1、第六章圆安徽中考考点过关第一节 与圆有关的概念及性质目录（安徽中考）考点 考点1 与圆有关的概念 考点2 垂径分弦 考点3 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 考点4 圆周角定理及其推论 考点5 圆内接四边形的概念和定理方法 命题角度1 圆周角定理及其推论 命题角度2 垂径分弦 命题角度3 圆内接四边形的性质微专项 利用“隐形圆”求最值考点 与圆有关的概念考点11.圆的定义如图,在平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,则另一个端点A所形成的封闭曲线叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA的长为r,叫做半径.以点O为圆心的圆,记作“O”,读作“圆O”.注注:圆也可以看成到定点的距离等于定长的
2、点的集合.与圆有关的概念考点12.圆的有关概念同心圆圆心相同、半径不同的圆叫做同心圆.等圆能够重合的两个圆叫做等圆.半圆圆的任意一条的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆.弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,用符号“”表示.大于半圆的弧叫做,如 ;小于半圆的弧叫做,如 .等弧在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.弦连接圆上任意两点的叫做弦,如弦AC.弓形由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.直径经过的弦叫做直径,如直径BC.圆心角顶点在的角叫做圆心角,如AOB.圆周角顶点在圆上,并且都与圆还有另一个交点的角叫做圆周角,如ACB.直径直径优弧优弧劣弧劣弧线段线段圆心圆心圆心圆心两边两
3、边与圆有关的概念考点13.确定圆的条件不在同一条直线上的三个点确定一个圆.4.圆的对称性(1)圆的轴对称性:圆是轴对称图形,对称轴是圆所在的平面内任意一条过圆心的直线.(2)圆的旋转对称性:圆是旋转对称图形,无论绕圆心旋转多少度,都能与自身重合,旋转中心为圆心,圆的这种性质叫做圆的旋转不变性.(3)圆的中心对称性:圆是中心对称图形,对称中心是圆心.1.因为直径是线段,而对称轴是直线,所以不能说“圆的对称轴是直径”,而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线”.2.圆的对称轴有无数条.温馨提示温馨提示垂径分弦考点21.垂径定理:垂直于弦的直径 ,并且 弦所对的两条
4、弧.注意:垂径定理使用时必须具备两个条件:一是直径;二是垂直,二者缺一不可.2.垂径定理的逆定理:平分弦(非直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.注意:定理中括号内“非直径”这三个字不能省略,否则定理不成立.平分弦平分弦平分平分圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系考点31.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 ,所对的弦相等,所 对弦的弦心距相等.2.推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所 对弦的弦心距中,有一组量相等,那么其余各组量都分别相等.可简记为:在同圆或等圆中,圆心角相等弧相等弦相等弦心距相等.注意:(1)定理(推论)成立的前提条件是“在同圆
5、或等圆中”,缺少这一前提条件 定理(推论)不成立.(2)在这个推论中,四组量中只要有一组量“不等”,其余各组量也“不等”.相等相等圆周角定理及其推论考点4定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 .常见图形 结论ACB=推论1.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角 ,相等的圆 周角所对的弧也相等.2.半圆或直径所对的圆周角是 ;90的圆周角所对的弦是 .根据圆周角定理的推论,涉及直径时,可构造直径所对的圆周角是直角来进行证明或计算.方法指导方法指导一半一半相等相等直角直角直径直径圆内接四边形的概念和定理考点5概念一个四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆的内接四边形,这个圆叫做这
6、个四边形的外接圆.定理圆内接四边形的对角,且任何一个外角都等于它的.A+BCD=，B+D=，DCE=.互补互补内对角内对角180180180180AA方法 圆周角定理及其推论命题角度1例12020浙江绍兴如图,点 A，B，C，D，E 均在O 上,BAC=15,CED=30,则BOD的度数为 ()A.45 B.60 C.75 D.90D垂径分弦命题角度2例2 2020青海已知O的直径为10 cm,AB,CD是O的两条弦,ABCD,AB=8 cm,CD=6 cm,则AB与CD之间的距离为cm.1或或7垂径分弦命题角度2提分技法提分技法圆中“铁三角”在圆中,弦的一半、过该弦端点的半径和圆心到该弦的垂
7、线段可以说是圆中的“铁三角”,它们构成了以半径为斜边的直角三角形.此类题目中常见的辅助线作法:1.连接圆心和弦的端点;2.过圆心作弦的垂线段.巧用方程思想如图,对于O中的弦长a、弦心距d、半径r、弓形高h,我们可以利用垂径定理和勾股定理由a,d,r,h中的任意两个求另外两个.圆内接四边形的性质命题角度3例3 2020安庆模拟如图,点A,B,C,D在O 上,ABCD,且AB=AC.若B=110,则 DAC的度数为.75微专项利用“隐形圆”求最值微专项51.名称由来在中考数学中,有一类高频考题,明明图形中并未出现圆,但是可以用圆的相关知识来解决问题,这类题目我们称之为“隐形圆问题”.点圆距离 在O
8、外有一点P，连接OP，交O于点B，延长PO交O于点A，则PA的长为点P到O上的点的最大距离，PB的长为点P到O上的点的最小距离.在O内有一点Q，连接OQ并延长，交O于点B，反向延长OQ交O于点A，则AQ的长为点Q到O上的点的最大距离，BQ的长为点Q到O上的点的最小距离.2.知识储备利用“隐形圆”求最值微专项5点线距离 AB是O中非直径的弦，过点O作AB的垂线CD，垂足为点H，点C在优弧AB上，点D在劣弧AB上，则CH的长为O上的点到AB的最大距离.特殊地，DH的长为劣弧AB上的点到AB的最大距离.EF是O外一条直线，过点O作EF的垂线PQ，垂足为点M，点P是MO的延长线与O的交点，点Q是线段O
9、M与O的交点，则PM的长为O上的点到EF的最大距离，QM的长为O上的点到EF的最小距离.利用“隐形圆”求最值微专项5面积最值 在O中，已知弦AB的长度，点C为优弧AB(劣弧AB)上一点(不与点A,B重合)，则当点C在线段AB的垂直平分线上时，ABC的面积最大.EF是O外一条线段，点P为O上一点，过点O作EF的垂线OM，垂足为点M，当点P在线段OM上时，PEF的面积最小，当点P在MO的延长线上时，PEF的面积最大.利用“隐形圆”求最值微专项5模型1 动点到定点定长(1)知识依据知识依据:到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆(圆的定义),如图(1).(2)模型说明模型说明:如图(2),若AB=AC
10、=AD,则点B,C,D在以点A为圆心、AB的长为半 径的圆上.利用“隐形圆”求最值微专项5例1 如图,在 ABCD中,BCD=30,BC=4,CD=,M 是 AD边的中点,N 是AB 边上一动点,将AMN 沿 MN所在直线翻折得到PMN,连接 PC,则 PC长度的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.6【思路分析】根据翻折可知,点P(动点)到点M(定点)的距离为2(定长)，故点P的运动轨迹为以点 M 为圆心、AM 的长为半径的弧，根据“知识储备”中的“点圆距离”即可判断出PC长度最小时点P的位置，由此即可求解.C利用“隐形圆”求最值微专项5模型2 直角对直径(1)知识依据知识依据:90的圆周
11、角所对的弦是直径(圆周角定理的推论).(2)模型说明模型说明:如图,在ABC中,C=90,若AB的长固定,则点C的运动轨迹为 以AB为直径的O(不含点A,B).利用“隐形圆”求最值微专项5例2 如图,在正方形 ABCD 中,BC=4,点 P 是平面 内一动点(不与点 A,D 重合),且 PAPD,则 线段BP的长度的最大值为()A.4B.C.D.【思路分析】解决此题的关键是分析出点P的运动轨迹.根据“直角对直径”模型可知,点P在以AD为直径的圆上(不含点A,D),再根据“知识储备”中的“点圆距离”可知BP最长时点P的位置,由此即可求解.5225254C利用“隐形圆”求最值微专项5模型3 定弦定
12、角(1)知识依据知识依据:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等(圆周角定理的推论).如图(1),C=D=E.(2)模型说明模型说明:在ABC中,若AB的长度及C的大小固定,则点C在确定的圆上,AB为该定圆的弦,当C为锐角时,点C在优弧AB上(不含点A,B);当C为钝角时,点C在劣弧AB上(不含点A,B),如图(2).其中,我们称AB为“定弦”,C为“定角”.利用“隐形圆”求最值微专项5例3 如图,ABC 为等边三角形,AB=2,若 P 为 ABC 内一动点,且满足PAB=ACP,则线段 PB 长度的最小值为()【思 路 分 析】因 为 P A B=A C P,P A B+P A C=6
13、0 ,所 以PAC+PCA=60,所以APC=120.AC=2(定弦),APC=120(定角),满足“定弦定角”模型,故点P在定圆(设圆心为O)上,AC为该定圆的弦,劣弧AC(不含点A,C)即为点P的运动轨迹,根据“知识储备”中的“点圆距离”可知,当点B,P,O三点共线时,PB的长度取最小值.A第六章圆安徽中考考点过关第二节 与圆有关的位置关系目录（安徽中考）考点 考点1 点与圆、直线与圆的位置关系 考点2 切线的性质与判定 考点3 三角形的外接圆与内切圆 考点4 正多边形与圆的关系方法 命题角度 与切线有关的证明与计算 考点 点与圆、直线与圆的位置关系考点11.点与圆有三种位置关系:点在圆内
14、、点在圆上、点在圆外.设圆O的半径为r,点到圆心的距离为d,则点与圆的位置关系如下表所示:点与圆的位置关系示意图d与r的大小关系点A在圆内 d r 点B在圆上d r 点C在圆外d r 点与圆、直线与圆的位置关系考点12.直线与圆有三种位置关系:相交、相切、相离.设圆O的半径为r,圆心到直线的距离为d,则直线与圆的位置关系如下表所示:位置关系相离相切相交示意图 d与r的关系d r d r d r 交点的个数没有交点有且只有一个交点有两个交点=切线的性质与判定考点21.性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.注意:(1)圆的切线与圆只有一个公共点;(2)圆心到切线的距离等于圆的半径;(3)“有切线,连
15、半径,得垂直”,这是已知圆的切线时常用的辅助线的作法.2.判定定理:经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线.注意:切线判定定理中的两个条件“经过半径的外端点”和“垂直于这条半径”,二者缺一不可.3.切线长:过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.*切线长定理2011版新课标选学内容:过圆外一点作圆的两条切线,两条切线长相等,圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.三角形的外接圆与内切圆考点3名称示意图内、外心性质三角形的外接圆 三边垂直平分线的交点称为三角形的外心.三角形的外心到三角形 的距离相等.三角形的内切圆 三条内角平分线的交点称为三角形的内心.三角形
16、的内心到三角形 的距离相等.三个顶点三个顶点三边三边三角形的外接圆与内切圆考点3提分技法提分技法直角三角形内切圆及外接圆半径长的确定直角三角形的外心为其斜边的中点,其外接圆半径R=,其内切圆半径r=(其中a,b为直角边长,c为斜边长).2cba2c正多边形与圆的关系考点4设正n边形的外接圆半径为R,边长为a.边心距r 正n边形的周长na正n边形的面积正n边形中心角的度数 正n边形每个外角的度数名师指导名师指导正六边形的边长等于其外接圆的半径;正三角形的边长等于其外接圆半径的 倍;正方形的边长等于其外接圆半径的 倍.32方法 与切线有关的证明与计算命题角度例 2020湖北咸宁如图,在RtABC中
17、,C=90,点O在AC上,以OA为半径的半圆O交AB于点D,交AC于点E,过点D作半圆O的切线DF,交BC于点F.(1)求证:BF=DF;(2)若AC=4,BC=3,CF=1,求半圆O的半径长.与切线有关的证明与计算命题角度(1)(1)证明证明:如图如图,连接连接OD.OD.DFDF是半圆是半圆O O的切线的切线,ODF=90ODF=90,ADO+BDF=90,ADO+BDF=90.OA=OD,ADO=DAO.OA=OD,ADO=DAO.C=90C=90,DAO+B=90,DAO+B=90,BDF=B,BDF=B,BF=DF.BF=DF.(2)(2)如图如图,连接连接OF,OF,设半圆设半圆O
18、 O的半径为的半径为r.r.AC=4,BC=3,CF=1,AC=4,BC=3,CF=1,OC=4-r,DF=BF=2.OC=4-r,DF=BF=2.在在RtRtOCFOCF和和RtRtODFODF中中,OC,OC2 2+CF+CF2 2=OF=OF2 2,ODOD2 2+DF+DF2 2=OF=OF2 2,OCOC2 2+CF+CF2 2=OD=OD2 2+DF+DF2 2,即即(4-r)(4-r)2 2+1+12 2=r=r2 2+2+22 2,解得解得r=.r=.故半圆故半圆O O的半径长为的半径长为 .与切线有关的证明与计算命题角度提分技法提分技法解答与圆有关的证明及计算的技巧1.圆中常
19、用的辅助线有如下几条:(1)半径:圆的半径是圆的重要元素,圆中的许多性质,如“同圆的半径相等”和“圆的切线垂直于过切点的半径”等都与圆的半径有关,连接半径是常用的添加辅助线的方法之一,常用于切线的性质及证明;(2)弦心距:在解决有关弦的问题时,常常作弦心距,以便利用垂径定理或三角函数解题;(3)构造直角三角形:在解决有关直径的问题时,常常作直径所对的圆周角,构造直角三角形求解;(4)构造相等的圆周角或圆心角需要的辅助线.2.圆内有关角的计算或证明,一要正确应用圆周角定理及推论,把不同位置的角的数量关系建立起来;二要正确应用圆心角、弦、弧之间的关系定理,把弧、弦的相等关系转化到角的相等关系上来;
20、三要 正确应用切线的性质定理,已知切线,作出过切点的半径,构造直角.第六章圆安徽中考考点过关第三节 与圆有关的计算目录（安徽中考）考点 考点1 弧长与扇形面积的计算 考点2 圆柱、圆锥的有关计算 考点3 阴影部分面积的计算方法 命题角度 与弧长、面积有关的计算 考点 弧长与扇形面积的计算考点1计算弧长必须具备两个条件半径和该弧所对的圆心角的度数，运用公式时需要注意以下三点:(1)公式的分母是180，不是360；公式的分子是nr，不是nr2；(2)公式中圆心角的度数n的单位必须是度，(3)当已知弧长，求半径或圆心角度数时，要将计算公式当作方程用.温馨提示温馨提示圆的周长 C=r为圆的半径,n为
21、所对的圆心角的度数,l是扇形OAB的弧长.扇形的弧长 l=圆的面积 S=.扇形面积 S=2rr2圆柱、圆锥的有关计算考点2名称示意图面积/周长特征圆柱 S圆柱侧=,S圆柱全=+2r2侧面展开图为矩形.圆锥 S底面圆=r2,C底面圆=2r,S圆锥侧=rl,S圆锥全=rl+r21.圆锥的轴截面是等腰三角形，圆锥的母线长l、底面圆半径r和圆锥的高h，这三个量之间的数量关系为r2+h2=l2.2.圆锥的侧面展开图是扇形.3.圆锥底面圆的周长等于其侧面展开图扇形的弧长.4.圆锥的母线长等于其侧面展开图扇形的半径.2rh2rh阴影部分面积的计算考点3图形方法规则图形直接用面积公式计算.不规则图形1.割补法;2.拼凑法;3.等积替换法.方法 与切线有关的证明与计算命题角度例 2020合肥包河区二模改编如图,AB是O的切线,切点 为点A,连接OB与O交于点E,点D,C是圆上的两点,连接 AC,DC,CE,且CA平分DCE,若AB=,B=30,则阴 影部分的面积为,的长为.
