1、 中考数学（山东专用）第五章 圆5.2与圆有关的位置关系A组20162020年山东中考题组考点一点和圆、直线和圆的位置关系1.(2017枣庄,10,3分)如图,在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点),如果以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内,则r的取值范围为()A.2rB.r3C.r5D.5r2171721729答案答案B根据图形易知,AB=2,AC=AD=,AE=3,AF=,AG=AM=AN=5,0,DH=5x=9,x=,DF=,HF=,C=FDH,DFH=CFD,DFHCFD,HFDF3495365275=,CF=,AF=CF=,设
2、OA=OD=r,OF=r-,在RtAOF中,AF2+OF2=OA2,+=r2,解得r=10,OA=10,直径AB的长为20.DFCFFHDF3636552754854853652485236-5rB组20162020年全国中考题组考点一点和圆、直线和圆的位置关系1.(2018浙江舟山,6,3分)用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是()A.点在圆内B.点在圆上C.点在圆心上D.点在圆上或圆内答案答案D点与圆的位置关系有点在圆上,点在圆内,点在圆外三种,故“点在圆外”不成立,即“点在圆内或圆上”,故选D.2.(2017宁夏,15,3分)如图,点A,B,C均在66的
3、正方形网格格点上,过A,B,C三点的外接圆除经过A,B,C三点外还能经过的格点数为.答案答案5解析解析如图,分别作AB、BC的垂直平分线,两直线的交点为O,以O为圆心、OA长为半径作圆,则O即为过A,B,C三点的外接圆,由图可知,O还经过点D、E、F、G、H这5个格点.思路分析思路分析先作出过A,B,C三点的外接圆,观察图形从而得出答案.考点二切线的判定与性质1.(2019湖南益阳,9,4分)如图,PA、PB为圆O的切线,切点分别为A、B,PO交AB于点C,PO的延长线交圆O于点D,下列结论不一定成立的是()A.PA=PBB.BPD=APDC.ABPDD.AB平分PD答案答案DPA,PB是O的
4、切线,PA=PB,A中结论成立;BPD=APD,B中结论成立;ABPD,C中结论成立;PA,PB是O的切线,A,B为切点,ABPD,且AC=BC,只有当ADPB,BDPA时,AB平分PD,D中结论不一定成立.故选D.思路分析思路分析根据切线长定理得到PA=PB,APD=BPD,根据等腰三角形的性质得OPAB,根据平行四边形的性质,知只有当ADPB,BDPA时,AB平分PD,由此可判断D中结论不一定成立.2.(2019江苏苏州,5,3分)如图,AB为O的切线,切点为A.连接AO,BO,BO与O交于点C.延长BO与O交于点D,连接AD.若ABO=36,则ADC的度数为()A.54B.36C.32D
5、.27答案答案DAB为O的切线,BAO=90,AOB=90-36=54.OD=OA,OAD=ODA.AOB=DAO+ADO=54,ADO=27,即ADC=27.故选D.3.(2019广西河池,16,3分)如图,PA,PB是O的切线,A,B为切点,OAB=38,则P=.答案答案76解析解析连接OB.PA,PB是O的切线,A,B为切点,OAAP,OBBP,OAP=OBP=90.又OA=OB,OAB=OBA=38,AOB=180-38-38=104,在四边形OAPB中,P=360-104-90-90=76.一题多解一题多解连接OB.PA,PB与O相切,A,B为切点,PA=PB,OAP=OBP=90.
6、又OAB=38,BAP=ABP=90-38=52.P=180-BAP-ABP=180-52-52=76.4.(2019江苏南京,14,2分)如图,PA、PB是O的切线,A、B为切点,点C、D在O上.若P=102,则A+C=.答案答案219解析解析连接AB,PA、PB是O的切线,PA=PB,P=102,PAB=PBA=(180-102)=39,DAB+C=180,PAD+C=PAB+DAB+C=39+180=219.125.(2020新疆,22,11分)如图,在O中,AB为O的直径,C为O上一点,P是的中点,过点P作AC的垂线,交AC的延长线于点D.(1)求证:DP是O的切线;(2)若AC=5,
7、sinAPC=,求AP的长.BC513解析解析(1)证明:连接OP.P是的中点,=,DAP=BAP,又OA=OP,BAP=APO,DAP=APO,OPAD,D+OPD=180,又PDAD,D=90,OPD=90,又OP为O的半径,DP是O的切线.BCCPBP(2)连接PB,过点P作PHAB,垂足为点H,过点C作CGAP,垂足为点G.在CGP中,sinAPC=,设CG=5x,则CP=13x,DAP=PAB,PDAD,PHAB,PH=PD,D=PHB=90,P是的中点,CP=BP,CGCP513BC在RtPDC和RtPHB中,RtPDC RtPHB(HL),DPC=HPB,AC=5,CG=5x,s
8、inDAP=x,DAP=PAB,CPBPPDPHCGAC55xsinPAB=x,AB=13,OP=,DPO=APB=90,DPC+APC+APO=BPH+OPH+APO,又DPC=BPH,OPH=APC,sinOPH=sinAPC=,OH=,PH=6,AH=9,根据勾股定理得,AP=3.PBAB13xAB1325135222PHAH136.(2020陕西,23,8分)如图,ABC是O的内接三角形,BAC=75,ABC=45.连接AO并延长,交O于点D,连接BD.过点C作O的切线,与BA的延长线相交于点E.(1)求证:ADEC;(2)若AB=12,求线段EC的长.解析解析(1)证明:如图,连接O
9、C.CE与O相切于点C,OCE=90.(1分)又ABC=45,AOC=90.ADEC.(3分)(2)如图,过点A作AFEC,垂足为F.OA=OC,四边形AOCF为正方形.ABC=45,BAC=75,ACB=60.D=60.AD是直径,ABD=90,BAD=30.在RtABD中,AD=8.(6分)AF=CF=OA=4.ADEC,E=BAD=30.在RtAEF中,EF=12.EC=EF+FC=12+4.(8分)cos30AB33tan30AF3C组教师专用题组考点一点和圆、直线和圆的位置关系1.(2016湖北宜昌,13,3分)在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树,位置如图所示(图中小正方形的边长
10、均相等).现计划修建一座以O为圆心,OA为半径的圆形水池,要求池中不留树木,则E、F、G、H四棵树中需要被移除的是()A.E、F、GB.F、G、HC.G、H、ED.H、E、F答案答案A设小正方形的边长为1,OA=,OE=2OA,点E在O内,OF=2OA,点F在O内,OG=1OA,点H在O外.故E,F,G三棵树需要被移除.22125222222.(2018四川宜宾,8,3分)在ABC中,若O为BC边的中点,则必有AB2+AC2=2AO2+2BO2成立.依据以上结论,解决如下问题:如图,在矩形DEFG中,已知DE=4,EF=3,点P在以DE为直径的半圆上运动,则PF2+PG2的最小值为()A.B.
11、C.34D.1010192答案答案D设点M为DE的中点,点N为FG的中点,连接MN交半圆于点P,此时PN取最小值.DE=4,四边形DEFG为矩形,GF=DE,MN=EF,MP=FN=DE=2,NP=MN-MP=EF-MP=1,PF2+PG2=2PN2+2FN2=212+222=10,即PF2+PG2的最小值为10.12考点二切线的判定与性质1.(2018江苏常州,7,2分)如图,AB是O的直径,MN是O的切线,切点为N,如果MNB=52,则NOA的度数为()A.76B.56C.54D.52答案答案AN为切点,MNON,则MNO=90,MNB=52,BNO=38,ON=OB,BNO=B,NOA=
12、2BNO=76.故选A.2.(2019广西玉林,11,3分)如图,在RtABC中,C=90,AC=4,BC=3,点O是AB的三等分点,半圆O与AC相切,M,N分别是BC与半圆弧上的动点,则MN的最小值和最大值之和是()A.5B.6C.7D.8答案答案B设O与AC相切于点D,连接OD,过点O作OPBC于点P,交O于点F,此时垂线段OP最短,PF的最小值为OP-OF.AC=4,BC=3,C=90,AB=5.OPB=90,C=90,OPAC.点O是AB的三等分点(靠近点A),OB=AB=.=,OP=.O与AC相切于点D,ODAC.ODBC.=,OD=1.OF=1.MN的最小值为OP-OF=-1=.当
13、N在AB边上靠近A点,M与B重合时,MN经过圆心,经过圆心的弦最长,此时MN的值最大,为+1=.23103OPACOBAB2383ODBCAOAB138353103133MN的最大值与最小值之和为+=6.133533.(2020江苏苏州,14,3分)如图,已知AB是O的直径,AC是O的切线,连接OC交O于点D,连接BD.若C=40,则B的度数是.答案答案25解析解析AC是O的切线,OAC=90,C=40,AOD=50,B=AOD=25.124.(2019江苏宿迁,24,10分)在RtABC中,C=90.(1)如图1,点O在斜边AB上,以点O为圆心,OB长为半径的圆交AB于点D,交BC于点E,与
14、边AC相切于点F.求证:1=2;(2)在图2中作M,使它满足以下条件:圆心在边AB上;经过点B;与边AC相切.(尺规作图,只保留作图痕迹,不要求写出作法)解析解析(1)证明:如图,连接OF,AC是O的切线,OFAC,C=90,OFBC,1=OFB,OF=OB,OFB=2,1=2.(2)如图所示,M即为所求.(i)作ABC的平分线交AC于F点.(ii)作BF的垂直平分线交AB于M,以MB为半径作圆,M即为所求.证明:M在BF的垂直平分线上,MF=MB,MBF=MFB,又BF平分ABC,MBF=CBF,CBF=MFB,MFBC,C=90,FMAC,M与边AC相切.5.(2019枣庄,23,8分)如
15、图,在RtABC中,ABC=90,以AB为直径作O,点D为O上一点,且CD=CB,连接DO并延长交CB的延长线于点E.(1)判断直线CD与O的位置关系,并说明理由;(2)若BE=2,DE=4,求圆的半径及AC的长.解析解析(1)直线CD与O相切.理由:连接OC.CB=CD,CO=CO,OB=OD,OCB OCD(SSS),ODC=OBC=90,ODDC,DC是O的切线.(2)设O的半径为r.在RtOBE中,OE2=EB2+OB2,(4-r)2=22+r2,r=1.5,tanE=,=,CD=BC=3,在RtABC中,AC=3.圆的半径为1.5,AC的长为3.OBEBCDDE1.524CD22AB
16、BC2233226.(2020威海,22,9分)如图,ABC的外角BAM的平分线与它的外接圆相交于点E,连接BE,CE,过点E作EFBC,交CM于点D.求证:(1)BE=CE;(2)EF为O的切线.证明证明(1)四边形ACBE是圆内接四边形,EAM=EBC,AE平分BAM,BAE=EAM,BAE=BCE,BCE=EAM,BCE=EBC,BE=CE.(2)如图,连接EO并延长交BC于H,连接OB,OC,OB=OC,EB=EC,EO垂直平分BC,EHBC,EFBC,EHEF,OE是O的半径,EF为O的切线.7.(2020北京,23,6分)如图,AB为O的直径,C为BA延长线上一点,CD是O的切线,
17、D为切点,OFAD于点E,交CD于点F.(1)求证:ADC=AOF;(2)若sinC=,BD=8,求EF的长.13解析解析(1)证明:连接OD,如图.CD是O的切线,ODC=90,ADC+ADO=90.OFAD于点E,AEO=90,AE=DE,OAD+AOF=90.OA=OD,OAD=ODA,ADC=AOF.(3分)(2)在RtCDO中,sinC=.设OD=x,则OC=3x,BC=4x.AB为O的直径,ODOC13ADB=90,AEO=ADB,OFBD,COFCBD,=.BD=8,OF=8=6.AE=DE,AO=BO,OE=BD=4,EF=OF-OE=2.(6分)OFBDOCBC34xx12思
18、路分析思路分析(1)根据CD是O的切线,推出ADC+ODA=90,根据OFAD,推出AOF+OAD=90,然后根据OD=OA,可得ODA=OAD,即可得证;(2)需要借助正弦值得到线段的比,进而借助相似三角形的性质求出OF的长,再根据中位线的性质求出OE的长,即可解决.解题关键解题关键解决本题第(2)问的关键是通过三角函数值得到线段的比,借助平行得到COFCBD,由相似三角形对应边的比相等得到OF的长.8.(2020滨州,25,13分)如图,AB是O的直径,AM和BN是它的两条切线,过O上一点E作直线DC,分别交AM、BN于点D、C,且DA=DE.(1)求证:直线CD是O的切线;(2)求证:O
19、A2=DECE.证明证明(1)连接OD,OE,如图,在OAD和OED中,OAD OED(SSS),OAD=OED,AM是O的切线,OAD=90,OED=90,直线CD是O的切线.,OAOEADEDODOD(2)过D作DFBC于点F,如图,则DFB=DFC=90,AM、BN都是O的切线,ABF=BAD=90,四边形ABFD是矩形,DF=AB=2OA,AD=BF,CD是O的切线,CE=CB,DA=DE,CF=CB-BF=CE-DE,在RtDFC中,DF2=CD2-CF2,4OA2=(CE+DE)2-(CE-DE)2,即4OA2=4DECE,OA2=DECE.一题多解一题多解(2)连接OC,由(1)
20、易知OBC OEC,于是BOC=EOC,又AOD=EOD,AB为直径,所以DOC=90,由此易证DOEOCE,所以=,即OE2=DECE,又OE=OA,所以OA2=DECE.DEOEOECE9.(2019临沂,23,9分)如图,AB是O的直径,C是O上一点,过点O作ODAB,交BC的延长线于D,交AC于点E,F是DE的中点,连接CF.(1)求证:CF是O的切线.(2)若A=22.5,求证:AC=DC.证明证明(1)AB是O的直径,ACB=ACD=90,点F是ED的中点,CF=EF=DF,AEO=FEC=FCE,OA=OC,OCA=OAC,ODAB,OAC+AEO=90,OCA+FCE=90,即
21、OCFC,CF与O相切.(2)连接AD,ODAB,ACBD,AOE=ACD=90,AEO=DEC,OAE=CDE=22.5,AO=BO,AD=BD,ADO=BDO=22.5,ADB=45,CAD=ADC=45,AC=CD.A组20182020年模拟基础题组时间:25分钟分值:35分一、选择题(每小题3分,共9分)1.(2020济南槐荫模拟,6)如图,从O外一点A引圆的切线AB,切点为B,连接AO并延长交圆于点C,连接BC.若A=28,则ACB的度数是()A.28B.30C.31D.32答案答案C连接OB,如图,AB为O的切线,OBAB,ABO=90,AOB=90-A=90-28=62,ACB=
22、AOB=31.12思路分析思路分析连接OB,根据切线的性质得到ABO=90,可计算出AOB=62,然后根据圆周角定理得到ACB的度数.2.(2019聊城东阿二中模拟,6)已知O的半径为3,圆心O到直线l的距离为2,则直线l与O的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不能确定答案答案A因为O的半径为3,圆心O到直线l的距离为2,所以直线l与O的位置关系是相交.3.(2018济宁任城一模,9)如图,PA,PB是O的切线,切点分别是A,B,如果P=60,那么弦AB所对的圆周角等于()A.60B.120C.30或120D.60或120答案答案D由题意可知,ABP是等边三角形,连接OA,OB,则OA
23、B=OBA=30,AOB=120,又弦AB所对的圆周角包含优弧所对的圆周角和劣弧所对的圆周角,故弦AB所对的圆周角为60或120.ABAB易错警示易错警示本题易认为弦AB所对的圆周角只有一种情况.二、填空题(每小题3分,共6分)4.(2020菏泽郓城一模,14)如图,若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D,则C=度.答案答案45解析解析连接OD.由CD是O的切线,得ODCD,四边形ABCD是平行四边形,ABCD,ABOD,AOD=90,OA=OD,A=ADO=45,C=A=45.5.(2020滨州一模,15)直角三角形的两条直角边的长分别是5和12,则它的内切圆半径为.答案答
24、案2解析解析直角三角形的斜边长=13,易得它的内切圆半径=2.22512512-132思路分析思路分析利用勾股定理计算出斜边的长,然后利用直角三角形的内切圆半径为(其中a、b为直角边长,c为斜边长)求解.-2ab c一题多解一题多解本题也可以用面积法,即用不同的方法表示三角形的面积.连接内切圆的圆心与三个顶点,则利用(a+b+c)r=ab可计算直角三角形内切圆的半径r.1212三、解答题(共20分)6.(2019济南天桥一模,24)如图,点A是O的直径BD延长线上的点,AC与O相切于点C,AC=BC,BEAC,交AC延长线于点E.(1)求A的度数;(2)若O的半径为2,求BE的长.解析解析(1
25、)连接OC,AC与O相切于点C,ACD+DCO=90,又BD是O的直径,DCO+OCB=90,ACD=OCB,又OC=OB,ACD=OCB=DBC,AC=BC,A=DBC,A=ACD,CDB=A+ACD=2A,又CDB+DBC=90,2A+A=90,A=30.(2)DBC=A=30,DB=2CD=4,A=ACD,AD=CD,AB=3CD=6,BEAC,A=30,BE=AB=3.127.(2020济南平阴一模,23)如图,AB是O的直径,PA与O相切于点A,BP与O相交于点D,C为O上的一点,分别连接CB、CD,BCD=60.(1)求ABD的度数;(2)若AB=6,求PD的长度.解析解析(1)如
26、图,连接AD.BA是O的直径,BDA=90.BCD=60,BAD=BCD=60,ABD=90-BAD=90-60=30.(2)AP是O的切线,BAP=90.在RtBAD中,ABD=30,DA=BA=6=3.BD=3.在RtBAP中,cosABD=cos30=,BP=4.PD=BP-BD=4-3=.121222-AB AD3ABPB323333思路分析思路分析(1)由同弧所对的圆周角相等和直角三角形的性质可得结果;(2)根据切线的性质可得BAP=90,根据含30角的直角三角形的性质可计算AD的长,由勾股定理计算DB的长,由三角函数可得PB的长,从而得PD的长.B组20182020年模拟提升题组时
27、间:30分钟分值:40分一、选择题(每小题3分,共6分)1.(2020泰安新泰一模,12)将直尺、有60角的直角三角板和光盘如图摆放,A为60角与直尺的交点,B为光盘与直尺的切点,AB=4,则光盘表示的圆的直径是()A.4B.8C.6D.33答案答案B设光盘表示的圆的圆心为O,三角板与圆的切点为C,连接OA、OB,由切线长定理知,AB=AC=4,AO平分BAC,OAB=60,在RtABO中,OB=ABtanOAB=4,光盘表示的圆的直径为8.33思路分析思路分析设光盘表示的圆的圆心为O,三角板与圆的切点为C,连接OA、OB,由切线长定理得出AB=AC=4,易得OAB=60,根据OB=ABtan
28、OAB可得答案.2.(2019济宁嘉祥一模,6)如图,在RtABC中,C=90,AC=6,BC=8,O为ABC的内切圆,点D是斜边AB的中点,则tanODA=()A.B.C.D.232333答案答案D设O与AB,AC,BC分别相切于点E,F,G,连接OE,OF,OG,则OGC=OFC=OED=90,C=90,AC=6,BC=8,AB=10,O为ABC的内切圆,AF=AE,CF=CG(切线长相等),C=90,四边形OFCG是正方形,设OF=x,则CF=CG=OF=x,AF=AE=6-x,BE=BG=8-x,6-x+8-x=10,解得x=2,OF=2,AE=4,点D是斜边AB的中点,AD=5,DE
29、=AD-AE=1,又OE=OF=2,tanODA=2.故选D.OEDE二、填空题(共3分)3.(2019菏泽曹县一模,14)如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连接PM,以点P为圆心,PM长为半径作P.当P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为.答案答案3或43解析解析M为AB的中点,正方形ABCD的边长为8,BM=AM=4.设BP=x,则CP=8-x,由勾股定理可知,MP2=x2+16,P与正方形的边相切分两种情况:当P与CD相切于点C时,CP=PM,即(8-x)2=x2+16,解得x=3.当P与AD相切时,设切点为E,连接PE,则PM=PE=8,x2+16=
30、82,解得x1=4,x2=-4(不合题意,舍去).综上所述,BP的长为3或4.333思路分析思路分析分两种情形求解:当P与直线CD相切时,由CP=PM建立方程求解;当P与直线AD相切时,设切点为E,连接PE,则PE=PM=8,列方程即可求解.解后反思解后反思本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会利用参数构建方程解决问题.三、解答题(共31分)4.(2019临沂沂水二模,23)如图,已知AB是O的直径,C,D是O上两点,CDB=45,过点C作CEAB交DB的延长线于点E.(1)求证:CE是O的切线;(2)若cosCED=,BD=6,求O的
31、直径.13解析解析(1)证明:连接CO,CDB=45,COB=2CDB=90,CEAB,COB+OCE=180,OCE=90,CE是O的切线.(2)连接AD,CEAB,CED=ABD,cosCED=,BD=6,AB是O的直径,cosABD=,ADB=90,=,AB=18,即O的直径是18.1313BDAB135.(2020临沂平邑一模,23)如图,ABC内接于O,AB为直径,作ODAB交AC于点D,延长BC,OD交于点F,过点C作O的切线CE,交OF于点E.(1)求证:EC=ED;(2)如果OA=4,EF=3,求弦AC的长.解析解析(1)证明:连接OC,CE与O相切,OC是O的半径,OCCE,
32、OCA+ACE=90,OA=OC,A=OCA,ACE+A=90,ODAB,ODA+A=90,ODA=CDE,CDE+A=90,CDE=ACE,EC=ED.(2)AB为O的直径,ACB=90,在RtDCF中,DCE+ECF=90,DCE=CDE,CDE+ECF=90,CDE+F=90,ECF=F,EC=EF,EF=3,EC=DE=3,OE=5,OD=OE-DE=2,在RtOAD中,AD=2,在RtAOD和RtACB中,A=A,AOD=ACB,RtAODRtACB,=,即=,22OCEC224322OAOD22425OAACADAB4AC2 58AC=.16 556.(2020济宁嘉祥一模,20)如图,AB为O的直径,弦CDAB,E是AB延长线上一点,CDB=ADE.(1)DE是O的切线吗?请说明理由;(2)求证:AC2=CDBE.解析解析(1)DE是O的切线.理由:连接OD.CDB=ADE,ADC=EDB,CDAB,CDA=DAB,OA=OD,OAD=ODA,ADO=EDB,AB是O的直径,ADB=90,ADB=ODE=90,DEOD,DE是O的切线.(2)证明:CDAB,ADC=DAB,CDB=DBE,=,AC=BD,DCB=DAB,EDB=ADC=DAB,EDB=DCB,ACBDCDBDBE,=,BD2=CDBE,AC2=CDBE.CDBDDBBE
