点(靠近点A),G是AC的三等分点(靠近点A),EGBC且EG=BC=2.同理可得HFAD且HF=AD=2.四边形EHFG为平行四边形.又EG与HF间的距离为AB,S四边形EHFG=2AB=2.13131313思路分析思路分析首先证明EGBC,EG=BC,同理可得FHAD,FH=AD,进而可得四边形EHFG为平行四边形,然后求出平行四边形的底和高即可得解.13134.(2019广西百色,18,3分)四边形具有不稳定性.如图,矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形ABCD,当变形后
45、图形面积是原图形面积的一半时,则A=.答案答案30解析解析过B作BEAD于E.S矩形ABCD=2S ABCD且AD=AD,AB=2BE,又AB=AB,AB=2BE.在RtABE中,sinA=,A=30.BEAB12思路分析思路分析过B作AD的垂线段BE,则有BE=AB=AB,由此求得sinA=,故A=30.1212125.(2018四川成都,14,4分)如图,在矩形ABCD中,按以下步骤作图:分别以点A和C为圆心,以大于AC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;作直线MN交CD于点E.若DE=2,CE=3,则矩形的对角线AC的长为.12答案答案30解析解析如图,连接AE,由作图方法得MN垂直平分
46、AC,EA=EC=3.在RtADE中,AD=.在RtADC中,AC=.22-AE DE223-2522ADDC22(5)530思路分析思路分析连接AE,根据题中的作图方法,可得MN垂直平分AC,则EA=EC=3,用勾股定理先计算出AD,再计算出AC,得解.6.(2018内蒙古通辽,22,7分)如图,ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于F,且AF=CD,连接CF.(1)求证:AEF DEB;(2)若AB=AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.解析解析(1)证明:E是AD的中点,AE=DE,又AFBC,AFE=DBE,EAF=EDB,AEF
47、DEB.(2)四边形ADCF是矩形,证明:AFCD,且AF=CD,四边形ADCF是平行四边形,AEF DEB,AF=BD,BD=CD,即AD是ABC的中线,AB=AC,ADBC,ADC=90,四边形ADCF是矩形.思路分析思路分析(1)先根据E是AD的中点,得AE=DE,再根据两直线平行,内错角相等求出AFE=DBE,然后利用“AAS”证明三角形全等即可;(2)先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ADCF是平行四边形,再根据一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可.考点二菱形1.(2018陕西,8,3分)如图,在菱形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中
48、点,连接EF、FG、GH和HE.若EH=2EF,则下列结论正确的是()A.AB=EFB.AB=EFC.AB=2EFD.AB=EF235答案答案D如图,连接AC、BD交于O,四边形ABCD是菱形,ACBD,OA=OC,OB=OD,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点,EF=AC,EH=BD,EH=2EF,1212BD=2AC,OB=2OA,AB=OA,易知OA=EF,AB=EF,故选D.22OBOA55思路分析思路分析首先根据菱形的性质得到ACBD,OA=OC,OB=OD,然后根据三角形中位线定理得出EF=AC,EH=BD,进而得到OB=2OA,最后根据勾股定理求得AB=OA,即
49、得AB=EF.1212552.(2020辽宁营口,16,3分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,其中OA=1,OB=2,则菱形ABCD的面积为.答案答案4解析解析因为四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O,所以AC=2AO=2,BD=2OB=4,所以菱形ABCD的面积是24=4.123.(2020福建,18,8分)如图,点E,F分别在菱形ABCD的边BC,CD上,且BE=DF.求证:BAE=DAF.证明证明本小题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识,考查推理能力、空间观念与几何直观.四边形ABCD是菱形,B=D,AB=AD.在ABE和ADF中,ABADBDB
50、EDF ABE ADF,BAE=DAF.说明:本参考答案仅给出一种解法供参考.4.(2018辽宁沈阳,18,8分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,过点C作BD的平行线,过点D作AC的平行线,两直线相交于点E.(1)求证:四边形OCED是矩形;(2)若CE=1,DE=2,则菱形ABCD的面积是.解析解析(1)证明:四边形ABCD为菱形,ACBD,COD=90,CEOD,DEOC,四边形OCED是平行四边形,COD=90,平行四边形OCED是矩形.(2)4.思路分析思路分析(1)根据菱形对角线互相垂直可得COD=90,根据平行四边形及矩形的定义可证.(2)根据平行四边形对边相等,
