2021年中考数学专题攻克：二次函数综合题 ppt课件.zip

类型一类型一 线段问题线段问题类型一线段问题类型一线段问题二次函数综合题二次函数综合题拓展设问练拓展设问练例如图，抛物线例如图，抛物线yax2bxc(a0)与与x轴交于点轴交于点A、B(1，0)，与，与y轴交于点轴交于点C，直线，直线y x2经过点经过点A、C.抛物线的抛物线的顶点为顶点为D，对称轴为直线，对称轴为直线l.例题图类型一类型一 线段问题线段问题(1)【思维教练】【思维教练】(1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；例题图类型一类型一 线段问题线段问题解：对于直线解：对于直线y x2，令，令y0，得，得x4，令，令x0得得y2，A(4，0)，C(0，2)，已知已知B(1，0)，将，将A、B、C三点的坐标代入抛物线解析式，三点的坐标代入抛物线解析式，得得 ，解得，解得 ，抛物线的解析式为抛物线的解析式为y x2 x2；例题图类型一类型一 线段问题线段问题(2)求顶点求顶点D的坐标与对称轴的坐标与对称轴l；例题图(2)【思维教练】【思维教练】将抛物线将抛物线y x2 x2化为顶点式，化为顶点式，得得y (x )2 ，抛物线顶点抛物线顶点D的坐标为的坐标为(，)，对称轴，对称轴l为直线为直线x ；类型一类型一 线段问题线段问题(3)设点设点E为为x轴上一点，且轴上一点，且AECE，求点，求点E的坐标；的坐标；(3)【思维教练】【思维教练】例题图类型一类型一 线段问题线段问题如解图如解图，由点，由点E在在x轴上，可设点轴上，可设点E的坐标为的坐标为(e，0)，连接，连接CE，例题解图则则AE4e.在在RtCOE中，由勾股定理得中，由勾股定理得CE2OC2OE222e2，AECE，(4e)222e2，解得解得e ，点点E的坐标为的坐标为(，0)；类型一类型一 线段问题线段问题(4)设点设点G是是y轴上一点，是否存在点轴上一点，是否存在点G，使得，使得GDGB的值最小，若存在，求出点的值最小，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；(4)【思维教练】要使【思维教练】要使GDGB的值最小，先找点的值最小，先找点B关于关于y轴的对称点轴的对称点B，再连接，再连接BD，BD与与y轴的交点即为所轴的交点即为所求的点求的点G，先求直线，先求直线BD的解析式，再求其与的解析式，再求其与y轴的交轴的交点即可点即可例题图类型一类型一 线段问题线段问题存在如解图存在如解图，作点，作点B关于关于y轴的对称点轴的对称点B，则点，则点B的坐标为的坐标为(1，0)连接连接BD，直线，直线BD与与y轴的交点轴的交点G即为所求的点即为所求的点例题解图设直线设直线BD的解析式为的解析式为ykxd(k0)，其中，其中D(，)将点将点B、D的坐标代入的坐标代入ykxd，得得 ，解得解得 ，直线直线BD的解析式为的解析式为y x ，令，令x0得得y ，点点G的坐标为的坐标为(0，)；类型一类型一 线段问题线段问题(5)在对称轴在对称轴l上是否存在一点上是否存在一点F，使得，使得BCF的周长最小，若存在，求出点的周长最小，若存在，求出点F的坐的坐标及标及BCF周长的最小值；若不存在，请说明理由；周长的最小值；若不存在，请说明理由；例题图(5)【思维教练】因为【思维教练】因为BC长为定值，要使长为定值，要使BCF周长最小，周长最小，即要使即要使CFBF的值最小，由点的值最小，由点A、B关于对称轴关于对称轴l对称，可对称，可知知AC与对称轴与对称轴l的交点即为点的交点即为点F，即可使，即可使CFBF最小，将最小，将x 代入直线代入直线AC的解析式，即可求得的解析式，即可求得F点的坐标，在点的坐标，在RtAOC中可得中可得AC的长，在的长，在RtBOC中可得中可得BC的长，即的长，即可得可得BCF的最小周长的最小周长类型一类型一 线段问题线段问题存在如解图存在如解图，要使，要使BCF的周长最小，即的周长最小，即BCBFCF最小最小例题解图在在RtOBC中，中，OB1，OC2.由勾股定理得由勾股定理得BC 为定值，为定值，只需只需BFCF最小最小点点B与点与点A关于直线关于直线l对称，对称，AFBF，则，则BFCFAFCF.AC与对称轴与对称轴l的交点即为所求的点的交点即为所求的点F.将将x 代入直线代入直线y x2得得y 2 .类型一类型一 线段问题线段问题点点F的坐标为的坐标为(，)在在RtAOC中，中，AO4，OC2，由勾股定理得，由勾股定理得AC 2 ，BCF周长的最小值为周长的最小值为BCBFCFBCAFCFBCAC 2 3 ；例题解图类型一类型一 线段问题线段问题(6)若点若点H是抛物线上位于是抛物线上位于AC上方的一点，过点上方的一点，过点H作作y轴的平行线，交轴的平行线，交AC于点于点K，设，设点点H的横坐标为的横坐标为h，线段，线段HKd.求求d关于关于h的函数关系式；的函数关系式；求求d的最大值及此时的最大值及此时H点的坐标；点的坐标；(6)【思维教练】由题可得点【思维教练】由题可得点H的横坐标为的横坐标为h，分别将分别将h代入代入抛物线及直线抛物线及直线AC的解析式中，即可得到点的解析式中，即可得到点H、K的纵坐标，的纵坐标，再由点再由点H在点在点K的上方，可得到的上方，可得到d关于关于h的函数关系式；的函数关系式；利用利用二次函数的性质求最值，即可得二次函数的性质求最值，即可得d的最大值的最大值例题图类型一类型一 线段问题线段问题如解图如解图，点点H在抛物线上，在抛物线上，例题解图设点设点H的坐标为的坐标为(h，h2 h2)(0h4)，HKy轴，交轴，交AC于点于点K，点点K的坐标为的坐标为(h，h2)，点点H在点在点K的上方，的上方，HKd(h2 h2)(h2)h22h，d关于关于h的函数关系式为的函数关系式为d h22h；类型一类型一 线段问题线段问题由由d h22h (h24h)(h2)22，0，0h4.当当h2时，时，d最大，最大值为最大，最大值为2，此时点，此时点H的坐标为的坐标为(2，1)；例题解图类型一类型一 线段问题线段问题(7)设点设点Q是对称轴右侧抛物线上一点是对称轴右侧抛物线上一点(Q不与不与A重合重合)，过点，过点Q作作y轴的平行线，交轴的平行线，交AC于点于点M，交，交x轴于点轴于点R，若，若QM3MR，求点，求点Q的坐标；的坐标；例题图(7)【思维教练】要求点【思维教练】要求点Q的坐标，需分点的坐标，需分点Q在点在点M的上方和的上方和点点Q在点在点M的下方两种情况讨论，在每种情况下用点的下方两种情况讨论，在每种情况下用点Q，M，R的纵坐标表示出的纵坐标表示出QM和和MR的长度，利用的长度，利用QM3MR列方列方程求解，注意检验计算结果的合理性程求解，注意检验计算结果的合理性类型一类型一 线段问题线段问题设点设点Q的横坐标为的横坐标为q，当点当点Q在点在点M的上方时的上方时(q4)，如解图，如解图.例题解图此时此时QM(q2)(q2 q2)q22q，MR q2，QM3MR，q22q3(q2)，解得解得q13或或q24，均不符合题意，舍去，均不符合题意，舍去综上所述，满足条件的点综上所述，满足条件的点Q的坐标为的坐标为(3，1)类型一类型一 线段问题线段问题综合提升练综合提升练1.已知抛物线已知抛物线yx2bxc与与x轴交于点轴交于点A(m2，0)和和B(2m1，0)(点点A在点在点B的的左侧左侧)，与，与y轴相交于点轴相交于点C，顶点为，顶点为P，对称轴为，对称轴为l：x1.(1)求抛物线解析式；求抛物线解析式；第1题图解：令解：令y0，得，得x2bxc0，由根与系数的关系可得：由根与系数的关系可得：m22m1b，(m2)(2m1)c，抛物线的对称轴为抛物线的对称轴为x 1，即，即b2，m22m12，解得，解得m1，c3，抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx22x3；类型一类型一 线段问题线段问题(2)直线直线ykx2(k0)与抛物线相交于两点与抛物线相交于两点M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1x2)当当|x1x2|最小时，求抛物线与直线的交点最小时，求抛物线与直线的交点M和和N的坐标；的坐标；由由 可得可得x2(k2)x10，x1x22k，x1x21，|x1x2|2，当当k2时，时，|x1x2|取到最小值取到最小值2，此时，此时，x11，x21，直线解析式为直线解析式为y2x2，M(1，0)，N(1，4)；类型一类型一 线段问题线段问题(3)首尾顺次连接点首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为构成多边形的周长为L，若线段，若线段OB在在x轴上移动，轴上移动，求求L最小值时点最小值时点O，B移动后的坐标及移动后的坐标及L的最小值的最小值如解图，设平移后的如解图，设平移后的O、B两点为两点为O和和B，以，以OB、PB为边作平行四边形为边作平行四边形POBP，则有，则有PBPO，PPOB，再将，再将C点以点以x轴为对称轴对称到轴为对称轴对称到C点，连接点，连接PC，OC，则有，则有OCOC，COPBOCPOPC，又由又由(1)易知易知P(1，4)，PPOBOB3，C(0，3)，P(2，4)，C(0，3)，PC ，直线直线PC的解析式为的解析式为y x3，第1题解图类型一类型一 线段问题线段问题直线直线PC与与x轴的交点为轴的交点为(，0)，PC，OB为定值，为定值，当当COPB取最小值取最小值PC时时L最小，最小，此时此时O(，0)，则，则B(，0)又又PC ，L最小值最小值PCPCOB 3.第1题解图类型一类型一 线段问题线段问题2.(2018宜宾宜宾)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为中，已知抛物线的顶点坐标为(2，0)，且经过点，且经过点(4，1)如图，直线如图，直线y x与抛物线交于与抛物线交于A、B两点，直线两点，直线l为为y1.(1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；第2题图解：解：抛物线的顶点坐标为抛物线的顶点坐标为(2，0)，设抛物线解析式为设抛物线解析式为ya(x2)2，抛物线经过点抛物线经过点(4，1)，1a(42)2，解得，解得a .抛物线的解析式为抛物线的解析式为y (x2)2；类型一类型一 线段问题线段问题(2)在在l上是否存在一点上是否存在一点P，使，使PAPB取得最小值？若存在，求出点取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存的坐标；若不存在，请说明理由；在，请说明理由；存在；存在；联立解析式得联立解析式得 ，解得解得 或或 ，第2题图类型一类型一 线段问题线段问题A(1，)，B(4，1)，如解图，作点如解图，作点A关于直线关于直线y1的对称点的对称点C，则，则C(1，)，连接，连接BC交直线交直线y1于点于点P，第2题解图设直线设直线BC的解析式为的解析式为ypxb，将点，将点B，C的坐标分别代入，的坐标分别代入，得得 ，解得，解得 ，y x ，当，当y1，即，即 x 1时，得时，得x ，点点P的坐标为的坐标为(，1)；类型一类型一 线段问题线段问题(3)已知已知F(x0，y0)为平面内一定点，为平面内一定点，M(m，n)为抛物线上一动点，且点为抛物线上一动点，且点M到直线到直线l的距的距离与点离与点M到点到点F的距离总是相等，求定点的距离总是相等，求定点F的坐标的坐标点点M到直线到直线l的距离与点的距离与点M到点到点F的距离总是相等，的距离总是相等，(mx0)2(ny0)2(n1)2，m22x0m 2y0n 2n1，点点M(m，n)在抛物线上，在抛物线上，n (m2)2.m22x0m 2y0 (m2)2 2 (m2)21.类型一类型一 线段问题线段问题整理得整理得(1 y0)m2(22x02y0)m 2y030.m为任意值，为任意值，解得解得 ，定点定点F的坐标为的坐标为(2，1)类型二类型二 面积问题面积问题类型二面积问题类型二面积问题拓展设问练拓展设问练例如图，已知抛物线例如图，已知抛物线yx2bxc与直线与直线AB相交于相交于A(3，0)，B(0，3)两点，与两点，与x轴的另一个交点为轴的另一个交点为C，对称轴为直线，对称轴为直线l，顶，顶点为点为D，对称轴与，对称轴与x轴的交点为轴的交点为E.例题图类型二类型二 面积问题面积问题(1)求直线求直线AB的解析式及抛物线的解析式；的解析式及抛物线的解析式；例题图(1)【思维教练】【思维教练】类型二类型二 面积问题面积问题解：设直线解：设直线AB的解析式为的解析式为ykxd(k0)，将点将点A(3，0)、B(0，3)代入，代入，得得 ，解得，解得 ，直线直线AB的解析式为的解析式为yx3，将点将点A(3，0)，B(0，3)代入抛物线解析式，代入抛物线解析式，得得 ，解得，解得 ，抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx22x3；例题图类型二类型二 面积问题面积问题(2)连接连接BC，求，求ABC的面积；的面积；(2)【思维教练】【思维教练】例题图类型二类型二 面积问题面积问题令抛物线解析式中令抛物线解析式中y0得得x22x30，解得解得x13，x21，点点C的坐标为的坐标为(1，0)，A(3，0)，B(0，3)，C(1，0)，AO3，OB3，OC1，AC4，BOAC，SABC ACOB 436;例题图类型二类型二 面积问题面积问题(3)连接连接BC，在抛物线上是否存在一点，在抛物线上是否存在一点M(异于点异于点C)，使得，使得SABMSABC？若存在，？若存在，求出点求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；例题图(3)【思维教练】由于点【思维教练】由于点M在抛物线上的位置不确定，需考虑在抛物线上的位置不确定，需考虑M点的不同位置，结合图形分两种情况讨论：点的不同位置，结合图形分两种情况讨论：点点M在直线在直线AB的上方，可先设出点的上方，可先设出点M的横坐标并用其表示的横坐标并用其表示ABM的面积，的面积，再列方程求解；再列方程求解；点点M在直线在直线AB的下方，可通过平移直线的下方，可通过平移直线AB，使其经过点，使其经过点C，利用，利用“同底等高的三角形面积相等同底等高的三角形面积相等”来求解来求解类型二类型二 面积问题面积问题存在存在如解图如解图，当点，当点M在直线在直线AB的上方时，过点的上方时，过点M作作MMx轴交直线轴交直线AB于点于点N，连，连接接AM，BM，例题解图设点设点M的坐标为的坐标为(m，m22m3)，则则N(m，m3)，MNm22m3(m3)m23m，SABMSAMNSBMN MNAM MNMO MN(AMMO)类型二类型二 面积问题面积问题 MNAO (m23m)3 m2 m，根据题意得根据题意得SABMSABC6，则则 m2 m6，即即m23m40，b24ac3241470，此时方程无解，则不存在这样的点此时方程无解，则不存在这样的点M；例题解图类型二类型二 面积问题面积问题如解图如解图，当点，当点M在直线在直线AB的下方时，连接的下方时，连接BM，AM，SABMSABC，以以AB作底，只要作底，只要ABM与与ABC的高相等即可，的高相等即可，故平移直线故平移直线AB，使其过点，使其过点C，此时平移后的直线与抛物线的交点即为，此时平移后的直线与抛物线的交点即为M，设平移后的直线设平移后的直线CM的解析式为的解析式为yx3b，将点将点C(1，0)代入得代入得b4，直线直线CM的解析式为的解析式为yx1，与抛物线联立得，与抛物线联立得 ，解得解得 (舍去舍去)，存在这样的点存在这样的点M，其坐标为，其坐标为(4，5)；例题解图类型二类型二 面积问题面积问题(4)连接连接BC，点，点N是线段是线段AB上一点，过点上一点，过点N作作NNx轴，试确定点轴，试确定点N的位置，使的位置，使ABC的面积被直线的面积被直线NN分为分为1 2的两部分；的两部分；例题图(4)【思维教练】由题意知，【思维教练】由题意知，NN将将ABC分成一个三角形和分成一个三角形和一个四边形，因此要分情况进行讨论：一个四边形，因此要分情况进行讨论：ANN的面积占的面积占ABC面积的面积的 ；ANN的面积占的面积占ABC面积的面积的 .在每在每种情况下，用点种情况下，用点N的横坐标表示出的横坐标表示出ANN的面积，列方程求的面积，列方程求解即可，注意检验求得的解是否满足点解即可，注意检验求得的解是否满足点N在线段在线段AB上上类型二类型二 面积问题面积问题如解图如解图，由，由(2)知知ABC的面积为的面积为6，设，设N(n，n3)(3n0)，当当SANN SABC2时，时，SANN (n3)(n3)2，解得解得n11，n25(不在线段不在线段AB上，舍去上，舍去)，N(1，2)；当当SANN SABC4时，时，SANN (n3)(n3)4，解得解得n12 3，n22 3(不在线段不在线段AB上，舍去上，舍去)，N(2 3，2 )，综上所述，点综上所述，点N的坐标为的坐标为(1，2)或或(2 3，2 )；例题解图类型二类型二 面积问题面积问题(5)在抛物线上是否存在一点在抛物线上是否存在一点G使得使得SACG2？若存在，求点？若存在，求点G的坐标，若不存在，的坐标，若不存在，请说明理由；请说明理由；例题图(5)【思维教练】观察图形可知【思维教练】观察图形可知ACG的面积为的面积为 AC|yG|，根，根据题意先假定在据题意先假定在x轴上方的抛物线上存在一点轴上方的抛物线上存在一点G，然后过点，然后过点G作作GGx轴于点轴于点G，设点，设点G的横坐标为的横坐标为g，以，以AC为底，为底，GG为高为高即可得到即可得到SACG关于关于g的函数解析式，再令其函数值为的函数解析式，再令其函数值为2，求解，求解即可；然后在即可；然后在x轴下方的抛物线上假定一点轴下方的抛物线上假定一点G，同理求解即可，同理求解即可类型二类型二 面积问题面积问题存在存在过点过点G作作GGx轴于点轴于点G，设点设点G的坐标为的坐标为(g，g22g3)，当点当点G在在x轴上方时，如解图轴上方时，如解图，g22g30，SACG ACGG 4(g22g3)，SACG2，4(g22g3)2，解得解得g11 ，g21 ，点点G坐标为坐标为(1 ，1)或或(1 ，1)；例题解图类型二类型二 面积问题面积问题当点当点G在在x轴下方时，轴下方时，如解图如解图，g22g30，则则GG(g22g3)g22g3，SACG ACGG 4(g22g3)2，解得解得g31 ，g41 ，点点G坐标为坐标为(1 ，1)或或(1 ，1)，综上所述，点综上所述，点G坐标为坐标为(1 ，1)或或(1 ，1)或或(1 ，1)或或(1 ，1)；例题解图类型二类型二 面积问题面积问题(6)已知点已知点P是第二象限内抛物线上一动点，连接是第二象限内抛物线上一动点，连接AP、BP，设点，设点P的横坐标为的横坐标为p，ABP的面积为的面积为S.求求S关于关于p的函数关系式；的函数关系式；求当求当p为何值时，为何值时，S有最大值，最大值是多少？有最大值，最大值是多少？例题图(6)【思维教练】【思维教练】要求要求ABP的面积，观察可得不易采用面积公的面积，观察可得不易采用面积公式直接求解，则此时需想到用式直接求解，则此时需想到用“分割法分割法”，作，作PPy轴交直线轴交直线AB于于点点P，则，则PP将将ABP分成分成APP和和BPP两部分，在这两部分两部分，在这两部分中分别以中分别以PP为底表示出两个三角形面积，求和即是为底表示出两个三角形面积，求和即是ABP的面的面积；积；利用二次函数性质求利用二次函数性质求S的最大值及此时的的最大值及此时的p值值类型二类型二 面积问题面积问题例题解图点点P在抛物线上，在抛物线上，点点P的坐标为的坐标为(p，p22p3)，如解图如解图，过点，过点P作作PPy轴交直线轴交直线AB于点于点P，则则P(p，p3)，PP(p22p3)(p3)p23p，SABPSAPPSBPP PPAO (p23p)3 p2 p，即即S p2 p(3p0)；类型二类型二 面积问题面积问题S p2 p (p )2 ，0，3p0，当当p 时，时，S有最大值，最大值为有最大值，最大值为 .例题解图类型二类型二 面积问题面积问题综合提升练综合提升练1.(2019达州达州)如图如图，已知抛物线，已知抛物线yx2bxc过点过点A(1，0)，B(3，0)(1)求抛物线的解析式及其顶点求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；的坐标；第1题图类型二类型二 面积问题面积问题解：解：抛物线抛物线yx2bxc过点过点A(1，0)，B(3，0)，解得，解得 ，抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx22x3.yx22x3(x1)24，抛物线的顶点抛物线的顶点C的坐标为的坐标为(1，4)；第1题图类型二类型二 面积问题面积问题(2)设点设点D是是x轴上一点，当轴上一点，当tan(CAOCDO)4时，求点时，求点D的坐标；的坐标；tanCOB 4，tan(CAOCDO)4，COBCAOCDO.如解图，过点如解图，过点A作作AFCO交交y轴于点轴于点F，CAFOCA.又又COBFAOCAOCAF，CDOOCA.第1题解图类型二类型二 面积问题面积问题当点当点D位于位于x轴的负半轴时，连接轴的负半轴时，连接CD1，CD1OOCA，CAOD1AC，AOCACD1，.又又AC 2 ，AO1.AD120，D1(19，0)；当点当点D位于位于x轴的正半轴时，轴的正半轴时，点点D关于直线关于直线x1的对称点的对称点D2的坐标为的坐标为(17，0)，点点D的坐标为的坐标为(19，0)或或(17，0)；第1题解图类型二类型二 面积问题面积问题(3)如图如图，抛物线与，抛物线与y轴交于点轴交于点E，点，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交交BE于点于点M，交，交y轴于点轴于点N，BMP和和EMN的面积分别为的面积分别为m、n，求，求mn的最大值的最大值设点设点P的坐标为的坐标为(a，a22a3)(3a0)，易得直线，易得直线PA的解析式为的解析式为y x ，令令x0得得y ，N(0，)SABPSBPMSBMA，SABESEMNSAENSBMA，SBPMm，SEMNn，mnSABPSABESAEN第1题图类型二类型二 面积问题面积问题 (a22a3)4 43 1(3 )2a2 a2(a )2 ，20，3a0，当当a 时，时，mn取得最大值，最大值为取得最大值，最大值为 .第1题图类型二类型二 面积问题面积问题2.(2018内江内江)如图，已知抛物线如图，已知抛物线yax2bx3与与x轴交于点轴交于点A(3，0)和点和点B(1，0)，交交y轴于点轴于点C，过点，过点C作作CDx轴，交抛物线于点轴，交抛物线于点D.(1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；类型二类型二 面积问题面积问题得得 ，解得，解得 ，解：把点解：把点A(3，0)和点和点B(1，0)代入代入yax2bx3，抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx22x3；类型二类型二 面积问题面积问题(2)若直线若直线ym(3m0)与线段与线段AD、BD分别交于分别交于G、H两点，过两点，过G点作点作EGx轴于轴于点点E，过点，过点H作作HFx轴于点轴于点F，求矩形，求矩形GEFH的最大面积；的最大面积；由由(1)知，抛物线的解析式为知，抛物线的解析式为yx22x3，抛物线与抛物线与y轴的交点轴的交点C的坐标为的坐标为(0，3)，令令x22x33，解得解得x10或或x22，点点D的坐标为的坐标为(2，3)，B(1，0)和和A(3，0)，直线直线BD的解析式为的解析式为yx1，类型二类型二 面积问题面积问题直线直线AD的解析式为的解析式为y3x9，直线直线ym(3m0)与线段与线段AD、BD分别交于分别交于G、H两点，两点，yGyHm，xG ，xHm1，FHm，GHxHxG .S矩形矩形GEFHGHFH (m)(m )23，0，3m0，当当m 时，矩形时，矩形GEFH的面积最大，最大面积为的面积最大，最大面积为3；类型二类型二 面积问题面积问题(3)若直线若直线ykx1将四边形将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为分成左、右两个部分，面积分别为S1、S2，且，且S1 S24 5，求，求k的值的值A(3，0)、B(1，0)、C(0，3)、D(2，3)，AB4，CD2，OC3，四边形四边形ABCD的面积为的面积为 (42)39，S1 S24 5，S14，设直线设直线ykx1与直线与直线CD交于点交于点N，与，与x轴交于点轴交于点M.根据点根据点N的位置有以下两种情况：的位置有以下两种情况：类型二类型二 面积问题面积问题点点N在点在点D左侧左侧(或与点或与点D重合重合)，与点，与点A，点，点M构成构成AMD；当直线当直线ykx1经过点经过点D(2，3)时，如解图时，如解图，有，有2k13，解得，解得k2.y2x1，令令y0，解得，解得x ，则此时点则此时点M的坐标为的坐标为(，0)由由A(3，0)，M(，0)和和D(2，3)，可得可得AM ，AMD的边的边AM上的高为上的高为3，SAMD 3AM 3 4.当点当点N与点与点D重合时，重合时，SAMD最大，而最大，而SAMD的最大值的最大值4，此情况不符合题意；此情况不符合题意；第2题解图类型二类型二 面积问题面积问题点点N在点在点D右侧，与点右侧，与点A，M，D构成四边形构成四边形ADNM，如解图，如解图，第2题解图M(，0)，N(，3)，AM 3，DN 2，S1 (3 2)34，k .综上所述，综上所述，k的值为的值为 .类型三类型三 角度问题角度问题类型三角度问题类型三角度问题拓展设问练拓展设问练例如图例如图，抛物线，抛物线y x2bxc与与x轴交于轴交于A(3，0)、B两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C(0，3 )，连接，连接AC，BC，抛物线的对称轴交，抛物线的对称轴交x轴于点轴于点E，交，交BC于点于点F，顶点为，顶点为M.例题图类型三类型三 角度问题角度问题(1)求抛物线的解析式及顶点求抛物线的解析式及顶点M的坐标；的坐标；例题图(1)【思维教练】要求抛物线【思维教练】要求抛物线y x2bxc的解析式，的解析式，观察可知需要求解观察可知需要求解b，c的值，故代入的值，故代入A点和点和C点的坐标联点的坐标联立方程，解方程组即可要求顶点立方程，解方程组即可要求顶点M的坐标，可将求出的坐标，可将求出的抛物线方程化为顶点式，即可求出的抛物线方程化为顶点式，即可求出M的坐标的坐标类型三类型三 角度问题角度问题解：解：抛物线抛物线y x2bxc与与x轴交于点轴交于点A(3，0)，与，与y轴交于点轴交于点C(0，3 )，解得，解得 ，抛物线的解析式为抛物线的解析式为y x2 x3 ，化为顶点式得化为顶点式得y (x3)24 ，顶点顶点M的坐标为的坐标为(3，4 )；例题图类型三类型三 角度问题角度问题(2)如图如图，已知点，已知点R是是y轴上一点，连接轴上一点，连接AR，若，若AR恰好平分恰好平分OAC，求点，求点R的坐标；的坐标；例题图(2)【思维教练】要求点【思维教练】要求点R的坐标，设出点的坐标，设出点R的坐标，结合的坐标，结合AR平分平分OAC，且，且ORAO，故可考虑过点，故可考虑过点R作作RDAC于点于点D，利用角平分线性质得到，利用角平分线性质得到RDRO，再结合，再结合RCDACO，RDCAOC，得，得CDRCOA，列比例式求解即，列比例式求解即可可类型三类型三 角度问题角度问题例题解图如解图如解图，过点，过点R作作RDAC于点于点D，设点，设点R的坐标为的坐标为(0，r)，AR平分平分CAO，ROAO，DRROr，CDRAOC90，RCDACO，CDRCOA，.点点A(3，0)，C(0，3 )，OA3，OC3 ，在在RtAOC中，由勾股定理得中，由勾股定理得AC 6，解得，解得r ，点点R的坐标为的坐标为(0，)；类型三类型三 角度问题角度问题(3)如图如图，已知点，已知点H是抛物线上一动点，是否存在点是抛物线上一动点，是否存在点H，使得，使得HCBHBC，若，若存在，求点存在，求点H的坐标；若不存在，说明理由；的坐标；若不存在，说明理由；例题图(3)【思维教练】由【思维教练】由HCBHBC可知，点可知，点H为线段为线段BC的垂直平分线与抛物线的交点，作线段的垂直平分线与抛物线的交点，作线段BC的垂直平的垂直平分线分线SL，利用待定系数法求出，利用待定系数法求出SL的解析式，与抛物线解的解析式，与抛物线解析式联立即可求得点析式联立即可求得点H的坐标的坐标类型三类型三 角度问题角度问题存在存在令令y x2 x3 0，解得解得x13，x29，点点B的坐标为的坐标为(9，0)，设设BC的中点为的中点为S，点点C(0，3 )，BC的中点的中点S的坐标为的坐标为(，)，如解图如解图，过点，过点S作作SLBC，交，交x轴于点轴于点L，交抛物线于点，交抛物线于点H，此时点，此时点H即为所求，即为所求，例题解图OC3 ，OA3，OB9，AC6，BC6 ，类型三类型三 角度问题角度问题则则ACOCBO30，BS BC3 ，BL 6，OLOBBL963，则点，则点L的坐标为的坐标为(3，0)，设直线设直线SL的解析式为的解析式为ykxt，将点，将点S，L的坐标代入得的坐标代入得，解得，解得 ，直线直线SL的解析式为的解析式为y x3 ，与抛物线联立方程组得与抛物线联立方程组得例题解图类型三类型三 角度问题角度问题解得解得 ，即这样的点即这样的点H有两个，坐标为有两个，坐标为(6，3 )或或(9，12 )；例题解图类型三类型三 角度问题角度问题(4)如图如图，点，点P是抛物线上一个动点，连接是抛物线上一个动点，连接MP，过点，过点P作作PQy轴，交直线轴，交直线BC于点于点Q，若，若MPQ2PMF，求点，求点P的坐标；的坐标；例题图(4)【思维教练】由点【思维教练】由点P的位置不确定，可分点的位置不确定，可分点P在点在点Q下方下方和点和点P在点在点Q上方两种情况进行讨论，当点上方两种情况进行讨论，当点P在点在点Q下方时，下方时，由由PMFMPQ，不符合题设条件而排除，当点，不符合题设条件而排除，当点P在点在点Q上方时，由已知易得上方时，由已知易得PQMF，MPQPMF180，进行求解即可，进行求解即可类型三类型三 角度问题角度问题MFy轴，轴，PQy轴，轴，MFPQ.()如解图如解图，当点，当点P在点在点Q的下方时，的下方时，PMFMPQ，此时不符合题设条件；此时不符合题设条件；例题解图()如解图如解图，当点，当点P在点在点Q的上方时，的上方时，FMPMPQ180，例题解图MPQ2FMP，FMP60，QFM180EFQ120，FMPMFQ180，类型三类型三 角度问题角度问题MPFQ，直线直线BC的解析式为的解析式为y x3 ，设直线设直线MP的解析式为的解析式为y xp，由由(1)可知可知M(3，4 )，将点将点M(3，4 )代入得代入得 3p4 ，解得，解得p5 ，直线直线MP的解析式为的解析式为y x5 ，与抛物线联立方程组得与抛物线联立方程组得例题解图类型三类型三 角度问题角度问题解得解得 ，(与点与点M重合，舍去重合，舍去)，此时点此时点P的坐标为的坐标为(6，3 )；例题解图类型三类型三 角度问题角度问题(5)如图如图，点，点P为为y轴上一点，连接轴上一点，连接BP，是否存在点，是否存在点P使得使得OBCOBP45，若存在，求出点若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；例题图(5)【思维教练】根据【思维教练】根据OBCOBP45可知作线段可知作线段BC的的垂线，构造等腰直角三角形可求出垂线段的长，再根据面积垂线，构造等腰直角三角形可求出垂线段的长，再根据面积公式求出点公式求出点P的坐标，最后根据对称性可求得点的坐标，最后根据对称性可求得点P的另外一点的另外一点坐标坐标类型三类型三 角度问题角度问题存在存在如解图如解图，过点，过点P作作PDBC交交BC于点于点D，设，设P(0，n)，由由(3)可知点可知点B的坐标为的坐标为(9，0)，PB ，BC 6 ，PBD45，PD PB ，SBCP BCPD OBCP，6 9(3 n)，例题解图类型三类型三 角度问题角度问题化简得化简得n218 n810，解得解得n19 18(舍去舍去)，n29 18，P(0，9 18)，作点作点P关于关于x轴的对称点轴的对称点P1，则则OBPOBP1，OBP1OBC45，OP1OP189 .P1(0，189 )综上所述，当点综上所述，当点P的坐标为的坐标为(0，9 18)或或(0，189 )时，时，OBCOBP45；例题解图类型三类型三 角度问题角度问题(6)如图如图，在抛物线的对称轴上，是否存在点，在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得，使得CPB90，若存在，求点，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由例题图(6)【思维教练】要使得【思维教练】要使得CPB90，根据等角的余角相，根据等角的余角相等，从而过点等，从而过点C作作ME的垂线，构造相似三角形，列比例式的垂线，构造相似三角形，列比例式求解即可求解即可类型三类型三 角度问题角度问题存在存在如解图如解图，过点，过点C作作CTME于点于点T，设点，设点P的坐标为的坐标为(3，e)，则此时，则此时CT3，BE6，PT|e3|，PE|e|，CPB90，CPTEPB90.CTP90，TCPCPT90，EPBTCP.CTPPEB，CTPPEB，例题解图类型三类型三 角度问题角度问题 ，即，即 ，当当e3 时，整理得时，整理得e23 e18；解得解得e1 ，e2 .当当0e3 时，整理得，时，整理得，e23 e18，方程无解，方程无解.综上，这样的点综上，这样的点P有两个，坐标分别为有两个，坐标分别为(3，)或或(3，)例题解图类型三类型三 角度问题角度问题综合提升练综合提升练1.(2020内江内江)如图，抛物线如图，抛物线yax2bxc经过经过A(1，0)，B(4，0)，C(0，2)三点，三点，点点D(x，y)为抛物线上第一象限内的一个动点为抛物线上第一象限内的一个动点(1)求抛物线所对应的函数表达式；求抛物线所对应的函数表达式；第1题图类型三类型三 角度问题角度问题解：将解：将A(1，0)，B(4，0)，C(0，2)代入代入yax2bxc中得，中得，解得解得抛物线所对应的函数表达式为抛物线所对应的函数表达式为y x2 x2；第1题图类型三类型三 角度问题角度问题(2)当当BCD的面积为的面积为3时，求点时，求点D的坐标；的坐标；如解图如解图，过点，过点D作作DFx轴交轴交BC于点于点F，点点D(x，y)为抛物线上第一象限内的一个动点，为抛物线上第一象限内的一个动点，点点D(x，x2 x2)第1题解图设直线设直线BC的解析式为的解析式为yBCkxm，将点将点B(4，0)、C(0，2)代入代入yBCkxm中得，中得，解得解得类型三类型三 角度问题角度问题yBC x2，F(x，x2)，DF x2 x2(x2)x22x，SBCD DF|xBxC|(x22x)4x24x，SBCD3，则有，则有x24x3，解得，解得x11，x23.当当x1时，时，y 12 123，点点D(1，3)，当当x3时，时，y 9 322，点点D(3，2)，点点D的坐标为的坐标为(1，3)或或(3，2)；第1题解图类型三类型三 角度问题角度问题(3)过点过点D作作DEBC，垂足为点，垂足为点E，是否存在点，是否存在点D，使得，使得CDE中的某个角等于中的某个角等于ABC的的2倍？若存在，求点倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由的横坐标；若不存在，请说明理由存在如解图存在如解图，过点，过点D作作DRy轴，垂足为轴，垂足为R，DR的延长线交的延长线交BC于点于点G，连接，连接AC.第1题解图点点A(1，0)，B(4，0)，C(0，2)，AC ，BC2 ，AB5，AC2BC2AB2，ABC为直角三角形为直角三角形取取AB的中点的中点H，连接，连接CH，则，则CHBH AB ，类型三