1、2 0 2 0版第一部分第一部分 系统复习系统复习专题12 类比思想应用 考点解读 从近几年的中考试题来看,着重考查学生的探究能力、推理能力、创造能力的类比型试题成为中考的“新宠”这类试题背景独特,以类比思维为中心,与数学基础知识、数学思想方法相整合,对学生能力要求和素质要求较高,学生在解答时往往会感到困难.方法提炼 类比型试题常常以“几何演变”为载体,由特殊到一般进行拓展学生在解题时,分解题目中的基本图形,并且牢牢抓住题目中的不变属性,通过正面与反面的类比,以及全等与相似的类比,构造辅助线的类比等等,就能准确把握问题的切入点,从而高效地寻找到问题的解决方案.课堂精讲 例1已知AC,EC分别为
2、四边形ABCD和EFCG的对角线,点E在ABC内,CAECBE90.(1)如图1,当四边形ABCD和EFCG均为正方形时,连接BF.求证:CAECBF;若BE1,AE2,求CE的长;课堂精讲(2)如图 2,当四边形 ABCD 和 EFCG 均为矩形,且ABBCEFFCk 时,若 BE1,AE2,CE3,求 k 的值;(3)如图 3,当四边形 ABCD 和 EFCG 均为菱形,且DABGEF45时,设 BEm,AEn,CEp,试探究 m,n,p 三者之间满足的等量关系(直接写出结果,不必写出解答过程)图1 图2 图3课堂精讲【分析】(1)根据对应边成比例且夹角相等,可证得CAECBF;根据相似三
3、角形的性质得到对应角相等,根据等量代换得到EBF 为直角,再利用勾股定理即可求出 CE 长;(2)根据题意可得矩形 ABCD矩形 EFCG,同(1)可证得EBF为直角在 RtCEF 和 RtEBF 中根据勾股定理求得 k 值即可;(3)连接 BF,过点 C 作 CHAB 延长线于点 H,如图 2.由题意知四边形ABCD与四边形EFCG 为菱形,菱形ABCD菱形EFCG,故ACCBECCF,ACBECF,ACBECBECFECB,课堂精讲即ACEBCF.又ACCEBCCF,CAECBF,故ACBCAEBF,CAECBF,且CAECBE90.CBFCBE90,即EBF90,BEF 为直角三角形 又
4、ADBC,CBHDAB45,故CBH 为等腰直角三角形设 BHCHx,则 BCAB 2x,在 RtACH 中,AC2AH2CH2(21)x2x2(42 2)x2,故 AB2BC2AC2(2x)2(2x)2(42 2)x211(2 2),同理可得 EF2FC2EC211(2 2)故 p2(2 2)EF2(22)(BE2BF2)(22)m2n22 2,则 p2n2(22)m2.课堂精讲【解】(1)证明:ACEECB45,BCFECB45,ACEBCF.又ACBCCECF 2,CAECBF.AEBFACBC 2,AE2,BF 2.由CAECBF 可得CAECBF.又CAECBE90,CBFCBE90
5、,即EBF90.由 CE22EF22(BE2BF2)6,解得 CE 6.课堂精讲(2)如图 1,连接 BF,同(1)可得EBF90,由ABBCEFFCk,可得 BCABAC1k k21,CFEFEC1k k21.ACBCAEBF k21.BFAEk21,BF2AE2k21.CE2k21k2EF2k21k2(BE2BF2)32k21k21222k21.k104.图1课堂精讲(3)如图2,连接BF,同理可得EBF90,过点C作CHAB的延长线于 H,可解得 AB2BC2AC211(2 2),EF2FC2EC211(2 2)p2(2 2)EF2(2 2)(BE2 BF2)(2 2)m2n22 2(2
6、 2)m2n2.p2n2(2 2)m2.图2课堂精讲 【方法归纳】此题主要考查了四边形综合、相似三角形的判定和性质的应用、直角三角形的性质和应用以及勾股定理的应用,还考查了分析推理能力、空间想象能力以及数形结合方法的应用,要熟练掌握课堂精讲 例2三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现,但他的发现并未被当时的人们所注意.1875年,布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现,并用他的名字命名如图1,若任意ABC内一点Q满足123,则点Q叫ABC的布洛卡点,叫布洛卡角图 1课堂精讲 (1)如图2,若点Q为等边ABC的布洛卡点,则布洛卡角的度数是_;QA,QB,QC的
7、长度关系是_;(2)如图3,若点Q为等腰直角ABC(其中ACB90)的布洛卡点 求证:QA2QCQB;求QAC,QBA,QCB的面积比 图 2图 3课堂精讲【解】(1)30QAQBQC解析:如图1,ABC是等边三角形,ABBCAC,CABABCACB60,123,456.ACQBAQ.CQAQ.同法可证CQBQ.QAQBQC.12345630.故答案为30,QAQBQC.图 1课堂精讲(2)证明:如图 2,CACB,ACB90,CABCBA45.123,CAQABQ.ABQCAQ.QAQCQBQA.QA2QCQB.作 CHAQ 交 AQ 的延长线于 H,设 QCm.AQC1803CAQ135,
8、CQH45.CH22m.图 2课后精练 1 1如图,已知A1,A2,A3,An,An1是x轴上的点,且OA1A1A2A2A3AnAn11,分别过点A1,A2,A3,An,An1作x轴的垂线交直线y2x于点B1,B2,B3,Bn,Bn1,连接A1B2,B1A2,B2A3,AnBn1,BnAn1,依次相交于点P1,P2,P3,Pn.A1B1P1,A2B2P2,AnBnPn的面积依次记为S1,S2,S3,Sn,则Sn为()第1题图A.n12n1 B.n23n1 C.n22n1 D.n22n1 D课后精练 2 2已知:点C在直线AB上,ACa,BCb,且ab,M是AB的中点,请按照下面三个步骤探究线段
9、MC的长度(1)特值尝试:若a10,b6,点C在线段AB上,则线段MC的长度为_;(2)周密思考:若a10,b6,则线段MC的长度为_;(3)问题解决:类比(1)(2)的解题思路,则线段MC的长度为_(用含a,b的代数式表示)28或2课后精练 3 3在矩形ABCD中,AB3,AD4,点P为AB边上的动点(P与A,B不重合),将BCP沿CP翻折,点B的对应点B1在矩形外,PB1交AD于E,CB1交AD于点F.(1)如图1,求证:APEDFC;(2)如图1,如果EFPE,求BP的长;(3)如图2,连接BB交AD于点Q,EQQF85,求tanPCB.图 2图 1课后精练解:(1)证明:四边形ABCD
10、是矩形,ADABCBCD90.APEAEP90,DCFDFC90.B1PC由BPC翻折得到,ABCPB1C90.B1EFB1FE90.又B1EFAEP,B1FEDFC,DFCAPE,且AD.APEDFC.课后精练(2)PEEF,AB190,AEPB1EF,APEB1FE(AAS)AEB1E,APB1F.AEEFPEB1E.AFB1P.设BPa,则AP3aB1F,由翻折的性质,得BPB1Pa,BCB1C4,AFa,CF4(3a)a1.DFADAF4a.在RtDFC中,CF2DF2CD2,(a1)2(4a)29.a2.4.即BP2.4.课后精练(3)BCB1C,BPB1P,BCPB1CP,CP 垂
11、直平分 BB1.B1BCBCP90.BCB1C,B1BCBB1C,且BB1CPB1B90.PB1BPCB.四边形 ABCD 是矩形,ADBC.B1BCB1QF.B1QFBB1C.QFB1F.EQQF85,设 EQ8k,QF5k.B1F5k,EFEQQF13k.在 RtB1EF 中,B1E EF2B1F212k,课后精练如图,过点 Q 作 HQB1E 于点 H,又PB1C90,HQB1F.EHQEB1F.EHEB1HQB1FEQEF,即EH12kHQ5k8k13k.EH96k13,HQ40k13.B1H60k13.tanPCBtanPB1BHQB1H23.答案图课后精练 4 4在矩形ABCD中,
12、E是AD的中点,以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF,EG始终与矩形AB,BC两边相交,AB2,FG8,(1)如图1,当EF,EG分别过点B,C时,求EBC的大小;(2)在(1)的条件下,如图2,将FFG绕点E按顺时针方向旋转,当旋转到EF与AD重合时停止转动若EF,EG分别与AB,BC相交于点M,N.图 1图 2课后精练 在EFG旋转过程中,四边形BMEN的面积是否发生变化?若不变,求四边形BMEN的面积;若要变,请说明理由;如图3,设点O为FG的中点,连接OB,OE,若F30,当OB的长度最小时,求tanEBG的值图 3课后精练解:(1)四边形 ABCD 是矩形,ABDC,AD90
13、.AEDE,AEBDEC(SAS)EBEC.BEC90,EBC45.(2)结论:四边形 BMEN 的面积不变 理由:由(1)可知,EBMECN45,MENBEC90,BEMCEN.EBEC,MEBNEC(ASA)SMEBSENC.S四边形 EMBNSEBC12424.课后精练如图,当 E,B,O 共线时,OB 的值最小,作 GHOE 于 H.OFOG,FEG90,OEOFOG4.F30,EGF60.EOG 是等边三角形 GHOE,GH2 3,OHEH2.BE2 2,OB42 2.BH2(42 2)2 22.tanEBGHGBH2 32 22 6 3.答案图课后精练5 5如图,在菱形 ABCD
14、中,对角线 AC,BD 交于点 O,已知 AC2 5,AB5.(1)求 BD 的长;(2)点 E 为直线 AD 上的一个动点,连接 CE,将线段 EC 绕点 C顺时针旋转BCD 的角度后得到对应的线段 CF(即ECFBCD),EF 交 CD 于点 P.当 E 为 AD 的中点时,求 EF 的长;连接 AF,DF,当 DF 的长度最小时,求ACF 的面积 第5题图备用图课后精练解:(1)四边形 ABCD 是菱形,ADABBCCD5,ACBD,OAOC12AC 5,OBOD.在 RtABO 中,由勾股定理,得 OB AB2OA2 52(5)22 5,BD2OB4 5.课后精练(2)过点 C 作 C
15、HAD 于 H,如图 1,四边形 ABCD 是菱形,BACDAC.cosBACcosDAC.AHACOAAB55,即AH2555.AH2.CHAC2AH24.E 为 AD 的中点,AE12AD52.EHAEAH12.图 1课后精练在 RtCHE 中,由勾股定理,得 EC EH2CH212242652,由旋转的性质得ECFBCD,CFCE,BCECCDCF.BCDECF.ECEFBCBD,即652EF54 5.解得 EF2 13.课后精练如图 2,BCDECF,BCEDCF.在BCE 和DCF 中,BCDC,BCEDCF,CECF,BCEDCF(SAS)BEDF.当 BE 最小时,DF 就最小,
16、且 BEDE 时,BE 最小,此时EBCFDC90,BEDF4,SEBCSABCSDCF,则 S四边形 ACFD2SABC5420.图 2课后精练过点F 作 FHAD 于H,过点C 作 CPAD于 P,则CPD90,PCDPDC90.FDC90,PDCHDF90.PCDHDF.PCDHDF.HFFDPDCD35.HF435125.SADF12ADHF1251256.SACFS四边形 ACFDSADF20614.即当 DF 的长度最小时,ACF 的面积为 14.课后精练 6 6在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,将COD绕点O按逆时针方向旋转得到C1OD1,旋转角为(090),连接A
17、C1,BD1.AC1与BD1交于点P.(1)如图1,若四边形ABCD是正方形,求证:AC1OBD1O;(2)如图2,若四边形ABCD是菱形,AC6,BD8,设AC1kBD1.判断AC1与BD1的位置关系,说明理由,并求出k的值;(3)如图3,若四边形ABCD是平行四边形,AC6,BD12,连接DD1,设AC1kBD1.求AC12(kDD1)2的值图1 图2 图3课后精练解:(1)证明:四边形ABCD是正方形,AOBOCODO,ACBD.将COD绕点O按逆时针方向旋转得到C1OD1,OCOC1ODOD1,C1OCD1OD.BOD1AOC1,且AOBO,C1OD1O.AOC1BOD1(SAS)AC
18、1OBD1O.课后精练(2)AC1BD1,k34.理由如下:四边形 ABCD 是菱形,OCOA12AC3,OBOD12BD4,ACBD.将COD 绕点 O 按逆时针方向旋转得到C1OD1,OCOC1,ODOD1,C1OCD1OD.OAOC1,OBOD1,C1OAD1OB.OAOBOC1OD1,且C1OAD1OB.课后精练AOC1BOD1.AC1BD1OAOB34,C1AOD1BO.AC134BD1.AOB90,OABABPD1BO90.OABABPC1AO90.APB90.AC1BD1.课后精练 7 7如图,在矩形ABCD中,AB6,BC8,点E是AD边上的动点,将矩形ABCD沿BE折叠,点A
19、落在点A处,连接AC,BD.(1)如图1,若点A恰好落在BD上,求tanABE的值;(2)如图2,连接AD,CAD是CA为腰的等腰三角形,求AE的长;(3)点E在AD边上运动的过程中,ACB的度数是否存在最大值,若存在,求出此时线段AE的长;若不存在,请说明理由 图1 图2课后精练解:(1)四边形 ABCD 是矩形,A90,ADBC8.在 RtABD 中,根据勾股定理,得 BD10,设 AEx,DEADAE8x.由折叠知,AEAEx,ABAB6,BAEA90,ADBDAB4,DAE90.在 RtDAE 中,根据勾股定理,得 DE2AE2AD216,即(8x)2x216,x3.AE3.在 RtA
20、BE 中,tanABEAEAB3612.课后精练(2)当CAD 是以 CA为腰的等腰三角形时,分两种情况:当 CADA时,如图 1,过 A作AHBC 于 H,过 A作 AGDC 于 G,DGGC12DC3.AHCBCDAGC90,四边形 AHCG 是矩形 AHCG3.AH12BA.在 RtBAH 中,ABH30.图 1课后精练ABC90,由折叠得ABEEBA9030230,tanABEAEAB,AEtan 30AB3362 3.当 ACDC 时,如图 2,过 A作 AGBC,交 BC 于 H,交 AD 于 G,ADBC,GHAD.ABBA,ABCD,BAAC.BHCH4.图 2课后精练由勾股定
21、理,得 AHBF2BH2624225,AABHBHG90,四边形 ABHG 为矩形 GHAB6,AGBH4.AG625.设 AEx,则 EAx,EGAGAE4x,由勾股定理,得 x2(4x)2(625)2,解得 x935,AE935.综上,AE 的长为 23或 935.课后精练(3)ACB 的度数存在最大值理由如下:如图 3,过点 B 作 BFCA交 CA的延长线于 F,在 RtBFC 中,sinACBBFBCBF8,BF 越大时,sinACB 越大,即ACB 越大 当点 E 在边 AD 上运动时,点 A与 F 重合时,BF最大ABAB6,ABAC.BAC90.图 3课后精练点 A在 CE 上,如图 4.四边形 ABCD 是矩形,DA90,CDAB6.SBCE12BCAB12CEAB,ABAB,CEBC8.在 RtCDE 中,根据勾股定理,得 DE CE2CD22 7,AEADDE82 7.图 4单击此处编辑母版标题样式谢谢