1、第二章 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1.理解直线与平面垂直的定义理解直线与平面垂直的定义； 2.掌握直线与平面垂直的判定定理的内容及其应用掌握直线与平面垂直的判定定理的内容及其应用； 3.应用直线与平面垂直的判定定理解决问题应用直线与平面垂直的判定定理解决问题. 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 问题导学 新知探究 点点落实 知识点一 直线与平面垂直的定义 思考1 在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着 时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影 子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？ 答案 不变，90. 答案
2、答案 定义 如果直线l与平面内的_直线都 垂直，我们就说直线l与平面互相垂直 记法 _ 有关概念 直线l叫做平面的_，平面叫做直线 l的_，它们唯一的公共点P叫做_ 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与 表示平面的平行四边形的一边垂直 任意一条 l 垂线 垂足 垂面 知识点二 直线和平面垂直的判定定理 将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌 面上(BD，DC与桌面接触).观察折痕AD与桌面的位置关系. 思考1 折痕AD与桌面一定垂直吗？ 答案 不一定. 思考2 当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？ 答案 当ADBD且ADCD时，折痕AD与桌面垂直.
3、答案 答案 文字语言 一条直线与一个平面内的_都 垂直，则该直线与此平面垂直 符号语言 la，lb，a，b，_Pl 图形语言 两条相交直线 ab 知识点三 直线与平面所成的角 答案 有关概念 对应图形 斜线 与平面_，但不和平面_， 图中 斜足 斜线和平面的 ，图中 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面 引 ，过 和 的直线叫 做斜线在这个平面内的射影，图中 斜线PA在平面上的射影为_ 相交 垂直 直线PA 交点 点A 垂线 垂足 斜足 直线AO 答案 直线与平面 所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角， 图中 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是 ； 一条直线和平面平行
4、，或在平面内，它们所成的角是 取值范围 设直线与平面所成的角为，_ PAO 90 0 090 返回 题型探究 重点难点 个个击破 类型一 直线和平面垂直的定义 例1 下列命题中，正确的序号是_. 若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l； 若直线l与平面内的一条直线垂直，则l； 若直线l不垂直于平面，则内没有与l垂直的直线； 若直线l不垂直于平面，则内也可以有无数条直线与l垂直； 过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1 下面叙述中： 若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直； 若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直； 若直线垂直于梯
5、形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所 在的直线； 若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所 在的直线. 其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析答案 类型二 线面垂直的判定 例2 在平面内有直角BCD，AB平面，求证CD平面ABC. 解 如图所示. 解析答案 AB CD ABCD BCD90 BCCD ABBCB CD平面ABC. 反思与感悟 跟踪训练2 如图，在三棱锥SABC中，ABC90，D是AC的中点， 且SASBSC. (1)求证：SD平面ABC； 证明 因为SASC，D是AC的中点， 所以SDAC. 在RtABC中，ADBD， 由已知
6、SASB，所以ADSBDS， 所以SDBD. 又ACBDD，所以SD平面ABC. 解析答案 (2)若ABBC，求证：BD平面SAC. 证明 因为ABBC，D为AC的中点， 所以BDAC. 由(1)知SDBD. 又因为SDACD， 所以BD平面SAC. 解析答案 类型三 直线与平面所成的角 例3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， (1)求A1B与平面AA1D1D所成的角； 解 AB平面AA1D1D， AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角， 在RtAA1B中，BAA190，ABAA1， AA1B45， A1B与平面AA1D1D所成的角是45. 解析答案 (2)求A1B与平面BB
7、1D1D所成的角. 解 连接A1C1交B1D1于点O，连接BO， A1OB1D1，BB1A1O， A1O平面BB1D1D， A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角， 解析答案 反思与感悟 设正方体的棱长为 1，A1B 2，A1O 2 2 . 又A1OB90 ，sin A1BOA1O A1B 1 2， A1BO30. A1B与平面BB1D1D所成的角是30. 跟踪训练3 如图，在三棱锥ABC-A1B1C1中，BAC90，ABAC2， AA14，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D为B1C1的中点. (1)证明：A1D平面A1BC. 解 取BC的中点E，连接A1E，DE，AE， 由题意得A
8、1E平面ABC，所以A1EAE， 因为ABAC，所以AEBC，故AE平面A1BC， 由D，E分别是B1C1，BC的中点， 得DEB1B且DEB1B，所以DEA1A， 所以四边形A1AED是平行四边形，故A1DAE， 又因为AE平面A1BC，所以A1D平面A1BC. 解析答案 返回 (2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值. 解 作A1FDE，垂足为F，连接BF. 因为A1E平面ABC，所以BCA1E. 因为BCAE，所以BC平面AA1DE. 所以BCA1F，A1F平面BB1C1C. 所以A1BF为直线A1B与平面BB1C1C所成的角. 解析答案 由 ABAC2，CAB90 得 EA
9、EB 2. ， 由A1EAA1EB90 ，得 A1AA1B4，A1E 14. 由 DEBB14，DA1EA 2，DA1E90 ，得 A1F 7 2 . 所以 sin A1BF 7 8 . 1 2 3 达标检测 4 5 解析答案 1.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形 的第三边AB的位置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交 D.不确定 解析 由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于 点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直， 又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以lAB. B 1 2 3 4 5 解析答案 2.直线l平面，直线m，则l与m不可
10、能( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直 解析 若lm，l，m， l， 这与已知l矛盾. 所以直线l与m不可能平行. A 1 2 3 4 5 3.如图，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是 EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个如图所示的几何体， 使G1、G2、G3三点重合于点G，则下面结论成立的是( ) A.SG平面EFG B.SD平面EFG C.GF平面SEF D.GD平面SEF 解析 在图中，SG1G1E，SG3G3F， 因此在图中，SGGE，SGGF， 又GEGFG，SG平面EFG. A 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 4
11、.如图，RtBMC中，斜边BM5，它在平面ABC上的射影AB长为4， MBC60，求MC与平面CAB所成角的正弦值. 1 2 3 4 5 解析答案 5.如图，已知PA圆O所在平面，AB为圆O的直径，C是圆周上的任意 一点，过A作AEPC于E.求证：AE平面PBC. 证明 PA平面ABC，BC平面ABC，PABC. ACBC，ACPAA，BC平面PAC. AE平面PAC，BCAE. 又PCAE，BCPCC， PC平面PBC，BC平面PBC， AE平面PBC. 规律与方法 1.线线垂直和线面垂直的相互转化 2.证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义. (2)线面垂直的判定定理. (3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线 也垂直于这个平面. (4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直 于另一个平面. 返回
