1、1/18平面向量期中复习题集锦平面向量期中复习题集锦Part1平面向量的概念与运算期中复习题Part1平面向量的概念与运算期中复习题1给出如下命题：向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；两个有公共终点的向量，一定是共线向量；向量AB 与向量CD 是共线向量，则点 A，B，C，D 必在同一条直线上.其中正确的命题个数是（）A1B2C3D42 设非零向量m，n满足2m，3n，3 2mn，则m在n方向上的投影向量为（）A518nB518nC58mD58m3已知向量a，b的夹角为4，且3 2a，2b，则2abb（）A9B9 2C16D16 24若非零向量a
2、，b满足3ab，23abb，则a与b的夹角为（）A6B3C23D565已知向量a、b不共线，且,21cxab daxb ，若c与d 共线，则实数x的值为（）A1B12C1或12D1或126已知5MNab，2(4)NPab ，3()PQab，则（）AM，N，P 三点共线BM，N，Q 三点共线CM，P，Q 三点共线DN，P，Q 三点共线7在平行四边形ABCD中，|6,|4ABAD 若点,M N满足3,2BMMC DNNC ，则AM NM 的值为（）A6B9C20D368我国勾股定理最早的证明是东汉末期数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的赵爽弦图（如图），它是由四个全等的直角三角形拼成的内、外都是正方
3、形的美丽图案.若33BFEF，则AEFECFBC （）2/18A9B13C18D29已知ABC中，3,4,5ABACBC，点 P 在平面 ABC 内，1CP，则AP AB 的最大值为（）A1B2C3D410P 是ABC所在平面上一点，满足20PBPCPBPCPA ，则ABC的形状是（）A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等边三角形11已知 O，N，P 在ABC的所在平面内，且|,0OAOBOC NA NBNC ，且PA PBPB PCPA PC ，则 O，N，P 分别是ABC的（）A重心，外心，垂心B重心，外心，内心C外心，重心，垂心D外心，重心，内心12 若非零向量AB 和AC满足0A
4、BACBCABAC ，且22CACBCACB ，则ABC一定是（）A钝角三角形B等腰直角三角形C等边三角形D有一个内角为45的锐角三角形13如图，在ABC中，D 为 AB 的中点，E 为 CD 的中点，设ABa，ACb，以向量a，b为基底，则向量AE （）A1124abB12abC12ab+rrD1142ab14如图，平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，3EBDE，若AOAEBC ,R，则（）A12B2C12D2如需文档电子版请加微信如需文档电子版请加微信 zzq-maths3/1815如图，在ABC中，6,3,22ABACBACBDDC，则AB AD （）A9B18C6D1216如图
5、所示，122,3BCBEAD CFCD ，则BFAE （）A41033ABAD B2833ABAD C2433ABAD D21736ABAD 17已知正方形ABCD的边长为2,MN是它的外接圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，PM PN 的取值范围是（）A1,0B0,2C1,2D1,118已知 AB 是圆 O 的直径，AB 长为 2，C 是圆 O 上异于 A，B 的一点，P 是圆 O 所在平面上任意一点，则(PA PB)PC 的最小值为（）A14B13C12D119（多选）在平行四边形 ABCD 中，E 是 BC 上的点，BE=2EC，F 是 CD 的中点，且AE=2
6、，AF=3，EAF=60，则下列说法正确的是（）A3142ACAEAF B1223ACAEAF C3 3AC2D7AC 20（多选）如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 F，E 分别是靠近 C，D 的四等分点，则下列结论正确的是（）A12EFAB B34AFABAD C34BEABAD D22916BE AFADAB 4/1821已知向量a、b满足1,3ababrrrr，则|2|ab_22已知向量,a b满足|3,|2ab且 25abab，则a在b方向上的投影向量为_.23设点在ABC的内部，且3230OAOBOC ，则AOC的面积与ABC的面积之比为_.24已知正ABC边长为 2，则AB
7、BC _.25已知1e与2e 是两个互相垂直的单位向量，若向量12ekeu rur与12kee 的夹角为锐角，则 k 的取值范围是_26已知a，b是不共线的向量，OAab ，32OBab，23OCab，若 A，B，C 三点共线，则实数，满足_27已知 O 为平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 D 满足：ABACODOAABAC ，则点 D 一定在ABC的_线所在直线上28 如图，在ABC中，AD，BE分别为边BC，CA上的中线，且AD与BE 的夹角为120，1AD，2BE ，则AB ACuuu r uuu r的值为_.29 如图，在ABC中，21,33ADAC BPPD ，
8、若APABAC ，则_30如图所示，扇形AOB的弧的中点为M，动点,C D分别在,OA OB上（包括端点），且OCBD，2OA，120AOBo，则MC MD 的取值范围_31已知两个非零向量a，b不共线(1)若ABabuuu rrr，28BCabuuu rrr，3CDabuuu rrr，求证：A，B，D 三点共线；(2)若kab与2akb共线，求实数 k 的值如需文档电子版请加微信如需文档电子版请加微信 zzq-maths5/1832已知向量a，b满足：1a，3b，且122aab(1)求向量a与b的夹角(2)求2abrr的值33已知向量a与b的夹角34，且3a，2 2b.(1)求 2abab；
9、(2)求ab；(3)a与ab的夹角的余弦值.34如图，已知两个长度为 1 的平面向量OA 和OB，它们的夹角为23，点 C 是以 O 为圆心的劣弧AB的中点求：(1)|OAOB 的值；(2)AB ACuuu r uuu r的值6/1835如图，在ABC中，11,32AMAB BNBC .设,ABa ACb .(1)用,a b 表示,BC MN ；(2)若P为ABC内部一点，且51124APab.求证：,M P N三点共线.36已知点 G 为ABC的重心(1)求GAGBGC ；(2)过 G 作直线与 AB、AC 两条边分别交于点 M、N，设AMxABuuuruuu r，ANyACuuu ruuu
10、 r，求11xy的值37如图，在平行四边形ABCD中，APBD，垂足为P.(1)若8AP AC ，求AP的长；(2)设|6,|8,3ABACBACAPxAByAC ，求yx的值.如需文档电子版请加微信如需文档电子版请加微信 zzq-maths7/1838已知两个单位向量a和b的夹角为 120，Rk，(1)求a b；(2)求kab的最小值39在直角梯形 ABCD 中，已知/AB CD，90DAB，224ABADCD，点 F是 BC 边上的中点，点 E 是 CD 边上一个动点.(1)若12DEDC，求AC EF 的值；(2)求EA EF 的取值范围.40平面内给定三个向量2,2,1,4,3abnc
11、k，且2acba(1)求实数 k 关于 n 的表达式；(2)如图，在OAB中，G 为中线 OM 上一点，且2OGGM，过点 G 的直线与边 OA，OB 分别交于点 P，Q（,P Q不与O重合）.设向量3,OPkOA OQmOB ，求2mn的最小值8/18Part2平面向量基本定理及坐标表示Part2平面向量基本定理及坐标表示1设21,ee 是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（）A12ee 和123ee B216ee 和12ee C1234ee 和1268ee D122ee 和122ee 2 向量,12PAk，4,5PB ，10,PCk，若A，B，C三点共线，则k的值
12、为（）A2或11B2或11C2或-11D2或113已知向量2,4a r，1,bx，若向量ab，则实数x的值是（）.A2B12C12D24在ABC中，D 为BC的中点，E 为AC边上的点，且3AEEC ，则ED （）A1124ABAC B1223ABAC C1124ABAC D1223ABAC 5已知向量,1,3,ambm，若a与b方向相反，则3ab=（）A54B8C3 3D4 36若向量,2,2,3,2,4axbc，且ac，则a在b上的投影向量为（）A8 12,13 13B8 12,13 13C8,12D4 13137如图所示，在ABC中，13ANNC，P 是 BN 上的一点，若311APAB
13、mAC ，则实数 m 的值为（）A1011B811C211D1118在ABC中，点D E，满足2BDDC AEECBE ，与AD交于点P，若APxAByAC ，则xy（）A25B23C425D49如需文档电子版请加微信如需文档电子版请加微信 zzq-maths9/189在边长为 2 的正三角形ABC中，13ADDB，CEEB ，则AE DE （）A94B32C32D9410在平面四边形 ABCD 中，,46ABBC ADDCBACDAC，若ACABAD，则（）A313B2C132D311在矩形ABCD中，1,2ABAD，动点P在矩形ABCD所在平面内，且满足3AP DP .若APmABnAD
14、，则mn的取值不可能为（）A1B1C2D312已知向量(1,7),(5,1),(2,1)OAOBOM ，若点P是直线OM上的一个动点，则PA PB 的最小值为（）A4B6C8D1013已知向量a，b满足2a，2b，且2a b ，c为任意向量，则 acbc的最小值为（）A2B52C3D7214如图，在梯形ABCD中，112ADDCAB且,ABAD P为以A为圆心AD为半径的14圆弧上的一动点，则PDPBPC 的最小值为（）A32 2B3 3 2C34 2D3 5 215（多选）设向量2,3,6,abt若a与b的夹角为锐角，则实数 t 的值可能是（）A5B3C6D916下列说法中，正确的是（）A
15、0ACBOOADCDOOB B若0a b，则a与b的夹角是钝角C若向量12,3e，213,24e，则12,e e 能作为平面内所有向量的一个基底D若ab，则a在b上的投影向量为010/1817（多选）关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A点1,34,1AB，与向量AB 共线的单位向量为34,55B非零向量a和b满足abab，则a与ab的夹角为30C已知平面向量1,2a，2,bt，若向量a与b的夹角为锐角，则1t D已知向量2 3,2AB ，1,3AC ，则AB 在AC上的投影向量的坐标为33，18（多选）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，M为线段AD上的动点，BMBEBD ，
16、则下列结论正确的是（）A当M为线段AD上的中点时，32B 的最大值为12C的取值范围为0,1D的取值范围为1,2219已知11,1P，22,3P，若123PPPP ，则点 P 的坐标为_20已知向量cos,sin,1,2ab，若/a br r，则tan_.21已知4,2a，1,1b，则a在b方向上的投影向量的坐标为_22已知3,1,2,3abab，则a与b的夹角为_.23已知向量1,2a，,1bx，若abab，则正数x的值为_24已知向量1,ak，2,2b，若ab，则ab_25已知 O 为坐标原点，1,2,2,1OAOB ，若2APAB ，则OP _？26如图，在梯形ABCD中，/ABDC，1
17、ADBC；2AB，3ABC，E是BC的中点，则DB AE _27如图，半径为 2 的扇形AOB的圆心角为120，点C在AB上，且30COB，若OCOAOB ，则等于_如需文档电子版请加微信如需文档电子版请加微信 zzq-maths11/1828在ABC中，G 满足0GAGBGC ，过 G 的直线与 AB，AC 分别交于 M，N 两点.若(0)AMmAB m ，(0)ANnAC n，则 3m+n 的最小值为_.29如图，在直角梯形ABCD中，,ADBC ABBC，1,2,ADBCP是线段AB上的动点，则4PCPD 的最小值为_.30在ABC中，904AABAC，点M为边AB的中点，点P在边BC上
18、，则MP CP 的最小值为_31“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题如图，在矩形ABCD中，ABC满足“勾3股4弦5”，且3AB，4BC，E为AD上一点，BEAC若BABEAC ，则_32如图，在矩形 ABCD 中，22ABBC，AC 与 BD 的交点为 M，N 为边 AB 上任意点（包含端点），则MB DN 的最大值为_33已知(1,0),(2,1)ab.(1)若2,ABab BCamb ,且A、B、C三点共线,求m的值.(2)当实数k为何值时,kab与2ab垂直?12/1834已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中1,
19、3a(1)若9c，且/c a，求c的坐标；(2)若1b，且52abab，求a与b的夹角35设两个向量,a b 满足132,0,22ab，(1)求ab方向的单位向量；(2)若向量27tab与向量atb的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围36如图，在ABC中，设AB a =，ACb，又2BDDC，2,1ab，向量a，b的夹角为3(1)用a，b表示AD；(2)若点 E 是AC边的中点，直线BE交AD于 F 点，求AF BC 如需文档电子版请加微信如需文档电子版请加微信 zzq-maths13/1837如图在ABC 中，点 D 是 AC 的中点，点 E 是 BD 的中点，设BA a，BC c.(1)用
20、,a c 表示向量AE；(2)若点 F 在 AC 上，且1455BFac，求 AFCF.38如图，在ABC中，2BGGC，3AFFG.过点F的直线与边AB，AC分别交于点D，E.设DBAD，ECAE ，其中，0.(1)试用AG与BC 表示AB，AC；(2)证明2为定值，并求此定值.39如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，22ABDC，3BAD，E 是BC边的中点(1)试用AB，AD表示AE，BC；(2)求DB AE 的值14/1840如图，在矩形ABCD中，点 E 是BC的中点，点 F 在CD上(1)若点 F 是CD上靠近 C 的三等分点，设EFABAD ，求的值；(2)若2,3ABBC，求
21、AF EF 的最值Part3平面平面向量的应用期Part3平面平面向量的应用期1八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图 2 是图 1 抽象出来的图形，在图 2 中，圆中各个三角形（如ACD）为等腰直角三角形，点O为四心，中间部分是正方形且边长为 2，定点A，B所在位置如图所示，则AB AO 的值为
22、（）A10B12C14D162 在边长为 2 的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则EC EM 的取值范围是（）A0,4B2,6C0,3D2,4如需文档电子版请加微信如需文档电子版请加微信 zzq-maths15/183已知 A，B，C 是单位圆上不同的三点，ABAC，则AB ACuuu r uuu r的最小值为（）A0B14C12D14窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史久，风格独特，深受国内外人士所喜爱如图甲是一个正八边形窗花隔断，图乙是从窗花图中抽象出的几何图形示意图 已知正八边形ABCDEFGH的边长为2 2，M是正八边形AB
23、CDEFGH边上任意一点，则MA MB 的最大值为（）A304 2B288 2C26 16 2D2416 25 长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度1v的大小110km/hv，水流的速度2v 的大小26km/hv ，如图，设1v和2v 所成角为0，若游船从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos（）A25B35-C45D456在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为1F，2F，且12|FF ，1F 与2F 的夹角为，则以下结论不正确的是（）A1|F 的最小值为1|2GB的范围为0,C当2时，12|2FG
24、 D当23时，1|FG 16/187（多选）如图.P为ABC内任意一点，角,A B C的对边分别为,a b c，总有优美等式0PBCPACPABSPASPBSPC 成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（）A若P是ABC的重心，则有0PAPBPC B若0aPAbPBcPC 成立，则P是ABC的内心C若2155APABAC ，则:2:5ABPABCSSD若P是ABC的外心，4A，PAmPBnPC ，则2,1mn 8（多选）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为1F，2F，且12FF ，
25、1F 与2F 的夹角为.下列结论中正确的是（）A越大越费力，越小越省力B的取值范围为0,C当2时，1FG D当23时，1FG 9如图，单位向量OA，OB 的夹角为2，点C在以O为圆心，1 为半径的弧AB上运动，则CA CB 的最小值为_10已知正实数 a，b，称2abv为 a，b 的算术平均数，uab为 a，b 的几何平均数，2133Hvu为 a，b 的希罗平均数点 G 为ABC的重心且36abAGABAC ，则正数 a，b 的希罗平均数 H 的最大值是_如需文档电子版请加微信如需文档电子版请加微信 zzq-maths17/1811已知 E 为ABC内一点，F 为 AC 边的中点(1)若30E
26、AEBEC ，求证：52BEBF ；(2)若230EAEBEC ，EBC，ABC的面积分别为S，S，求证：6SS12如图，,E F分别是矩形ABCD的边CD和BC上的动点，且2,1ABAD.（1）若,E F都是中点，求EF AC .（2）若,E F都是中点，N是线段EF上的任意一点，求AN NB 的最大值.（3）若45EAF，求AE AF 的最小值.18/1813如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度500md，一艘船从A点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为110km/hv u r，水流速度的大小为24km/hv ur，设1v和2v 的夹角为0180(1)当cos多大时，船能垂直到达对岸？(2
27、)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？14如图，一条河两岸平行，河的宽度3kmAC，一艘船从河边的 A 点出发到达对岸的 B 点，船只在河内行驶的路程2kmAB，行驶时间为 0.2h.已知船在静水中的速度1v的大小为1v，水流的速度2v的大小为22km/hv.求：(1)1v；(2)船在静水中速度1v与水流速度2v夹角的余弦值.15如图，设 Ox、Oy 是平面内相交成60角的两条数轴，12e,e 分别是与 x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量12eeOPxy ，则把有序数对,x y叫做向量OP 在坐标系 xOy 中的坐标，设122eeOP uuu rurur.(1)计算OP 的大小；(2)甲在 Ox 上距 O 点 3 千米的点 A 处，乙在 Oy 上距 O 点 1 千米的点 B 处，现在甲沿xO的方向，乙沿Oy的方向同时以 4 千米/小时的速度行走；若过半小时后甲到达 C 点，乙到达 D 点，请用1e与2e 来表示CD；若 t 时刻，甲到达 G 点，乙到达 H 点，求GH的最小值.
