1、2023 最全的小学奥数精华讲义汇总第一讲分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。3、循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项
2、归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式知识点拨一、裂项综合（一）、“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b ，那么有1 1 (1 1)a b b a a b= (2)对于分母上为3 个或4 个连续自然数乘积形式的分数，即：1n (n +1) (n + 2)，1n (n +1) (n + 2) (n + 3)形式的，我们有：1 1 1 1 n (n 1) (n 2) 2 n (n 1) (n 1)(n 2)= + + + + +1 1 1 1 n (n 1) (n 2) (n 3) 3 n (n 1)
3、(n 2) (n 1) (n 2) (n 3)= + + + + + + + +裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1 的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1 的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2 个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）a b a b 1 1a b a b a b b a+= + = + （2）a2 b2 a2 b2 a ba b a b a b b a+= + = + 裂和型运算与裂差型运
4、算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。三、整数裂项(1) 1 2 + 23 + 3 4 + .+ (n 1)n 1 ( 1) ( 1)3= n n n +(2)1 2 3 2 3 4 3 4 5 . ( 2) ( 1) 1 ( 2)( 1) ( 1)4 + + + + n n n = n n n n +二、换元解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简三、循环小数化分数1、循环小数化分数结论：纯循环小数混
5、循环小数- 2 -分子循环节中的数字所组成的数循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字所组成的数的差分母n 个9，其中n 等于循环节所含的数字个数按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9 在0的左侧0.9a = a ； 0.99ab = ab ； 1 0.099 10 990ab = ab = ab ； 0.990abc abc a = ，2、单位分数的拆分：例：110=1 120 20+ = ( ) ( )1 + 1 = ( ) ( )1 + 1 = ( ) ( )1 + 1 = ( ) ( )1 + 1分析：分数单位的拆分，主要方法是：从分母N 的约数中任意找出两个m
6、和n,有：1 1( )( ) ( ) ( )m n m nN N m n N m n N m n+= = + + +=1 1A B+本题10 的约数有:1,10,2,5.。例如：选1 和2，有：1 1(1 2) 1 2 1 110 10(1 2) 10(1 2) 10(1 2) 30 15+= = + = + + +本题具体的解有：1 1 1 1 1 1 1 1 110 11 110 12 60 14 35 15 30= + = + = + = +例题精讲模块一、分数裂项【例1】1 1 1 1 11 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 6 7 8 9 7 8 9 10+ + + + +
7、 【解析】原式1 1 1 1 1 1 13 1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 7 8 9 8 9 10= + + + 1 1 13 1 2 3 8 9 10= 1192160=【巩固】3 3 . 31 2 3 4 2 3 4 5 17 18 19 20+ + + 【解析】原式3 1 ( 1 1 1 1 . 1 1 )3 1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 17 18 19 18 19 20= + + + 1 1 3 19 20 1 11391 2 3 18 19 20 18 19 20 6840 = = = 【例2】计算：5 7 191 2 3 2 3 4 8 9 1
8、0+ + + = 【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2相比较于2，4，6，这一公差为2 的等差数列(该数列的第n 个数恰好为n 的2 倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3 与另一个的和再进行计算原式3 2 3 4 3 161 2 3 2 3 4 8 9 10+ + += + + + 3 1 1 1 2 1 2 81 2 3 2 3 4 8 9 10 1 2 3 2 3 4 8 9 10= + + + + + + + - 3 -3 1 1 1 1 1 1
9、 1 2 1 1 12 1 2 2 3 2 3 3 4 8 9 9 10 2 3 3 4 9 10= + + + + + + + 3 1 1 2 1 1 1 1 1 12 1 2 9 10 2 3 3 4 9 10= + + + + 3 1 1 2 1 12 2 90 2 10= + 7 1 14 60 5= 2315=也可以直接进行通项归纳根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为2n + 3 ，所以( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 31 2 1 2 1 2nn n n n n n n n+= + + + + + + +， 再将每一项的( ) ( )2n +1 n +
10、2与( ) ( )3n n +1 n + 2分别加在一起进行裂项后面的过程与前面的方法相同【巩固】计算：1155 5 7 17 192 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11 + + + + （ ）【解析】本题的重点在于计算括号内的算式：5 7 17 192 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11+ + + + 这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式观察可知5 = 2 + 3，7 = 3 + 4 ，即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以
11、5 7 17 192 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11+ + + + 2 3 3 4 9 102 3 4 3 4 5 9 10 11+ + += + + + 1 1 1 1 1 13 4 2 4 4 5 3 5 10 11 9 11= + + + + + + 1 1 1 1 1 13 4 4 5 10 11 2 4 3 5 9 11= + + + + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 4 4 5 10 11 2 2 4 3 5 4 6 8 10 9 11= + + + + + + + + + 1 1 1 1 1 1 13 11 2
12、 2 10 3 11= + + 8 1 2 833 2 5 33= + + 3155=所以原式1155 31 65155= = 【巩固】计算：3 4 5 121 2 4 5 2 3 5 6 3 4 6 7 10 11 13 14+ + + + 【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5 个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数即：原式32 42 52 1221 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14= + + + + 现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可
13、以用平方差公式：32 =1 5 + 4，42 = 26 + 4 ，52 = 3 7 + 4 【解析】原式32 42 52 1221 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14= + + + + 1 5 4 2 6 4 3 7 4 10 14 41 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 + + + += + + + + - 4 -1 1 1 12 3 4 3 4 5 4 5 6 11 12 134 4 4 41 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14= + +
14、+ + + + + + + 1 1 1 1 1 1 12 2 3 3 4 3 4 4 5 11 12 12 131 1 1 1 1 11 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 3 4 5 6 10 11 12 13 11 12 13 14= + + + + + + + 1 1 1 1 12 2 3 12 13 1 2 3 4 11 12 13 14= + 1 1 1 112 2 12 13 24 11 12 13 14= + 1 77 18 11 12 13 14+= 1 18 2 11 14= 1 1 758 308 616= =【例3】1 2 3 4 92 2 3 2 3 4 2 3
15、 4 5 2 3 4 10+ + + + + 【解析】原式1 2 3 4 92 2 3 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 10= + + + + + 2 1 3 1 4 1 10 12 2 3 2 3 4 2 3 4 10 = + + + + 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 3 2 3 2 3 4 2 3 4 9 2 3 4 9 10= + + + + 1 1 36287992 3 4 9 10 3628800= = 【例4】1 1 1 11 1 2 1 2 3 1 2 100+ + + + + + + + +【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问
16、题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有1 1 21 (1 1) 1 1 22= =+ ，1 1 21 2 (1 2) 2 2 32= =+ + ，原式2 2 2 2 2 (1 1 ) 200 1 991 2 2 3 3 4 100 101 101 101 101= + + + + = = = 【巩固】2 3 4 501 (1 2) (1 2) (1 2 3) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 3 49) (1 2 3 50)+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
17、原式21 333 64610510155012251275（11 13）（13 16）（16 110）（11225 11275）12741275【巩固】2 3 4 1001 (1 2) (1 2) (1 2 3) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 99) (1 2 100)+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + 【解析】2 1 11 (1 2) 1 1 2= + +，3 1 1(1 2) (1 2 3) 1 2 1 2 3= + + + + + +，- 5 -100 1 1(1 2 99) (1 2 100) 1 2 99 1 2 100= +
18、+ + + + + + +，所以原式1 11 2 100= + +1 1 50495050 5050= =【巩固】1 2 3 101 1 2 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 9) (1 2 3 10) + + + + + + + + + + + +（ ） 【解析】原式1 ( 2 3 4 10 )1 3 3 6 6 10 45 55= + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 13 3 6 6 10 45 55= + + + + 1 1 155= 155=【例5】2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 13 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13 1+ + + + + =
19、.【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：a2 b2 = (a b) (a +b)，原式( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14= + + + + + (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 12 4 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14 2= + + + + + (1 1 ) 1 32 14 2 14= =【巩固】计算：2 2 2 2 2 2 2 23 5 7 151 2 2 3 3 4 7 8+ + + + 【解析】原式2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22
20、 1 3 2 4 3 8 71 2 2 3 3 4 7 8 = + + + + 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 12 2 3 3 4 7 8= + + + 21 18= 6364=【巩固】计算：2 2 2 2 22 2 2 2 23 1 5 1 7 1 1993 1 1995 13 1 5 1 7 1 1993 1 1995 1+ + + + + + + + + = 【解析】原式2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 23 1 5 1 7 1 1993 1 1995 1= + + + + + + + + + + 997 2 2 22 4 4 6 1994 1
21、996= + + + + 997 1 1 1 1 1 12 4 4 6 1994 1996= + + + + 997 1 12 1996= + 997 9971996=【巩固】计算：12 22 32 5021 3 3 5 5 7 99 101+ + + + = 【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为22 1，42 1，62 1，1002 1，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4 倍，所以可以先将原式乘以4 后进行计算，得出结果后除以4 就得到原式的值了- 6 -原式2 2 2 22 2 2 21 2 4 6 1004 2 1 4
22、1 6 1 100 1 = + + + + 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 14 2 1 4 1 6 1 100 1= + + + + + + + + 1 50 1 1 1 14 1 3 3 5 5 7 99 101= + + + + + 1 50 1 1 1 1 1 1 1 1 14 2 3 3 5 5 7 99 101 = + + + + + 1 50 1 1 14 2 101 = + 1 50 504 101= 12 63101=【巩固】2 2 4 4 6 6 8 8 10 101 3 3 5 5 7 7 9 9 11 + + + + 【解析】（法1）：可先找通项22 21
23、 1 1 11 1 ( 1) ( 1) na nn n n n= = + = + +原式(1 1 ) (1 1 ) (1 1 ) (1 1 ) (1 1 )1 3 3 5 5 7 7 9 9 11= + + + + + + + + + 5 1 (1 1 ) 5 5 5 52 11 11 11= + = + =（法2）：原式(2 2) (8 8) (18 18) (32 32) (50 50)3 3 5 5 7 7 9 9 11= + + + + 2 6 10 14 18 50 10 4 6 5 53 5 7 9 11 11 11= + + + + = =【例6】1 1 12 3 19991 1
24、 (1 1) (1 1) (1 1) (1 1) (1 1 )2 2 3 2 3 1999+ + + + + + + +【解析】1 11 1 2 2 ( 1 1 ) (1 1) (1 1) (1 1 ) 2 ( 1)( 2) 1 22 3 1 2n nn n n n nn+ = + = = + + + + + + + +原式(1 1) (1 1) (1 1) ( 1 1 ) 22 3 3 4 4 5 1999 2000 + + + + 100099910001 1 =【巩固】计算：1 1 1 11 2 1 2 3 1 2 2007+ + + + + + +【解析】先找通项公式1 2 2(1 1
25、 )n 1 2 ( 1) 1 an n n n n= = = + + + +原式1 1 1 12 (2 1) 3 (3 1) 2007 (2007 1)2 2 2= + + + + + + +2 2 2 21 2 2 3 3 4 2007 2008= + + + + 2 20072008= 20071004=【巩固】1 1 1 13 3 5 3 5 7 3 5 7 21+ + + + + + + + + +【解析】先找通项： ( ) ( ) ( )1 1 13 5 2 1 1 2 1 3 22n an n n n n= = =+ + + + + +，- 7 -原式1 1 1 1 1 11 3
26、2 4 3 5 4 6 9 11 10 12= + + + + + + 1 1 1 1 1 11 3 3 5 9 11 2 4 4 6 10 12= + + + + + + + 1 1 1 1 1 12 1 11 2 2 12= + 175264=【例7】1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 502 2 3 2 3 4 2 3 50+ + + + + + + + + + + + + + + + 【解析】找通项(1 )2 ( 1)(1 ) 1 ( 1) 22nn na n n n n n n+ += =+ + 原式2 3 3 4 4 5 5 6 2 3 3 4 4 5 5 64 10
27、18 28 1 4 2 5 3 6 4 7 = = ，通过试写我们又发现数列存在以上规律，这样我们就可以轻松写出全部的项，所以有原式2 3 3 4 4 5 5 6 48 49 49 50 50 511 4 2 5 3 6 4 7 47 50 48 51 49 52 = 3 50 2 231 52 26= =【例8】2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 31 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 261 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 26+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +【
28、解析】2 2 23 3 3 2 2( 1) (2 1)1 2 6 2 2 1 2 (1 1 )1 2 ( 1) 3 ( 1) 3 14nn n na n nn n n n n n n + + + += = = = + + + + +原式=2 (1 1) (1 1) (1 1) ( 1 1 )3 1 2 2 3 3 4 26 27 + + + + + =2 (1 1 ) 523 27 81 =【巩固】2 2 21 1 1 1 1 12 1 3 1 99 1 + + + 【解析】2 22 21 1 ( 1) ( 1)( 1) 1 ( 1) 1 ( 2) na n nn n n n+ += + =
29、=+ + +原式2 2 3 3 98 98 99 99(2 1) (2 1) (3 1) (3 1) (98 1) (98 1) (99 1) (99 1) = + + + + 2 2 3 3 4 4 5 5 98 98 99 99 2 99 1 493 1 4 2 5 3 6 4 99 97 100 98 1 100 50 = = = 【例9】计算：2 2 22 2 22 3 992 1 3 1 99 1 = 【解析】通项公式：( )( )( )( )( )2 2 1 1n 1 1 1 1 2n nan n n n+ += =+ + + +，原式2 2 3 3 4 4 98 98 99 99
30、(2 1) (2 1) (3 1) (3 1) (4 1) (4 1) (98 1) (98 1) (99 1) (99 1) = + + + + + 2 2 3 3 4 4 5 5 98 98 99 993 1 4 2 5 3 6 4 99 97 100 98 = 2 2 3 3 4 4 98 98 99 991 3 2 4 3 5 97 99 98 100= 2 99 991 100 50= =【巩固】计算：2 2 22 2 21 2 991 100 5000 2 200 5000 99 9900 5000+ + + = + + +- 8 -【解析】本题的通项公式为22 100 5000n
31、n n +， 没办法进行裂项之类的处理 注意到分母n2 100n + 5000 = 5000 n (100 n ) = 5000 (100 n )100 (100 n ) ，可以看出如果把n 换成100 n 的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下一个225050 5000 + 5000将项数和为100 的两项相加，得( )( ) ( )2 2 2 ( )2 22 2 2 2100 100 2 200 10000 2100 5000 100 100 100 5000 100 5000 100 5000n n n n n nn n n n n n n n + + =
32、= = + + + +，所以原式= 2 49 +1= 99（或者，可得原式中99项的平均数为1，所以原式=1 99 = 99）【例1】+ + + + + + 2 2 2 12 22 10211 211120 2114 512 324 1 【解析】虽然很容易看出2 313121 ，4 515141 可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不象分数裂项那样能消去很多项我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式，于是我们又有( 1) (2 1)61 2 312 + 2 + 2 + + n 2 n n + n +减号前面括号里的式子有10 项，减号后面括号里的式子也恰好有10 项，是不是“一个
33、对一个”呢？+ + + + + + 2 2 2 12 22 10211 211120 2114 512 324 1 + + + + +10 11 2112 3 511 2 36 120 2114 512 324 1 + + + + +20 22 2114 6 512 4 324 120 2114 512 324 1 + + + 20 22 21120 2114 6 514 512 4 312 324 1 + +20 2214 612 424 1 + +10 1112 311 26 1 116 1 1 1160模块二、换元与公式应用【例10】计算：13 + 33 + 53 + 73 + 93 +113 +133 +153【解析】原式=13 + 23 + 33 + 43 +143 +153 (23 + 43 +143 )( ) ( )2 23 3 3 15 15 18 1 2 74 += + +57600 2 72 824= = 8128【巩固】1 3 + 2 4 + 35 +9 11【解析】原式= (2 1)(2 +1) + (3 1)(3 +1) + (10 1)(10 +1)- 9 -( ) ( ) ( )( )( )2 2 22 2 22 2 2 22 1 3 1 10 12 3 10 91 2 3 10 1010 1
