1、教材同步复习第一部分 解题方法突破篇解题方法突破篇圆中常见辅助线的作法圆中常见辅助线的作法已知已知AB是是O的一条弦，连接的一条弦，连接OA，OB，则则AB.模型模型1连半径构造等腰三角形连半径构造等腰三角形【模型分析】【模型分析】在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件，我在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件，我们通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质及圆的相们通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质及圆的相关定理，解决角度的计算问题关定理，解决角度的计算问题例例1如图，O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CEOB.已知DOB72，则E的度数为()A
2、18B24C30D26【解题思路】【解题思路】第一步：根据圆的半径相等，可得等腰三角形；第第一步：根据圆的半径相等，可得等腰三角形；第二步：根据三角形的外角的性质，可得关于二步：根据三角形的外角的性质，可得关于E的方程；第三步：解方的方程；第三步：解方程即可得程即可得E的度数的度数B【解 答】【解 答】如如 答 图答 图，连 接，连 接 C O.C E O B C O，E COE.DCO是是EOC的外角，的外角，DCOECOE2E.OCOD，DDCO2E.DOB是是ODE的外角，的外角，DOBEDE2E3E.DOB72，3E72，E24.答图答图 1如图，点A，B，C在O上，BC6，BAC30
3、，则O的半径为_.2如图，AB是O的直径若BPQ45，OB4，则BQ_.针对训练针对训练 64答图答图 如图如图1，已知，已知AB是是O的直径，点的直径，点C是圆上一点，连接是圆上一点，连接AC，BC，则，则ACB90.如图如图2，已知，已知AB是是O的一条弦，过点的一条弦，过点O作作OEAB于点于点E，则，则OE2AE2OA2.模型模型2构造直角三角形构造直角三角形【模型分析】【模型分析】(1)如图如图1，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解决问题的重要思路周角是解决问题的重要思路(2)如图如图2，在解决求弦长、弦心距、半径，在解决求弦长、弦心距
4、、半径问题时，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，利用弦心距、半径问题时，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，利用弦心距、半径和弦长的一半组成一个直角三角形，再利用勾股定理进行计算和弦长的一半组成一个直角三角形，再利用勾股定理进行计算例例2如图，AB为O的直径，ACD是O的内接三角形，BAD3C，则C的度数为()A20B22.5C25D30【解题思路】【解题思路】第一步：连接第一步：连接BD，根据圆周角定理及其推论得到，根据圆周角定理及其推论得到ADB90，BC；第二步：根据题意列式计算即可求解；第二步：根据题意列式计算即可求解B【解答】【解答】如如答图答图，连接，连接BD.AB为为O的直
5、径，的直径，ADB90，BADB90.由圆周角定理，得由圆周角定理，得BC，BADC90.BAD3C，3CC90，解得，解得C22.5.答图答图 针对训练针对训练 B答图答图 A答图答图 答图答图 模型模型3共端点，等线段模型共端点，等线段模型【模型分析】【模型分析】出现出现“共端点，等线段共端点，等线段”时，可利用圆定义构造辅时，可利用圆定义构造辅助圆，三条线段相等，三点共圆助圆，三条线段相等，三点共圆注意事项：注意事项：(1)若有共端点的三条等线段，可考虑构造辅助圆；若有共端点的三条等线段，可考虑构造辅助圆；(2)构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题构造辅助圆是方便利用圆的性质快速
6、解决角度问题例例3如图，已知四边形ABCD中，ABCD，ABACAD4，BC2，求BD的长【解题思路】【解题思路】第一步：以点第一步：以点A为圆心，为圆心，AB长为半径作圆，延长长为半径作圆，延长BA交交A于点于点F；第二步：连接；第二步：连接DF，在，在BDF中，由勾股定理即可求出中，由勾股定理即可求出BD的长的长答图答图 8如图，已知四边形ABCD中，ABCD，且ABACADa，BCb，且2ab，求cosDBA的值针对训练针对训练 答图答图 模型模型4直角三角形共斜边模型直角三角形共斜边模型在图在图1，图，图2中，中，RtABC和和RtABD共斜边，取共斜边，取AB的中的中点点O，根据直角
7、三角形斜边中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得等于斜边一半，可得OCODOAOB，即，即A，B，C，D四点四点共圆共圆【模型分析】【模型分析】(1)共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧都会得到共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧都会得到四点共圆；四点共圆；(2)四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角相等的重要途径关系的转化，是证明角相等的重要途径之一之一例例4如图，AD，BE，CF为ABC的三条高，H为垂线，问：(1)图中有多少组四点共圆？【解题思路】【解题思路】根据圆内接四边形的对角互补和直径所对
8、的圆周角根据圆内接四边形的对角互补和直径所对的圆周角是直角即可解答是直角即可解答【解答】【解答】6组组C，D，H，E四点共圆，圆心在四点共圆，圆心在CH的中点处；的中点处；D，B，F，H四点共圆，圆心在四点共圆，圆心在BH的中点处；的中点处；A，E，H，F四点共圆，圆心在四点共圆，圆心在AH的中点处；的中点处；C，B，F，E四点共圆，圆心在四点共圆，圆心在BC的中点处；的中点处；B，A，E，D四点共圆，圆心在四点共圆，圆心在AB的中点处；的中点处；C，D，F，A四点共圆，圆心在四点共圆，圆心在AC的中点处的中点处(2)求证：ADFADE.【解题思路】【解题思路】由由B，D，H，F四点共圆和四点
9、共圆和A，B，D，E四点共圆结四点共圆结合起来求证合起来求证ADFADE.【解答】【解答】如如答图答图，由，由B，D，H，F四点共圆，得四点共圆，得ADF1.同理由同理由A，B，D，E四点共圆，得四点共圆，得ADE1.ADFADE.答图答图 9如图，BEBE，CF为ABC的高，且交于点H，连接AH并延长交BC于点D，求证：ADBC.针对训练针对训练 证明：证明：如如答图答图，连接，连接EF.RtAFH和和RtAEH共斜边共斜边AH，A，F，H，E四点共圆，四点共圆，12.RtBCF和和RtBCE共斜边共斜边BC，B，C，E，F四点共圆，四点共圆，13，23.又又3ABD90，2ABD90，ADBC.答图答图 10已知RtABC与RtACD有公共斜边AC，M，N分别是AC，BD的中点，且点M，N不重合线段MN与BD是否垂直？请说明理由解：解：线段线段MN与与BD垂直，理由如下：垂直，理由如下：当点当点B与点与点D在在AC同侧时，如同侧时，如答图答图1，连接，连接MB，MD.M为为AC的中点，的中点，AMMCBMDM，A，B，D，C四点共圆四点共圆在在BMD中，中，BMDM，N为为BD的中点，的中点，MNBD.当点当点B与点与点D在在AC异侧时，如异侧时，如答图答图2，同理可证得同理可证得MNBD.综上，所述线段综上，所述线段MN与与BD垂直垂直
