1、动态数学谈谈运动思想在数学中的应用 画在纸上的图形都是画在纸上的图形都是“死死”的，但我的，但我们的思想是们的思想是“活活”的的。在许多时候，我们。在许多时候，我们要将图形中的某些元素进行运动变化，使图要将图形中的某些元素进行运动变化，使图形之间的内在联系更加明显，使内在的规律形之间的内在联系更加明显，使内在的规律更加清楚，从而更有效的解决问题。更加清楚，从而更有效的解决问题。今天我们想通过几个例子，来体会一今天我们想通过几个例子，来体会一下运动思想是怎样解决问题的。下运动思想是怎样解决问题的。开场白开场白一、定值探求一、定值探求 不少数学问题是在诸多变量存在情况下，探求定值或求定值的大小。我
2、们可以运动其中的动点到不同的位置，观察其变化情况，也可以运动至最特殊的位置来求定值的大小。如图，正ABC内有一点O，ODBC，OEAB，OFAC，垂足为D、E、F，当AB=4时，OD+OE+OF=（）A、B、C、4 D、不能确定2232ABCDEFOABCDEFOABCEFOABCFOB如图正方形ABCD的边长为1，E、F分别在AD、CD上，EBF=45。，则EDF的周长为 （）A、1 B、2 C、3 D、4ABCFDEABCFDEABCFDEABCDEFABCDEFB二、最值问题二、最值问题 许多最值问题往往可以用二次函数来解决。但如果考虑运动思想，可以收到事半功倍的效果。如图，RtABC中
3、，C=Rt,AC=8,BC=6,D在AB上，DEAC于E，DFBC于F。问矩形DECF的面积是否有最大值或最小值？如果有的话，D在何处？面积为多少？ACBDEFACBDEFABCDEFABCDEF如图，正方形ABCD中AD=2，E在AD上，F在AB上，G在DC上，且AF=ED，DG=AE，问五边形EFBCG的面积是否有最大值或最小值？如果有的话，此时E在AD何处？面积是多少？ABCFGDEABCFGDEABCDEFGABCDEFG三、取值范围三、取值范围 由于一点运动而产生许多变量，其中得到的函数问题称为动点函数。这类问题中求自变量取值范围时，许多同学常用不等式来解决。其实运动思想是解决这类问
4、题的首选思想。如图,等腰梯形ABCD中,B=C=60,AD=6,AB=10，优弧AD与两腰分别切于A、D，P在BC上，AP=x，DE=y。（1）求y关于x的函数关系式；（2）求x的取值范围；（3）求弓形的直径。（4）当四边形DEPC是等腰梯形时，求它的面积。ABCDEp如图，等腰梯形ABCD中，B=C=60，AD=6，AB=10，优弧AD与两腰分别切于A、D，P在BC上，AP=x，DE=y。解：（1）由已知易证ABPDEA，所以有即 。（2）作AHBC于H，连AC，则AP的最小值是AH，最大值是AC，而易求AH=，AC=14，3535ADAPDEABxy60（3）由于这个反比例函数当x最小时y
5、最大，所以343123560最大值yDE的最大值就是弓形的直径。ABCDEp（1）求y关于x的函数关系式；（2）求x的取值范围；（3）求弓形的直径。HX14。如图，O的半径为1，P在 O外，PO=，PAB为割线（A在PB上），BC为直径，设PA=x，PB=y。则y关于x的函数解析式是 ,自变量x的取值范围是 。5 ABCDPO ABCPO ABCPO ABCPO-1x2 5四、动点轨迹四、动点轨迹 求点的轨迹常有两种方法：一种是发现动点满足的条件，并判断这个条件符合哪个轨迹定理，从而求得点的轨迹。另一种是在很难判断符合哪个轨迹定理的情况下，将动点按题设条件进行运动，然后观察其形成的轨迹进行猜想
6、（当然最后还得证明）。已知ABC，一动圆O与AB、AC都相切，且 O上各点都不在ABC外，则点O的轨迹是连线（A除外）。ABC的内心与点A的O五、判断错误五、判断错误 不少选择题用排除法来解会显得简捷。但要排除错误必需先判断错误。有不少同学得出了错误结论自己浑然不知，这是因为缺乏判断错误的能力。用动态方法来判断错误是一种较为精妙的方法。如图，用半径为r的两根钢棒嵌在大型工件的两侧，以测量大型工件的半径R。量得两钢棒的圆心距为2d。则R等于 （）A、B、C、D、rd42224rddrd2rdr222r2dRr2dRARr2d 如图，P在直径AB上，1=2，试判断哪些线段相等？ABCDEFGP1
7、2ABCDEFGP1 2如图，弦CD、EF均垂直于弦AB，且三等分AB，则 （）A、AD=DF=BF B、AD=BFDF C、AD=BFDF D、以上都不对ABCDEFGPABCDEFGPC六、探求多解六、探求多解 不少数学问题用运动思想探求多解，要比代数方法优越得多。在运动过程中会发现满足条件的位置不止一处，多解就探求出来了。如图，A、B、C、D是半径为8的O上四个点，且这四个点构成等腰梯形，AB=DC=10。则等腰梯形的面积的值是（）A、唯一的 B、有且只有二个 C、有且只有四个 D、有无数个ABCDOD等腰三角形ABC的底边长为8cm，腰长为5cm，一动点P在底边上从B向C以0.25cm
8、/秒的速度运动，当P运动到PA与腰垂直的位置，求P点运动的时间。分析：分析：如果观察P从B至C移动的全过程，便会发现有两处的位置满足题设。正确的答案为7秒或25秒。ABCPABCP 许多同学是用画图的方法，画出一条与腰垂直的线段AP（如图），然后进行计算，这样必定遗解。其原因就是因为缺乏运动。ABCP已知直线y=kx+b过点P（1，2），且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求其解析式。y=x3和y=x1。PPP七、存在性研究七、存在性研究 在几何问题中是否有这样位置的元素，使它满足一定条件。这类问题叫做几何中的存在性问题。解决这类问题的方法很多，用运动观察法不失为一种好方法。台风是一种自然
9、灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米时的速度沿北偏东30方向往C移动，且台风中心风力不变若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响（1）该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间约有多长?（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级?分析：（1）为了解决第一个问题，可作ADBC于D。我们可以算出有影响的台风半径是:(12-4)20=160千米，而AD
10、=2202=110千米。因为AD小于圆的半径，所以当台风中心从B移到D 时，点A在圆内，即该城市会受到这次台风的影响。D数据摘要：AB=220千米，ABC=30，台风中心风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，台风速度15千米时。分析：（2）为了解决第二个问题，我们可以想象表示台风的圆的圆心从B点向BC方向移动，当圆第一次经过A时表示开始影响该城市，第二次经过A时表示结束影响（如图）。那么台风中心从E到F移动的时间就是这次台风影响该城市的时间。容易算出EF232.4千米，影响的时间是232.41515.5小时。数据摘要：AB=220千米，ABC=30，台风中心风力为12级，每远
11、离台风中心20千米，风力就会减弱一级，台风速度15千米时。FEDCBA 是否存在m的值，使直线y=mx+4、直线x=1、直线x=4及x轴围成的直角梯形的面积为7？为什么？是否存在m的值，使直线y=mx+4、直线x=1、直线x=4及x轴围成的直角梯形的面积为7？为什么？y=-x+4y=-4x+4八、探索型问题八、探索型问题 探索型问题包括结论探索、条件探索、方法探索等。不少几何问题的探索是以运动作为先导，从运动中去发现规律，去猜想结论，从而探索出问题的结果。如图，ABC中B、C固定，A为动点。以AB、AC为边向形外作正方形ABDE及AFGC。过D、G向直线BC作垂线，垂足为H、P。（1）HB和C
12、P是否相等？（2）DH+GP是否为定值？（3）DG的中点O是否为定点？ABCDEFPHOG如图，ABC中B、C固定，A为动点。以AB、AC为边向形外作正方形ABDE及AFGC。过D、G向直线BC作垂线，垂足为H、P。（1）HB和CP是否相等？ABCDEFPHOGABCDEFPHOGQABCDEFPHOGABCDEFPHOG如图，ABC中B、C固定，A为动点。以AB、AC为边向形外作正方形ABDE及AFGC。过D、G向直线BC作垂线，垂足为H、P。（2）DH+GP是否为定值？QABCDEFPHOGQABCDEFPHOG当（1）的结论作肯定的问答并得到证明后，容易发现DH=BQ，GP=QC，故DH
13、+GP=BC，好像是定值。但当点G在直线BC的另一侧时，DH+GP=BQ+QC是一个变量，所以不是定值。如图，ABC中B、C固定，A为动点。以AB、AC为边向形外作正方形ABDE及AFGC。过D、G向直线BC作垂线，垂足为H、P。（3）DG的中点O是否为定点？在几何画板上的动态显示表明，O点确实是一个定点。如图1我们作OMBC于M，则M是HP的中点也是BC的中点，且OM=，这说明点O是定点。ABCDEFPHOGM22BCGPDHABCDEFPHOGM在图2中也作OMBC于M，则有M为HP的中点，因HB=CP，故O为BC的中点，连PO并延长交DH于N，则OM是HPN的中位线，OM=，同样可以说明点O为定点。（图2）（图1）22BCGPDHn在上例各问题的探索中，如果不借助于运动是难以想象的。其中几何画板是一个好帮手。n 以上各例许多结论是猜想出来的，虽然缺乏严格的推理，但作为分析和探究的一种途径还是无可替代的。结束语结束语 通过以上例子，我们不难看到运动思想是如何解决数学问题的，“死”的图形是如何“活”起来的，模型是怎样想象出来的。我们可以说是不是善于用运动思想观察问题解决问题，是区分是不是具备分析问题和解决问题能力的重要标志。结束语结束语
