1、第13课时二次函数的图象与性质课标要求1.会用描点法画出二次函数的图象,通过图象了解二次函数的性质.2.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标,说出图象的开口方向,画出图象的对称轴.3.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.4.(选学)知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.一、二次函数的概念和图象的画法知 识 梳 理一般式一般地,形如(a,b,c是常数,a0)的函数,叫做二次函数.【温馨提示】函数y=ax2+bx+c未必是二次函数,当时,y=ax2+bx+c是二次函数顶点式y=a(x-h)2+k(a0),函数图象
2、的对称轴为直线,顶点坐标为 y=ax2+bx+ca0 x=h(h,k)（续表）图象的画法(1)用配方法化成y=a(x-h)2+k的形式;(2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点坐标;(3)在对称轴两侧利用对称性描点画图二、二次函数解析式的确定用待定系数法求二次函数的解析式时,注意解析式的设法,常见情况如下:已知所设表达式顶点+其他y=a(x-h)2+k(a0)顶点在原点:(a0)顶点在y轴上:(a0)顶点在x轴上:(a0)与x轴的两个交点(x1,0),(x2,0)+其他y=a(x-x1)(x-x2)(a0)y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2已知所设表达式与x轴的一个交点(x1,0)+对称
3、轴x=h+其他(1)y=a(x-h)2+k(a0),当对称轴为y轴时,(a0);(2)由对称轴x=h与(x1,0)求出抛物线与x轴的另一个交点(x2,0)(x2=2h-x1),设解析式y=a(x-x1)(x-x2)(a0)任意三个点y=ax2+bx+c(a0)过原点:（续表）y=ax2+ky=ax2+bx三、二次函数的性质二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a0)对称轴x=或x=(其中x1,x2为二次函数图象与x轴两个交点的横坐标)顶点坐标(1)利用顶点坐标公式求解;(2)用配方法把一般式转化为顶点式求解;(3)将对称轴x=x0代入函数解析式求解（续表）增减性四、二次函数一般式中
4、的系数与函数图象的关系a决定抛物线开口方向a0抛物线开口;a0抛物线与y轴交于正半轴;c0方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根抛物线与x轴有 个交点;=0方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根抛物线与x轴有 个交点;0(a0)ax2+bx+c0)y=ax2+bx+c(a0)的图象观察方法函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围解集_ _（续表）xx2x1xx2六、二次函数图象的平移图形表示示例【温馨提示】平移前,抛物线的解析式y=ax2+bx+c(a0)需用配方法化成y=a(x-h)2+
5、k(a0)的形式.二次函数图象平移时,二次项系数不变二次函数y=2x2+4x+3,将该函数化为顶点式为 ;(1)向左平移2个单位后的解析式为 ;(2)向右平移2个单位后的解析式为 ;y=2(x+1)2+1y=2(x+3)2+1y=2(x-1)2+1图形表示示例【温馨提示】平移前,抛物线的解析式y=ax2+bx+c(a0)需用配方法化成y=a(x-h)2+k(a0)的形式.二次函数图象平移时,二次项系数不变(3)向上平移2个单位后的解析式为;(4)向下平移2个单位后的解析式为 （续表）y=2(x+1)2+3y=2(x+1)2-1对 点 演 练题组一必会题1.2019河南已知抛物线y=-x2+bx
6、+4经过(-2,n)和(4,n)两点,则n的值为()A.-2 B.-4C.2 D.4答案 B解析答案 B解析 4条抛物线的开口方向分别为向下、向上、向上、向下,故选项A错误;4条抛物线的对称轴都为y轴,故选项B正确;4条抛物线分别有最高点、最低点、最低点、最高点,故选项C错误;任意抛物线在对称轴两侧的增减性都是相反的,故选项D错误.故选B.3.若抛物线y=-x2+4x+k的最大值为3,则k=.-1图13-1答案 x1=-2,x2=1解析5.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图13-2所示,则不等式a(x-2)2+b(x-2)+c0的解集为.图13-2答案 x5解析题组二易错题【失分点】对二
7、次函数的意义理解不透,忽略隐含条件;求最值时,易忽略抛物线顶点的特征.答案 1解析7.在-2x4这个范围内,二次函数y=x2的最大值是,最小值是.答案 160解析答案 C解析考向一二次函数的图象与性质(2)函数有最小值.当x=-1时,y有最小值-3.(3)抛物线开口向上,对称轴为直线x=-1,当x|x2-1|,则y1y2B.若|x1-1|x2-1|,则y1y2C.若|x1-1|=|x2-1|,则y1=y2D.若y1=y2,则x1=x2答案 C解析答案 0;b2-4ac0;8a+c0,正确的有()A.4个B.3个C.2个D.1个图13-3答案 B解析 考向精练6.2020鄂州如图13-4,抛物线
8、y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于点A(-1,0)和B,与y轴交于点C.下列结论:abc0,2a+b0,3a+c0,其中正确的结论个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个图13-4答案 B解析考向四二次函数与方程、不等式例5二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图13-5所示,根据图象解答下列问题:(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根;(2)写出不等式ax2+bx+c0的解集;(3)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围.图13-5解:(1)由图象可知,图象与x轴交于(1,0)和(3,0),则方程ax2+bx+c=0的两个根为1和3.例5二次函数y=a
9、x2+bx+c(a0)的图象如图13-5所示,根据图象解答下列问题:(2)写出不等式ax2+bx+c0的解集;图13-5(2)由图象可知,当1x0.例5二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图13-5所示,根据图象解答下列问题:(3)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围.图13-5(3)由图象可知,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的最大值为2,若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,则k必须小于y=ax2+bx+c(a0)的最大值,则k0;方程ax2+bx+c=0的解是x1=-3,x2=1;不等式ax2+bx+c3的解集为-2x0.其中正确结论的个数
10、是()A.4个B.3个C.2个D.1个图13-6答案 A解析8.2017徐州若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点,则b的取值范围是()A.b1C.0b1D.b0,即4-4b0,解得:b1且b0.9.2016宿迁若二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0),则方程ax2-2ax+c=0的解为()A.x1=-3,x2=-1B.x1=1,x2=3C.x1=-1,x2=3D.x1=-3,x2=1答案 C解析 二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0),方程ax2-2ax+c=0一定有一个解为:x=-1,抛物线的对称轴为直线x=1,二次函数y=ax2-2ax+c的图象
11、与x轴的另一个交点为(3,0),方程ax2-2ax+c=0的解为:x1=-1,x2=3.图13-7答案-3x1解析 抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴的一个交点坐标为(-3,0),对称轴为直线x=-1,抛物线与x轴的另一个交点为(1,0),由图象可知,当y0时,x的取值范围是-3x1.10.2020黔东南州抛物线y=ax2+bx+c(a0)的部分图象如图13-7所示,其与x轴的一个交点坐标为(-3,0),对称轴为直线x=-1,则当y0时,x的取值范围是.11.若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点,则常数m的值是.答案 0或1解析 若m=0,则函数y=2x+1,是一次函数,
12、与x轴只有一个交点;若m0,则函数y=mx2+2x+1,是二次函数.根据题意得:=4-4m=0,解得:m=1.故答案为:0或1.12.2020苏州如图13-8,二次函数y=x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A,平行于x轴的直线l与该抛物线交于B,C两点(点B位于点C左侧),与抛物线对称轴交于点D(2,-3).(1)求b的值;(2)设P,Q是x轴上的点(点P位于点Q左侧),四边形PBCQ为平行四边形.过点P,Q分别作x轴的垂线,与抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2).若|y1-y2|=2,求x1,x2的值.图13-812.2020苏州如图13-8,二次函数y=x2+bx的图象与x轴正半
13、轴交于点A,平行于x轴的直线l与该抛物线交于B,C两点(点B位于点C左侧),与抛物线对称轴交于点D(2,-3).(1)求b的值;图13-8(2)设P,Q是x轴上的点(点P位于点Q左侧),四边形PBCQ为平行四边形.过点P,Q分别作x轴的垂线,与抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2).若|y1-y2|=2,求x1,x2的值.图13-8考向五二次函数的图象与几何变换例6在平面直角坐标系中,先将抛物线y=2x2-4x关于y轴作轴对称变换,再将所得的抛物线绕它的顶点旋转180,那么经两次变换后所得的新抛物线的函数表达式为()A.y=-2x2-4xB.y=-2x2+4xC.y=-2x2-4x-4
14、D.y=-2x2+4x+4【方法点析】抛物线在变换中,开口大小未变,只是位置或开口方向发生改变,解与此相关问题的关键是:确定变换前后顶点坐标及开口方向.答案 C解析抛物线y=2x2-4x关于y轴作轴对称变换,则所得抛物线为y=2(-x)2-4(-x)=2x2+4x.y=2x2+4x=2(x+1)2-2,将原抛物线绕顶点旋转180后,得:y=-2(x+1)2-2=-2x2-4x-4.故选C.考向精练13.在平面直角坐标系中,先将抛物线y=x2+2x-8关于y轴作轴对称变换,再将所得的抛物线关于x轴作轴对称变换,那么经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为()A.y=-x2-2x-8 B.y=-x2
15、-2x+8C.y=-x2+2x-8 D.y=-x2+2x+8答案 D解析抛物线y=x2+2x-8关于y轴作轴对称变换,则所得抛物线为y=(-x)2+2(-x)-8=x2-2x-8;抛物线y=x2-2x-8关于x轴作轴对称变换,则所得抛物线为-y=x2-2x-8,即y=-x2+2x+8.故选D.14.2020连云港一模把抛物线y=ax2+bx+c先向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,所得的图象的解析式是y=x2+6x+5,则a-b+c的值为()A.-3B.-2C.-1D.0答案 C解析y=x2+6x+5=(x+3)2-4,则其顶点坐标是(-3,-4),将其向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度后得到(-1,-1).故原抛物线的解析式是:y=(x+1)2-1=x2+2x.所以a=1,b=2,c=0.所以a-b+c=1-2+0=-1.故选C.15.2019徐州已知二次函数的图象经过点P(2,2),顶点为O(0,0),将该图象向右平移,当它再次经过点P时,所得抛物线的函数表达式为.答案 y=x2-4x+8解析图13-9答案解析
