1、综合训练（19）解答题（三）（每小题 10 分，共 20 分）1.如图，RtA BC 中，A BC=90，以 AB 为直径的O 交 AC 于点 D，E 是 BC 的中点，连接 DE、OE.（1）求证：DE 与O 相切；（2）求证：BC2=2CDOE；（3）若 cosC=，DE=4，求 AD 的长.解：（1）如图，连接 BD，OD，AB 为O 的直径，A DB=90，BDC=90，在 RtBDC 中，E 是 BC 的中点，3=4，OD=OB，1=2，ODE=1+3=2+4=90，DE 与O 相切.（2）C+A=90，C+4=90，A=4，又 C=C，BCDACB，BC2=A CCD，O 是 AB
2、 的中点，E 是 BC 的中点，AC=2OE，BC2=2CDOE.（3）由（1）知，DE=BC，又 DE=4，BC=8，在直角三角形 BDC 中，在直角三角形 ABC 中，AC=12，2.如图，已知抛物线 y=ax2+bx+3 交 x 轴于 A、B 两点（A 在 B 左边），交 y 轴于 C 点，且 OC=3OA，对称轴 x=1 交抛物线于 D 点.（1）求抛物线解析式；（2）求证：BCD 为直角三角形；（3）在 x 轴上方的抛物线上，是否存在点 M，过 M 作 MNx 轴于 N 点，使BMN 与BCD 相似？若存在，请求出 M 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）将 x=0 代入 y=a
3、x2+bx+3，得 y=3，C（0，3）.OC=3OA，OA=1，A（-1，0）.点 B 与点 A 关于 x=1 对称，B（3，0）.将 A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3 得：抛物线解析式为 y=-x2+2x+3.（2）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，顶点 D 的坐标为（1，4）.A（-1，0），B（3，0），C（0，3），CD2=（1-0）2+（4-3）2=2，BC2=（3-0）2+（0-3）2=18，BD2=（1-3）2+（4-0）2=20，CD2+BC2=BD2，BCD 为直角三角形.（3）由（2）知，CD=，BC=.设在 x 轴上方的抛物线上存在点 M（x，-x2+2x+3），则-1x3，-x2+2x+30，MNx 轴于 N 点，N（x，0），MNB=90，BN=3-x，MN=-x2+2x+3.RtBCD 中，BCD=90，MNB=BCD=90，当BMN 与BCD 相似时，分两种情况：如果BMNBDC，那么又 -1x3，如果BMNDBC，那么又 -1x3，x=2，-x2+2x+3=3，M（2，3）.解得 x1=2，x2=3，综上所述，M 点坐标为 或（2，3）.
