1、专题六函数应用题专题六函数应用题第三板块第三板块内容索引解题策略指导解题策略指导题型分类突破题型分类突破素养训练提高素养训练提高解题策略指导解题策略指导 T题型概述题型概述函数作为初中数学最基本、最核心的内容之一,一直是中考命题的重要考点,函数的应用与现实生活联系紧密,既能有效考查函数的基础知识、基本技能、基本思想方法,又能考查同学们探索创新能力和实践能力,所以一直以来是安徽省中考命题的热点,每年必考,甚至一份试卷多次考查.题型以解答题为主,试题背景鲜活,问题设置巧妙,难度大.安徽中考已经连续2年在22题设置函数综合应用题,2021年中考中函数应用题出现的可能性仍然较大.F方法指导方法指导1.
2、理解自变量和函数的实际意义,是解题的出发点,尤其是没有直接给出自变量时,一定理解实际问题找准自变量.2.理清自变量和函数之间的对应关系,求出函数解析式,这一步是解题的关键.若给出的问题比较复杂,可以借助图形或表格帮助分析(如复杂的行程问题一般借助线段图,复杂的最优化问题一般借助表格).3.利用函数性质解决问题时,一定要注意自变量的取值范围,特别提醒的是:随自变量取值范围的改变,对应关系也发生改变的要分类讨论.题型分类突破题型分类突破类型一实际生活中的函数应用例1(2019安徽二十所名校模拟)随着近几年城市建设的快速发展,合肥市对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资15万元种植花卉和树木.
3、根据市场调查与预测,种植树木的利润y1(单位:万元)与投资量x(单位:万元)成正比例关系,如图所示;种植花卉的利润y2(单位:万元)与投资量x(单位:万元)的函数关系如图所示(其中OA是抛物线的一部分,A为抛物线的顶点;ABx轴).(1)求出种植树木的利润y1和花卉的利润y2关于投资量x的函数关系式;(2)求此专业户种植花卉和树木获取的总利润(单位:万元)关于投入种植花卉的资金t(单位:万元)之间的函数关系式;(3)此专业户投入种植花卉的资金为多少万元时,才能使获取的利润最大,最大利润是多少?分析(1)设y1=kx,由图可知,直线y1=kx经过(1,2),于是得到结论;从y2(单位:万元)与投
4、资量x(单位:万元)的函数关系图可知,当0 x5时y2与x的关系式图象为二次函数图象的一部分,当x5时,y2=25,故应分两种情况;(2)根据(1)中所求关系式及共投资15万元,列出关于,t的函数关系式;(3)由(2)中,t的关系式求出的最大值即可.解(1)设y1=kx,由图可知,直线y1=kx经过(1,2),k=2,种植树木的利润y1关于投资量x的函数关系式为y1=2x;由函数图象可知,当x5时,y2与x的关系式图象为抛物线的一部分,设此抛物线的表达式为:y=a(x-5)2+25,把(0,0)代入表达式得,0=25a+25(x5).解得a=-1.故函数表达式为(2)因为投入种植花卉t万元,则
5、投入种植树木(15-t)万元.当t5时,y1=2(15-t),y2=-(t-5)2+25,则=-(t-5)2+25+2(15-t)=-t2+8t+30;当5t15时,y1=2(15-t),y2=25,则=55-2t.总利润(单位:万元)关于投入种植花卉的资金t(3)当t5时,=-t2+8t+30,根据二次函数的性质,当t=-=4时,取得最大值,最大值=-42+84+30=-16+32+30=46;当5t15时,-20,随t的增大而减小,当t=5时,最大=45,450,每件的售价为18万元,每件的成本y(单位:万元)是基础价与浮动价的和,其中基础价保持不变,浮动价与月需求量x(单位:件)成反比,
6、经市场调研发现,月需求量x与月份n(n为整数,1n12)符合关系式x=2n2-2kn+9(k+3)(k为常数),且得到了表中的数据.月份n(月)12成本y(万元/件)1112需求量x(件/月)120100(1)求y与x满足的关系式,请说明一件产品的利润能否是12万元;(2)求k,并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损;(3)在这一年12个月中,若第m个月和第(m+1)个月的利润相差最大,求m.第(m+1)个月的利润为W=24(m+1)2-13(m+1)+47=24(m2-11m+35),若WW,W-W=48(6-m),m取最小1,W-W取得最大值240;若WW,W-W=48(m-6),由m+11
7、2知m取最大11,W-W取得最大值240.m=1或11.类型三由函数产生新函数的应用例3(2013安徽,22)某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营,了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如表所示.(1)请计算第几天该商品的销售单价为35元/件;(2)求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式;(3)这40天中该网店第几天获得的利润最大?最大的利润是多少?类型四球类运动中的函数应用例4(2017安徽名校模拟卷)如图,某足球运动员站在点O处练习射门,将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出(点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之
8、间满足函数关系y=at2+5t+c,已知足球飞行0.8 s时,离地面的高度为3.5 m.(1)足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高?最大高度是多少?(2)若足球飞行的水平距离x(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系x=10t,已知球门的高度为2.44 m,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28 m,他能否将球直接射入球门?素养训练提高素养训练提高1.(2020吉林长春)已知A,B两地之间有一条长240千米的公路.甲车从A地出发匀速开往B地,甲车出发两小时后,乙车从B地出发匀速开往A地,两车同时到达各自的目的地.两车行驶的路程之和y(单位:千米)与甲车行驶的时间x(单
9、位:时)之间的函数关系如图所示.(1)甲车的速度为_千米/时,a的值为_;(2)求乙车出发后,y与x之间的函数关系式;(3)当甲、乙两车相距100千米时,求甲车行驶的时间.2.(2020辽宁朝阳)某公司销售一种商品,成本为每件30元,经过市场调查发现,该商品的日销售量y(单位:件)与销售单价x(单位:元)是一次函数关系,其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表:(1)直接写出y与x的关系式_;(2)求公司销售该商品获得的最大日利润;(3)销售一段时间以后,由于某种原因,该商品每件成本增加了10元,若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元,在日销售量y(单位:件)与销售单价x(单位:元)保持(1
10、)中函数关系不变的情况下,该商品的日销售最大利润是1 500元,求a的值.销售单价x(元)406080日销售量y(件)806040(2)设公司销售该商品获得的日利润为w元,w=(x-30)y=(x-30)(-x+120)=-x2+150 x-3 600=-(x-75)2+2 025,x-300,-x+1200,30 x120,a=-10,抛物线开口向下,函数有最大值,当x=75时,w最大=2 025.答:当销售单价是75元时,最大日利润是2 025元.(3)w=(x-30-10)(-x+120)=-x2+160 x-4 800=-(x-80)2+1 600,当w最大=1 500时,-(x-80
11、)2+1 600=1 500,解得x1=70,x2=90,40 xa,有两种情况,a80时,在对称轴左侧,w随x的增大而增大,当x=a=70时,w最大=1 500,a80时,在40 xa范围内w最大=1 6001 500,这种情况不成立,a=70.3.(2020云南)众志成城抗疫情,全国人民在行动.某公司决定安排大、小货车共20辆,运送260吨物资到A地和B地,支援当地抗击疫情.每辆大货车装15吨物资,每辆小货车装10吨物资,这20辆货车恰好装完这批物资.已知这两种货车的运费如下表:现安排上述装好物资的20辆货车(每辆大货车装15吨物资,每辆小货车装10吨物资)中的10辆前往A地,其余前往B地
12、,设前往A地的大货车有x辆,这20辆货车的总运费为y元.(1)这20辆货车中,大货车、小货车各有多少辆?(2)求y与x的函数解析式,并直接写出x的取值范围;(3)若运往A地的物资不少于140吨,求总运费y的最小值.目的地车型A地(元/辆)B地(元/辆)大货车9001 000小货车500700(2)设到A地的大货车有x辆,则到A地的小货车有(10-x)辆,到B地的大货车有(12-x)辆,到B地的小货车有(x-2)辆,y=900 x+500(10-x)+1 000(12-x)+700(x-2)=100 x+15 600,其中2x10.(3)运往A地的物资共有15x+10(10-x)吨,15x+10
13、(10-x)140,解得:x8,8x10,当x=8时,y有最小值,此时y=1008+15 600=16 400元.答:总运费最小值为16 400元.4.(2020山东滨州)某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果,若售价为50元/千克,则一个月可售出500千克;若售价在50元/千克的基础上每涨价1元,则月销售量就减少10千克.(1)当售价为55元/千克时,每月销售水果多少千克?(2)当月利润为8 750元时,每千克水果售价为多少元?(3)当每千克水果售价为多少元时,获得的月利润最大?解(1)当售价为55元/千克时,每月销售水果=500-10(55-50)=450千克.(2)设每千克水果售
14、价为x元,由题意可得8 750=(x-40)500-10(x-50),解得x1=65,x2=75,答:每千克水果售价为65元或75元.(3)设每千克水果售价为m元,获得的月利润为y元,由题意可得y=(m-40)500-10(m-50)=-10(m-70)2+9 000,当m=70时,y有最大值为9 000元.答:当每千克水果售价为70元时,获得的月利润最大值为9 000元.5.(2020云南昆明)为了做好校园疫情防控工作,校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒,她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19 min;完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11 min.(1)校医完成一间办公室
15、和一间教室的药物喷洒各要多少时间?(2)消毒药物在一间教室内空气中的浓度y(单位:mg/m3)与时间x(单位:min)的函数关系如图所示:校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y=2x,药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系,两个函数图象的交点为A(m,n).当教室空气中的药物浓度不高于1 mg/m3时,对人体健康无危害,校医依次对一班至十一班教室(共11间)进行药物喷洒消毒,当她把最后一间教室药物喷洒完成后,一班学生能否进入教室?请通过计算说明.6.(2020浙江嘉兴)在篮球比赛中,东东投出的球在点A处反弹,反弹后球运动的路线为抛物线的一部分(如图1所示建立直角坐标系),抛物线顶点为点B.(1
16、)求该抛物线的函数表达式.(2)当球运动到点C时被东东抢到,CDx轴于点D,CD=2.6 m.求OD的长.东东抢到球后,因遭对方防守无法投篮,他在点D处垂直起跳传球,想将球沿直线快速传给队友华华,目标为华华的接球点E(4,1.3).东东起跳后所持球离地面高度h1(单位:m)(传球前)与东东起跳后时间t(单位:s)满足函数关系式h1=-2(t-0.5)2+2.7(0t1);小戴在点F(1.5,0)处拦截,他比东东晚0.3 s垂直起跳,其拦截高度h2(单位:m)与东东起跳后时间t(单位:s)的函数关系如图2所示(其中两条抛物线的形状相同).东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点E?若能,东东应在起
17、跳后什么时间范围内传球?若不能,请说明理由(直线传球过程中球运动时间忽略不计).解(1)设y=a(x-0.4)2+3.32(a0),把x=0,y=3代入,解得a=-2,抛物线的函数表达式为y=-2(x-0.4)2+3.32.(2)把y=2.6代入y=-2(x-0.4)2+3.32,化简得(x-0.4)2=0.36,解得x1=-0.2(舍去),x2=1,OD=1 m.东东的直线传球能越过小戴的拦截传到点E.由图1可得,当0t0.3时,h2=2.2.当0.3t1.3时,h2=-2(t-0.8)2+2.7.图1 当h1-h2=0时,t=0.65,东东在点D跳起传球与小戴在点F处拦截的示意图如图2,设MD=h1,NF=h2,当点M,N,E三点共线时,过点E作EGMD于点G,交NF于点H,过点N作NPMD于点P,MDNF,PNEG,M=HEN,MNP=NEH,MPNNHE,图2
