1、中考题型专题复习一次函数综合实际应用考点解读考点解读0.5 p50 x 10.(2019唐山路北一模,24)在一条笔直的公路上依次有A,C,B三地,甲、乙两人同时出发,甲从A地骑自行车去B地,途经C地休息1分钟,继续按原速骑行至B地,甲到达B地后,立即按原路原速返回A地;乙步行从B地前往A地.甲、乙两人距A地的路程y(米)与时间x(分)之间的函数关系如图所示,请结合图象解答下列问题:(1)甲的骑行速度为 米/分,点M的坐标为 ;(2)求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式(不需要写出自变量的取值范围);(3)请直接写出两人出发后,在甲返回A地之前,经过多长时间两人距C地的路程相等.解
2、析解析 (1)由题意得,甲的骑行速度为=240(米/分).240(11-1)2=1 200(米),则点M的坐标为(6,1 200).(2)设MN的函数关系式为y=kx+b(k0),y=kx+b(k0)的图象过点M(6,1 200)、N(11,0),解得MN的函数关系式为y=-240 x+2 640,即甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式为y=-240 x+2 640.(3)设甲返回A地之前,经过x分钟两人距C地的路程相等,乙的速度为1 20020=60(米/分).如图所示,1 020211461 200,110,kbkb240,2 640,kb AB=1 200米,AC=1 020米
3、,BC=1 200-1 020=180米.当03,此种情况不符合题意.当3x-1,即3x时,甲、乙都在A、C之间,1 020-240 x=60 x-180,x=4,符合题意.当x时,甲在C地休息,乙在A、C之间,不符合题意.当x6时,甲在B、C之间,乙在A、C之间,240 x-1 020=60 x-180,x=6时,甲在返回途中,当甲在B、C之间时,180-240(x-1)-1 200=60 x-180,x=6,此种情况不符合题意;当甲在A、C之间时,240(x-1)-1 200-180=60 x-180,x=8,符合题意.综上所述,在甲返回A地之前,经过4分钟或6分钟或8分钟时两人距C地的路
4、程相等.解后反思解后反思 函数的应用题大多数以生活情境为背景命题,解答此类试题,应在弄懂题意的前提下,建立函数模型,然后结合函数图象、方程(组)、不等式知识解答.题型3二次函数的实际应用(2013T25)13.(2019黑龙江齐齐哈尔,22,10分)甲、乙两地间的直线公路长为400千米.一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行.货车比轿车早出发1小时,途中轿车出现了故障,停下维修,货车仍继续行驶.1小时后轿车故障被排除,此时接到通知,轿车立刻掉头按原路原速返回甲地(接到通知及掉头时间不计),最后两车同时到达甲地.已知两车距各自出发地的距离y(千米)与轿车所用的时间x(
5、小时)的关系如图所示,请结合图象解答下列问题:(1)货车的速度是 千米/小时;轿车的速度是 千米/小时;t值为 ;(2)求轿车距其出发地的距离y(千米)与所用时间x(小时)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(3)请直接写出货车出发多长时间两车相距90千米.解析解析 (1)由题图知,当x=0时,货车距乙地50 km.又货车比轿车早出发1小时,货车速度为50 km/h.甲、乙两地相距400 km,货车需要=8小时到达.则轿车行驶时间为8-1-1=6小时.t=3,轿车速度为=80 km/h.故答案为50,80,3.(3分)(2)由题意可得A(3,240),B(4,240),C(7,0),设
6、直线OA的解析式为y=k1x(k10),将A点坐标代入可得k1=80,y=80 x(0 x3),(5分)40050622403当3x4时,y=240.(6分)设直线BC的解析式为y=kx+b(k0),将(4,240)和(7,0)代入可得y=-80 x+560(4x7),(7分)y=(8分)(3)3小时或5小时.(10分)详解:当货车与轿车相遇前相距90 km时,可得线段图如图,4240,70,kbkb80,560,kb 80(03),240(34),80560(47).xxxxx解析解析 (1)依题意,得解得20 x25,x为整数,x=20,21,22,23,24,25.答:A,B型钢板的购买
7、方案共有6种.(2)设全部出售后共获利y元.依题意,得y=1002x+1(100-x)+120 x+3(100-x),即y=-140 x+46 000.-1400,y随x的增大而减小,当x=20时,y的最大值是43 200.答:获利最大的购买方案是购买A型钢板20块,B型钢板80块.21(100)120,3(100)250.xxxx 14.(2019秦皇岛海港一模改编)某批发部某一玩具价格如图所示,现有甲、乙两个商店,计划在“六一”儿童节前到该批发部购买此类玩具,两商店所需玩具总数为120个,乙商店所需数量不超过50个,设甲商店购买x个,如果甲、乙两商店分别购买玩具,两商店需付款总和为y元.(
8、1)求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)若甲商店购买不超过100个,请说明甲、乙两商店联合购买比分别购买最多可节约多少钱;(3)“六一”儿童节之后,该批发部对此玩具价格作了如下调整:数量不超过100个时,价格不变,数量超过100个时,每个玩具降价a元,在(2)的条件下,若甲、乙两商店“六一”儿童节之后去批发玩具,最多可节约2 800元,求a的值.解析解析 (1)由题图可知,当50 x100时,设玩具的单价为m元,单价与数量的关系式为m=kx+b(k0),由题意得解得m=-x+100.乙商店所需数量不超过50个,120-x50,x70,70 x120.当70 x100时,y=
9、x+80(120-x)=-x2+20 x+9 600.当100 x120时,y=60 x+80(120-x)=9 600-20 x.(2)y=-x2+20 x+9 600=-(x-25)2+9 850(70 x100),当x=70时,y的最大值为9 040元,最多节约的费用=9 040-12060=1 840元.答:甲、乙两商店联合购买比分别购买最多可节约1 840元.8050,60100,kbkb2,5100,kb 2521005x252525(3)由题意得9 040-120(60-a)=2 800,解得a=8.答:a的值为8.思路分析思路分析 (1)根据题意:乙商店所需数量不超过50个,可
10、得120-x50,求出x的取值范围,根据图象求出单价与数量的关系,注意这里是分段函数,付款总和y=甲商店的费用+乙商店费用=甲的单价甲的数量+乙的单价乙的数量.(2)找出y关于x的函数关系式,当70 x100时,求出y的最大值,再减去甲、乙两商店联合购买的费用60120可得结果.(3)根据题意可列一元一次方程9 040-120(60-a)=2 800,求得a的值.方法规律方法规律 用二次函数解决实际最值问题的一般步骤:(1)设出实际问题中的变量;(2)根据题意列等式求出函数关系式;(3)确定自变量取值范围;(4)利用二次函数的性质求出最值,对所得最值进行检验,是否符合实际意义.15.(2019
11、石家庄十八县一模改编)“假日游乐园”中一种新型水上滑梯如图,其中线段PA表示距离水面(x轴)高度为5 m的平台(点P在y轴上).滑道AB可以看作反比例函数图象的一部分,滑道BCD可以看作是二次函数图象的一部分,两滑道的连接点B为抛物线BCD的顶点,且点B到水面的距离BE=2 m,点B到y轴的距离是5 m.当小明从上而下滑到点C时,与水面的距离CG=m,与点B的水平距离CF=2 m.(1)求反比例函数的解析式及自变量的取值范围;(2)求二次函数的解析式及自变量的取值范围;(3)小明从点B滑到水面上的点D处时,试求他所滑过的水平距离d.32解析解析 (1)BE=2 m,点B到y轴的距离是5 m,B
12、点坐标为(5,2),设反比例函数的解析式为y=,则k=10,y=,当y=5时,x=2,即A点坐标为(2,5),自变量x的取值范围是2x5.(2)由题意可知,抛物线的顶点坐标为(5,2),C点坐标为,设二次函数的解析式为y=a(x-5)2+2,则a(7-5)2+2=,解得a=-,二次函数的解析式为y=-(x-5)2+2.当y=0时,x1=9,x2=1(舍去),即D(9,0),自变量x的取值范围是5x9.(3)由(2)可知,ED=9-5=4(m),kx10 x37,2321818即小明从点B滑到水面上的点D处时,他所滑过的水平距离d=4 m.思路分析思路分析 (1)根据BE=2 m,B到y轴的距离
13、是5 m,得出B点坐标为(5,2),即反比例函数图象上一点的横坐标和纵坐标都已知,则可求出比例系数k;(2)根据抛物线顶点坐标可设顶点式,代入求出a的值,进而求出解析式,可得点D的横坐标,得出自变量的取值范围;(3)用点D的横坐标减去点E的横坐标,即可求出水平距离d.37,216.(2017湖北随州,23,10分)某水果店在两周内,将标价为10元/斤的某种水果,经过两次降价后的价格为8.1元/斤,并且两次降价的百分率相同.(1)求该种水果每次降价的百分率;(2)从第一次降价的第1天算起,第x天(x为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如下表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤,设销售
14、该水果第x(天)的利润为y(元),求y与x(1x15)之间的函数关系式,并求出第几天时销售利润最大;时间x(天)1x99x15x15售价(元/斤)第1次降价后的价格第2次降价后的价格 销量(斤)80-3x120-x储存和损耗费用(元)40+3x3x2-64x+400(3)在(2)的条件下,若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元,则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元?解析解析 (1)设该种水果每次降价的百分率是x,由题意得10(1-x)2=8.1,解得x=10%或x=190%(舍去).答:该种水果每次降价的百分率是10%.(2)当1x9时,第1次降价后的价格为10(1
15、-10%)=9元/斤,y=(9-4.1)(80-3x)-(40+3x)=-17.7x+352,-17.70,y 随x的增大而减小,当x=1时,y有最大值,ymax=-17.71+352=334.3(元),当9x15时,第2次降价后的价格为8.1 元/斤,y=(8.1-4.1)(120-x)-(3x2-64x+400)=-3x2+60 x+80=-3(x-10)2+380,-30,当9x10 时,y随x的增大而增大,当10 x15时,y随x的增大而减小,当x=10时,y有最大值,ymax=380(元),综上所述,y 与x(1x15)之间的函数关系式为y=第10天时销售利润最大.(3)设第15天在
16、第14天的价格基础上可降a元,由题意得380-127.5(8.1-4.1-a)(120-15)-(3152-6415+400),即252.5105(4-a)-115,解得a0.5.答:第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元.217.7352(19),36080(915),xxxxx思路分析思路分析 (1)设百分率是x,根据某商品原价为10元,由于各种原因连续两次降价,降价后的价格为8.1元,可列方程求解;(2)根据两个取值先计算:当1x9时和9x15时的销售单价,由“利润=(售价-进价)销量-费用”列函数关系式,并根据增减性求最大值,作对比得解;(3)设第15天在第14天的价格基础上可
17、降a元,根据第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元,列不等式可得结论.17.(2017保定二模,25)进入夏季后某款空调供不应求,厂家加班生产并销售,在第一个产销期的12天中,为提高产量,从第5天开始增加了工时生产成本,每台空调的成本P(元)与时间x(天)的关系如下表:已知每天生产的空调数量y(台)与时间x(天)近似满足函数关系y=2x+16,每台空调的出售价格为1 400元.请解答下列问题:(1)设厂家的日销售利润为W元,求W(元)与时间x(天)的函数关系式;(2)该厂哪一天获得最大利润?最大利润是多少?(3)设厂家在第一个产销期,获得最大利润时的成本为P1,日生产量为y1.现计
18、划从第13天开始,按每台成本P1元,每天生产y1台进行生产并完全售出,但由于机器损耗等原因,实际平均每台空调的成本比统计增加了a%,时间x(天)每台空调的成本P(元)0 x5P=4005x12P=40 x+200使得厂家10天的销售利润与原计划的8天的销售利润持平,求a的值.解析解析 (1)当0 x5时,W=y(1 400-P)=(2x+16)(1 400-400)=2 000 x+16 000;当5x12时,W=y(1 400-P)=(2x+16)1 400-(40 x+200)=-80 x2+1 760 x+19 200.(2)当00,W随x的增大而增大,当x=5时,W有最大值26 000;当5x12时,W=-80 x2+1 760 x+19 200=-80(x-11)2+28 880,当x=11时,W有最大值28 880.综上,第11天的利润最大,最大利润是28 880元.(3)y1=211+16=38,P1=4011+200=640,由题意得1 400-640(1+a%)3810=28 8808,解得a=23.75,a的值为23.75.
