1、数学（文科）答案第 1页（共 6 页） 淮南市 2020 届高三第二次模拟考试 数学（文科）试题数学（文科）试题参考答案参考答案及评分标准及评分标准 一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 题号123456789101112 答案BDDBCCABACDA . 二、填空题二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.114. 2 3 15. 1 2 16. 3 2 17. （本小题满分 12 分） 解： （）设等差数列 n a的公差为d，则 51 49aad， 由 147 ,a a S成等比数列知 2 41714 7aaSaa，因 4 0a ，得
2、 41 7aa，于是 1 2ad ， 解得2, 1 1 da，12 nan，4 分 2 2 121 n nn Sn 6 分 （）因 2 1212 nn nn bSnnn ，7 分 所以 201220 Tbbb 2222 12 122 232 3202 20 222222 214320192 10 201 20 1 2320202021020230 2 12 分 18. （本小题满分 12 分） 解： （）因4,2 3,ABACACBC，所以 3 ABC , 数学（文科）答案第 2页（共 6 页） 因OBOC，所以BOC是正三角形，又D点是OB的中点，OBCD ，2 分 又PO平面ABC，OPC
3、D，OOBOP，CD平面PAB，4 分 所以PC在平面APB内的射影是PD5 分 ()由4PA知2 3PO ，4PBPC， 2 113 22 32 334 P OBCOBC VSPO ，.8 分 22 1 24115 2 PBC S ， 设点O到平面PBC的距离为d，则 115 2 33 P OBCO PBCPBC VVSdd ， 解得 2 15 5 d ，.11 分 所以底面圆心O到平面PBC的距离为 2 15 5 12 分 19. （本小题满分 12 分） 解： （）由条件知70,100,30,100xyzw，2 分 2 2 20030 3070 70 3210.828 100 100 1
4、00 100 K ，5 分 所以有 99.9%的把握认为注射此种疫苗有效. 6 分 （）由条件知将抽到的 3 只未注射疫苗且未感染病毒的小白鼠记为 A，B，C，将抽到的 3 只注射疫苗且感染病毒的小白鼠分别记为 D，E，F，. 7 分 从这 6 只小白鼠中随机抽取 2 只共有（A，B） ， （A，C） ， （A，D） ， （A，E） ， （A，F） ， （B， C） ， （B，D） ， （B，E） ， （B，F） ， （C，D） ， （C，E） ， （C，F） ， （D，E） ， （D，F） ， （E，F） 等 15 种可能，9 分 抽到的 2 只均是注射疫苗且感染病毒的小白鼠有（D，E） ，
5、 （D，F） ， （E，F）等 3 种情 况，11 分 所以抽到的 2 只均是注射疫苗且感染病毒的小白鼠的概率为 31 155 .12 分 20. （本小题满分 12 分） 解： （）设,P x y，则 2 2 4 2 1 x xy ，.2 分 数学（文科）答案第 3页（共 6 页） 化简整理得 22 1 43 xy .所以动点P的轨迹E的方程为 22 1 43 xy 4 分 （）设 1122 ,A x yB xy ， 联立 22 1 1 43 xmy xy ，消去x，得 22 34690mymy， 根据韦达定理可得 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 y y m ，5
6、分 所以 2 22 121212 114ABmyymyyy y 2 2 121 34 m m ， 7 分 又 22 43 , 3434 m C mm ，8 分 于是 22 2 22 4 351 4 14 3434 mm CDm mm ，9 分 所以 2 2 31 35 ABm CDm .10 分 令 2 2 313 355 ABm CDm ，解得0m 因此存在0m ，使 AB CD 3 5 .12 分 21. （本小题满分 12 分） 解： （）当1a 时， 2 lnf xxxx，其定义域为0,， 求导得 2 1 21121 21 xxxx fxx xxx ，2 分 于是当0,1x时， 0fx
7、，函数 f x单调递减；当1,x时， 0fx， 函数 f x单调递增，4 分 又 10f，所以函数 f x的零点个数为 1；5 分 数学（文科）答案第 4页（共 6 页） （）法 1：因对任意0,x， 0f x 恒成立，即 2 ln0xaxx对任意 0,x恒成立，于是 2 lnxx a x 对任意0,x恒成立，6 分 令 2 ln 0 xx g xx x ，只需 min ag x . 对函数 g x求导，得 2 2 1 lnxx gx x ，7 分 令 2 1 ln0h xxx x ， 则 1 20h xx x ，所以函数 h x在0,上单调递增.8 分 又 10h，所以当0,1x时， 0h
8、x ， 0gx，函数 g x单调递减；当 1,x时， 0h x ， 0gx ，函数 g x单调递增，10 分 所以函数 min 11g xg ，于是1a ，即实数a的取值范围为,1.12 分 法 2： 因对任意0,x， 0f x 恒成立， 即 2 lnxxax对任意0,x恒 成立.构造函数 2 ln0F xxx x，对其求导，得 2 121 2 x Fxx xx ， 令 0Fx， 得 2 2 x （ 2 2 舍去） ， 所以当 2 0, 2 x 时， 0Fx， 函数 F x 单调递减；当 2 , 2 x 时， 0Fx，函数 F x单调递增. 函数0yax x的图象是一条过原点的射线（不包括端点
9、） ，旋转射线（不含端点） ， 发现0yax x与函数 F x的图象相切时属临界状态. 设切点为 2 000 ,lnx xx，则 2 00 0 00 ln01 2 0 xx x xx ，整理得 2 00 ln10xx ， 数学（文科）答案第 5页（共 6 页） 显然 2 ln1h xxx在0,上是增函数，又 10h，所以 0 1x ，此时切线斜率 为 1，结合图象，可知实数a的取值范围为,1.12 分 法 3：根据题意只需 min 0f x 即可. 又 2 121 2 xax fxxa xx ，令 0fx ，因 2 与1异号，所以必有一正根， 不妨设为 0 x，则 2 00 210xax ，即
10、 2 00 21xax ， 当 0 0,xx时， 0fx，函数 f x单调递减；当 0, xx时， 0fx，函 数 f x单调递增，所以 22 000000 min ln1 ln0f xf xxaxxxx 又 2 ln1g xxx 在0,上是减函数，又 10g，所以 0 01x， 由 2 00 21xax 得 2 0 0 00 211 2 x ax xx 在 0 0,1x 上单调递增，则实数a的取值范围 为,1.12 分 22 （本小题满分（本小题满分 10 分）选修分）选修 44 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 解： （）由条件知消去参数得到曲线 1 C的普通方程为 2 2 39xy. 因
11、4cos0可 化 为 2 4 cos0， 又 222, cosxyx， 代 入 得 22 40xyx，于是曲线 2 C的直角坐标方程为 22 40xyx.5 分 （）由条件知曲线 12 ,C C均关于x轴对称，而且外切于原点O， 不妨设 1, 0 2 A ，则 2, 2 B ， 因曲线 1 C的极坐标方程为6cos，所以 12 6cos ,4cos4sin 2 ， 于是 12 11 6cos4sin6sin26 22 AOB S ， 所以当 4 时，AOB面积的最大值为 610 分 数学（文科）答案第 6页（共 6 页） 23.（本小题满分（本小题满分 10 分）选修分）选修 45 不等式选讲不等式选讲 解： （）由条件知1m 时， 1 2,1 2 131 1,1 222 11 2, 22 xx f xxxx xx 于是原不等式可化为 1 1 23 2 x x ； 1 1 2 3 3 2 x ； 1 2 1 23 2 x x 解得 7 1 4 x；解得 1 1 2 x；解得 51 42 x ， 所以不等式 3f x 的解集为 5 7 , 4 4 5 分 （）由已知得 111 111 f xxmx m mmm m 1111 1111 xmxm mm mmm m 1111 2 11 mm mmmm 当且仅当1m 时，等号成立，于是原不等式得证.10 分
