1、20192020 学年度北京市大兴区高三第一次综合练习 2020.4 数学 本试卷共 6 页，满分 150 分考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试 卷上作答无效。 第一部分第一部分（选择题 共 40 分） 一、一、选择题共选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 40 分在每题列出的四个选项中，选出符合题目分在每题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项要求的一项 （1）在复平面内， 2 1i 对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （2）已知集合 |2Ax xkkZ， ， | 22Bxx ，则AB （A） 1
2、1 ， （B） 2 2 ， （C）0 2 ， （D） 2 0 2 ， （3）已知等差数列 n a 的前 n 项和为 n S， 2 0a ， 4 1a ，则 4 S等于 （A） 1 2 （B）1 （C）2 （D）3 （4）下列函数中，在区间(0, )上单调递增且存在零点的是 （A）exy （B）1yx （C） 1 2 logyx （D） 2 (1)yx （5）在(2)nx的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含x项的系数等于 （A）32 （B）24 （C）8 （D）4 （6）若抛物线 2 4yx上一点 M 到其焦点的距离等于 2，则 M 到其顶点 O 的距离等于 （A）3 （B）2 （C）5
3、 （D）3 （7）已知数列 n a是等比数列，它的前n项和为 n S，则“对任意 * nN， 0 n a ”是“数 列 n S 为递增数列”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （8）某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的最 长棱的棱长为 （A）3 （B）10 （C）13 （D）17 （9）已知函数 ( )sin() 6 f xx(0) 若关于 x 的方程 ( )1f x 在区间0 ， 上有且仅 有两个不相等的实根，则的最大整数值为 （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 （10）如图，假定两点P，
4、Q以相同的初速度运动点Q沿直线CD作匀速运动，CQ x ； 点P沿线段AB（长度为 7 10单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距 离(PB y )令P与Q同时分别从A，C出发，那么，定义x为y的纳皮尔对数，用 现在的数学符号表示x与y的对应关系就是 7 7 10 1 10 ( ) e x y ，其中e为自然对数的底当点P 从线段AB的三等分点移动到中点时，经过的时间为 （A）ln2 （B）ln3 （C） 3 ln 2 （D） 4 ln 3 第二部分第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共二、填空题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分分
5、 （11）已知向量 ( 1 1) ，a ， (2) t，b ， 若ab，则t ； （12） 若函数 22 ( )cossinf xxx在区间0 m， 上单调减区间， 则 m 的一个值可以是 ； （13）若对任意0x ，关于 x 的不等式 1 ax x 恒成立，则实数a的范围是 ； （14）已知()()A a rB b s， ，为函数 2 logyx图象上两点，其中ab已知直线 AB 的斜率 x y Q P D C B A 等于 2，且|5AB ，则ab ； a b ； （15）在直角坐标系xOy中，双曲线 22 22 1 xy ab （ 00ab， ）的离心率2e ，其渐近线 与圆 22 (2
6、)4xy 交x轴上方于A B ，两点，有下列三个结论： | |OAOBOAOB ； |OAOB存在最大值； | 6OAOB 则正确结论的序号为 三、解答题共三、解答题共 6 6 题，共题，共 8585 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 （16）（本小题 14 分） 在ABC中，1c ， 2 3 A ，且ABC的面积为 3 2 （）求 a 的值； （）若 D 为 BC 上一点，且 ，求sinADB的值 从1AD ， 6 CAD这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答 （17）（本小题 14 分） 为了调查各校学生体质健康达标情况，某机构 M 采
7、用分层抽样的方法从A校抽取了m 名学生进行体育测试， 成绩按照以下区间分为七组： 30,40)， 40,50)， 50,60)， 60,70)， 70,80)， 80,90)，90,100，并得到如下频率分布直方图根据规定，测试成绩低于 60 分为体质不达 标。已知本次测试中不达标学生共有 20 人 （）求m的值； （）现从A校全体同学中随机抽取 2 人，以频率作为概 率，记X表示成绩不低于 90 分的人数，求X的分 布列及数学期望； （）另一机构 N 也对该校学生做同样的体质达标测试， 并用简单随机抽样方法抽取了 100 名学生，经测试 有 20 名学生成绩低于 60 分计算两家机构测试成
8、绩的不达标率，你认为用哪一个值作为对该校学生体质不达标率的估计较为合理，说 明理由。 E C1 B1 A1 D CB A （18）（本小题 14 分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC中， 1 ABACBCAA， 1 60BCC， 11 ABCBCC B平面平面，D是BC的中点，E 是棱 11 A B上一动点. （）若 E 是棱 11 A B的中点，证明： 11 / /DEACC A平面 ； （）求二面角 1 CCAB 的余弦值； （）是否存在点 E，使得 1 DEBC，若存在， 求出 E 的坐标，若不存在，说明理由。 （19）（本小题 14 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy
9、Cab ab 的离心率为 2 1 ，且经过点)0 , 2(，一条直线l与椭圆 C 交于P，Q两点，以PQ为直径的圆经过坐标原点O （）求椭圆 C 的标准方程； （）求证： 22 | 1 | 1 OQOP 为定值 （20）（本小题 15 分） 已知函数( )ln 1 ax f xx x （）若1a ，求曲线 ( )yf x 在点(1 (1)f， 处的切线方程； （）求证：函数 ( )f x有且只有一个零点. （21）（本小题 14 分） 已知数列 1210 aaa， ， ， 满足： 对任意的 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10ij， ， 若i j ， 则 ij aa ， 且 1,2,3,4
10、,5,6,7,8,9,10 i a ，设集合 12 |1,2,3,4,5,6,7,8 iii Aaaai ，集合A中元素 最小值记为 ( )m A，集合A中元素最大值记为( )n A. （）对于数列：10 6 1 2 7 8 3 9 5 4 ，写出集合A及( )( )m An A， ； （）求证： ( )m A不可能为 18； （）求 ( )m A的最大值以及( )n A的最小值 20192020 学年度北京市大兴区高三第一次综合练习 高三数学参考答案及评分标准 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B C A
11、 B C D B D 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） （11）2 （12）答案不唯一，只要 0 2 m （13）( 2， （或 | 2a a （14）1；4（第一个空 3 分，第二个空 2 分） （15） （不选或有错选得 0 分，只选对 1 个得 3 分，全部选对得 5 分） 三、解答题（共 6 小题，共 85 分） （16）（共 14 分） 解：（） 由于 1c ， 2 3 A， 1 sin 2 ABC SbcA ， 2分 所以2b 3分 由余弦定理 222 2c o sabcb cA， 5分 解得7a 6分 （）当1AD 时， 在ABC中，由正弦定理 sinsi
12、n bBC BBAC ， 2 分 即 27 sin3 2 B ，所以 21 sin 7 B 4 分 因为1ADAB，所以ADBB 6 分 所以sinsinADBB， 7分 即 21 sin 7 ADB 8分 当30CAD 时， 在ABC中，由余弦定理知， 222 7142 7 cos 272 7 1 ABBCAC B AB BC 3 分 因为120A ，所以90DAB ， 4 分 所以 2 BADB ， 5 分 所以sincosADBB ， 7分 即 2 7 sin 7 ADB 8分 （17）（共 14 分） 解：（）由频率分布直方图知，(0.0020.0020.006) 1020m， 2 分
13、 解得200m . 3 分 （）方法方法 1： 由图知，每位学生成绩不低于 90 分的频率为0.01 10=0.1 ， 1 分 由已知，X的所有可能取值为0 1 2， 2 分 则 02 2 (0)(1 0.1)0.81P XC， 1 2 (1)0.1(1 0.1)0.18P XC， 22 2 (2)0.10.01P XC. 5 分 所以X的分布列为 6 分 所以=00.81+1 0.1820.010.2EX. 7 分 方法方法 2：由图知，每位学生成绩不低于 90 分的频率为0.01 10=0.1， 1 分 由已知(2,0.1)XB， 2 分 则 02 2 (0)(1 0.1)0.81P XC
14、， 1 2 (1)0.1(1 0.1)0.18P XC， 22 2 (2)0.10.01P XC. 5 分 所以X的分布列为 6 分 所以=20.10.2EX. 7 分 （）机构 M 抽测的不达标率为 20 0.1 200 ， 1 分 机构 N 抽测的不达标率为 20 0.2 100 2 分 （以下答案不唯一，只要写出理由即可） 用机构 M 测试的不达标率0.1估计 A 校不达标率较为合理。 3 分 理由：机构 M 选取样本时使用了分层抽样方法，样本量也大于机构 N，样本更有代 表性，所以，能较好反映了总体的分布。 4 分 X 0 1 2 P 0.81 0.18 0.01 X 0 1 2 P
15、0.81 0.18 0.01 P A B C D A1 B1 C1 E 没有充足的理由否认机构 N 的成绩更合理 3 分 理由：尽管机构 N 的样本量比机构 M 少，但由于样本的随机性，不能排除样本较好 的反映了总体的分布，所以，没有充足的理由否认机构 N 的成绩更合理。 4 分 （18）（共 14 分） （）证明：取 11 AC中点为P，连结CP EP， ， 在 111 CBA 中，因为PE、为 1111 CABA、 的中点， 所以 11 /CBEP 且 11 2 1 CBEP=.1 分 又因为D是BC的中点， 1 2 CDBC， 所以BCEP/且CDEP=， 所以CDEP为平行四边形 所以
16、DECP/. 2 分 又因为DE 平面 11A ACC ， .3 分 CP平面 11A ACC ， 所以/DE平面 11A ACC. 4 分 （）连结 ADDC、 1 ， 因为ABC是等边三角形，D是BC的中点， 所以ADBC， 因为 11 CCAABC= ， 60 1= BCC， z y x E C1 B1 A1 D C B A 所以 1 C DBC. 因为 11 ABCBCC B平面平面 ， 11 ABCBCC BBC平面平面 ， 1 C D 平面 11B BCC ， 所以 1 C D 平面ABC， 所以 1 DCDA DB， 两两垂直. 如图，建立空间直角坐标系D xyz ， 1 分 则
17、( 3 0 0)A， ， (01 0)C， ， ， 1(0 0 3)C， ， 1 (0 13)CC ，( 3 1 0)CA， 设平面 1 ACC的法向量为()xyz， ，n， 则 1 0 0 CC CA uuur n n ， 2 分 即 30 30 yz xy ， 3 分 令1=x，则3y ，1z ， 所以(13 1)，n. 4 分 平面 ABC 的法向量为 1 (0 03)DC ， ， uuu u r ， 1 1 1 5 cos 5 | | DC DC DC ， uuu u r uuu u r uuu u r n n n . 又因为二面角 11 CCAB 为锐二面角， 所以二面角 11 CC
18、AB 的余弦值为 5 5 . 6 分 （如果没有建立坐标系，利用二面角的定义，比照步骤给分。）（如果没有建立坐标系，利用二面角的定义，比照步骤给分。） （） 1( 3 1 3)A， 1 分 11 (3 1 0)AB uuuu r ， 设 111(0 1)AEAB uuu ruuuu r ， 则 1 (30)AE ， ， uuu r ， 所以( 3313)E， 2 分 ( 3313)DE， uuu r 所以 1 (013)BC ， ， uuu r ， 假设 1 DEBC ， 则 1 0DE BC 解得2， 3 分 这与已知01矛盾。 原命题得证. 4 分 （19）（共 14 分） （）因为椭圆经
19、过点 )0 , 2( ，所以2a， 1 分 又因为 2 1 a c ，则1c ， 2 分 由 222 cab，得3 2 b， 3 分 所以椭圆的标准方程为1 34 22 yx 4 分 （）方法一方法一 因为以PQ为直径的圆过坐标原点O，所以OQOP 1 分 若直线OP的斜率不存在，则P为椭圆与y轴交点，Q为椭圆与x轴交点， 因此3| 22 bOP，4| 22 aOQ， 则 22 11117 |3412OPOQ 2 分 若直线OP的斜率存在且为 0，则P为椭圆与x轴交点，Q为椭圆与y轴交点， 因此4| 22 aOP，3| 22 bOQ， 则 22 11117 |4312OPOQ . 3 分 若直
20、线OP的斜率存在且不为 0， 可设直线OP方程为)0( kkxy， 则直线OQ的方程为x k y 1 4 分 联立 22 1 43 ykx xy ，得1 34 222 xkx ， 5 分 即 2 2 43 12 k x ， 2 2 2 43 12 k k y ， 6 分 即 2 2 222 1212 431 | 1 k k yxOP ， 7 分 同理， 2 2 2 1212 34 | 1 k k OQ ， 8 分 则 12 7 1212 77 | 1 | 1 2 2 22 k k OQOP 10 分 方法二方法二 若直线l的斜率存在时，设: l ykxm，与椭圆方程联立得： 22 1 43 y
21、kxm xy ，有 222 (34)84120kxkmxm， 2 分 由题意，0 ，设),( 11 yxP，),( 22 yxQ， 所以 12 2 8 43 km xx k ， 2 12 2 412 43 m x x k 3 分 因为以PQ为直径的圆过原点O， 由 OQOP ，得 1212 0x xy y ， 4 分 即 1212 ()()0x xkxm kxm，整理得， 22 12(1)7km， 5 分 而 222 222222 11| | | | OPOQPQ OPOQOPOQOPOQ 6 分 设 h 为O到l的距离，则 | | |OPOQPQ h 所以 222 111 |OPOQh ，
22、而 2 | 1 m h k ， 所以 22 11 |OPOQ 2 2 17 12 k m . 8 分 若直线l的斜率不存在，则有1 OP k， 9 分 不妨设1 OP k，设),( 11 yxP，有 11 yx ， 代入椭圆方程1 34 22 yx 得， 7 12 2 1 x， 22 24 | 7 OPOQ， 即 12 7 2 24 7 | 1 | 1 22 OQOP ， 综上 12 7 | 1 | 1 22 OQOP 10 分 （20）（共 15 分） （）解；当1a 时，函数( )ln 1 x f xx x ，0x 1 分 1 (1) 2 f ， 2 分 2 22 111 ( ) (1)(
23、1) xx fx xxx x ， 3 分 3 (1) 4 k f ， 4 分 所以函数( )yf x在点(1(1)f，处的切线方程是3450xy5 分 （）解法解法 1 函数的定义域为(0, )， 2 22 1(2)1 ( ) (1)(1) axa x fx xxx x ， 1 分 设 2 g( )(2)1xxa x（0x ）， 当2a或2a 且 2 4aa 0，即 4a时，都有( )0g x ， 所以，函数 ( )f x在(0,)是增函数， 2 分 又(1) 2 a f ，(e ) e1 a a a f ， 4 分 若0a 时， (1)0f ，函数 ( )f x在(0,)有且只有一个零点，5
24、 分 若0a 时，由于 2 (1) (e )0 e a a a ff ， 所以 ( )f x在(0,)存在唯一零点 6 分 当4a 时，方程 2 (2)10xa x 的判别式 2 40aa ， 设方程的两根为 12 ,x x，不妨设 12 xx， 由韦达定理可知 12 20xxa， 12 10x x ， 7 分 所以 12 011xx， x 1 (0,)x 1 x 12 ( ,)x x 2 x 2 (,)x ( )fx + 0 - 0 + ( )f x 增 极大值 减 极小值 增 因为 1 01x，所以 1 ln0x ， 所以 1 11 1 ( )= ( )ln0 1 ax f xf xx x
25、 极大值 ， 8 分 由上可知 2 ()(1)0 2 a f xf ，(e )0 e1 a a a f ， 9 分 存在唯一的 02 (,e ) a xx使得 0 ()0f x， 所以函数 ( )f x在(0,)有且只有一个零点 综上所述，对任意的aR函数 ( )yf x 有且只有一个零点10 分 解法解法 2 函数的定义域为(0,)， 要使函数( )f x有且只有一个零点，只需方程(1)ln0xxax有且只有一个根， 即只需关于 x 的方程 (1)ln 0 xx a x 在(0)，上有且只有一个解 设函数 (1)ln ( ) xx g xa x ， 1 分 则 2 1ln ( ) xx g
26、x x ， 2 分 令( )1lnh xxx ， 则 11 ( )1 x h x xx ， 3 分 由( )0h x，得1x 4 分 x (0 1)， 1 (1)， ( )h x 0 ( )h x 单调递减 极小值 单调递增 由于 min ( )(1)20h xh， 5 分 所以 ( )0g x ， 所以 (1)ln ( ) xx g xa x 在(0,)上单调递增， 6 分 又 (1)ga ，(e ) e a a a g， 8 分 当0a 时， (1)0g ，函数 ( )g x在(0,)有且只有一个零点， 当0a 时，由于 2 (1) (e )0 e a a a gg ，所以存在唯一零点 综
27、上所述，对任意的aR函数 ( )yf x 有且只有一个零点10 分 （21）（共 14 分） （）17,9,10,18,20A， ( )9m A ,( )20n A 3 分 （）证明:假设 ( )18m A ， 1 分 设S 12345678910 ()()()55aaaaaaaaaa 则 10 553 ( )Sm Aa= 10 3 18a 2 分 即 10 1a ，因为1 (1,2,3,10) i ai 所以 10 1a 3 分 同理，设S 12345678910 ()()()55aaaaaaaaaa 可以推出 1 1a ， 4 分 i a(1,2,10)i 中有两个元素为 1，与题设矛盾，
28、 故假设不成立， ( )m A不可能为 18. 5 分 （） ( )m A的最大值为 17，( )n A的最小值为 16. 首先求 ( )m A，由（）知( )18m A ，而 ( )17m A 是可能的 当 ( )17m A 时， 1 分 设S 12345678910 ()()()55aaaaaaaaaa 则 10 553 ( )Sm Aa= 10 3 17a 即 10 4a ， 2 分 又S 12345678910 ()()()55aaaaaaaaaa 得 77 553 ( )51Sm Aaa ，即 7 4a . 同理可得： 4 (1,4,7,10) i ai 3 分 对于数列：1,6,1
29、0,2,7,8,3,9,5,4 此时 17,18,19,20A ， ( )17( )20m An A， ，满足题意 所以 ( )m A的最大值为 17； 4 分 现证明： ( )n A的最小值为 16. 先证明 ( )15n A 为不可能的，假设 ( )15n A . 5 分 设S 12345678910 ()()()55aaaaaaaaaa ， 可得 11 553 ( )3 15n Aaa ，即 1 10a ，元素最大值为 10，所以 1 10a 又 12345678910 ()()()55aaaaaaaaaa 44 3 ( )3 15n Aaa ， 同理可以推出 4 10a ，矛盾，假设不成立，所以 ( )16n A 数列为：7,6,2,8,3,4,9,1,5,10时， 13,14,15,16A ， ( )13( )16m An A， ，A中元素的最大值为 16 所以 ( )n A的最小值为 16 6 分
