1、类型一一线三等角模型例1 2019兰州通过对下面数学模型的研究学习,解决问题.模型呈现如图Z8-1,在RtABC中,ACB=90,将斜边AB绕点A顺时针旋转90得到AD,过点D作DEAC于点E,可以推理得到ABC DAE,进而得到AC=DE,BC=AE,我们把这个数学模型称为“K型”.推理过程如下:图Z8-1图Z8-2模型应用 如图Z8-3,RtABC内接于O,ACB=90,BC=2,将斜边AB绕点A顺时针旋转一定角度得到AD,过点D作DEAC于点E,DAE=ABC,DE=1,连接DO交O于点F.(1)求证:AD是O的切线;(2)连接FC交AB于点G,连接FB.求证:FG2=GOGB.图Z8-
2、3证明:(1)O为RtABC的外接圆,O为斜边AB的中点,AB为直径.ACB=90,ABC+BAC=90.DAE=ABC,DAE+BAC=90,BAD=180-(DAE+BAC)=90,ADAB,AD是O的切线.模型应用 如图Z8-3,RtABC内接于O,ACB=90,BC=2,将斜边AB绕点A顺时针旋转一定角度得到AD,过点D作DEAC于点E,DAE=ABC,DE=1,连接DO交O于点F.(2)连接FC交AB于点G,连接FB.求证:FG2=GOGB.图Z8-3解：(2)延长DO交BC于点H,连接OC,DEAC于点E,DEA=90,AB绕点A旋转得到AD,AB=AD,【方法点析】“一线三等角”
3、指的是一条直线上的三个顶点含有三个相等的角.如图,B=ACE=D.由B=ACE=D可得BAC=DCE,因此ABCCDE.若AC=CE,则ABC CDE.当三个等角为直角,且两旁的直角三角形斜边相等时,此时的“一线三等角”常说成“一线三直角”,图形可看作是“弦图”的一部分,常补全弦图,用弦图的常用结论解决问题,如四个直角三角形全等,大正方形的面积等于每个直角三角形两直角边的平方和,小正方形的面积等于直角三角形两直角边差的平方等.几何综合题往往把全等和相似的转化作为出题的一种形式,故若题目中有一线三等角,就可以直接证明三角形相似或全等,实现边与角的转化,若题目中没有给出一线三等角,也可以按需构造.
4、图Z8-4答案D1.如图Z8-5,AEAB且AE=AB,BCCD且BC=CD,请按图中所标注的数据,计算图中实线所围成的面积是()A.50B.62C.65D.68图Z8-5 题型精练答案A图Z8-6答案B3.如图Z8-7,点A的坐标为(6,0),点B为y轴负半轴上的一个动点,分别以OB,AB为直角边在第三、第四象限内作等腰直角三角形OBF,等腰直角三角形ABE,连接EF交y轴于点P,当点B在y轴上移动时,PB的长度为()A.1B.2C.3D.4答案 C解析过点E作ENy轴于点N,则ABO BEN,BPF NPE,所以BN=AO=6,BP=NP,故PB=3.图Z8-74.如图Z8-8,已知ABC
5、和ADE均为等边三角形,D在BC上,DE与AC相交于点F,AB=9,BD=3,则CF的长为()A.1B.2C.3D.4图Z8-8答案 B解析由B=ADE=C=60,易得ABDDCF,所以AB BD=CD CF,即9 3=(9-3)CF,所以CF=2,故选B.图Z8-9答案A6.2018合肥包河区一模如图Z8-10,在ABC中,已知AB=AC=6,BC=8,P是BC边上一点(P不与点B,C重合),DPE=B,且DP边始终经过点A,另一边PE交AC于点F,当APF为等腰三角形时,则PB的长为.图Z8-10答案 2或3.5图Z8-11图Z8-11图Z8-12解:(1)证明:AB=AC,P是边BC的中
6、点,BAP=CAP,APB=90,又APD=B,ADP=APB=90,PDAC.图Z8-12图Z8-12类型二手拉手模型图Z8-13图Z8-13图Z8-13【方法点析】图分别是等腰三角形、等腰直角三角形、等边三角形和正方形旋转模型图,结论:BAD EAC.图Z8-14解:(1)证明:点G,F,H分别是线段DE,BE,BC的中点,FGAB,FHAC,GFE=ABE,FHB=C,EFH=FBH+FHB,A+GFH=A+ABE+EBC+C=A+ABC+C=180.图Z8-14图Z8-14 题型精练1.如图Z8-15,将ABC绕点C顺时针旋转90得到EDC,若点A,D,E在同一条直线上,ACB=20,
7、则ADC的度数是()A.55B.60C.65D.70图Z8-15C2.2018凤阳一模如图Z8-16,正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a,b,正方形CEFG绕点C旋转,给出下列结论:BE=DG;BEDG;DE2+BG2=2a2+2b2.其中正确结论有()A.0个B.1个C.2个D.3个图Z8-16答案 D解析如图,连接BD,GE,由BCE DCG可得BE=DG,1=2.又3=4,所以BEDG.又DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2,EO2+OG2=EG2=CG2+CE2=2b2,则DE2+BG2=DO2+EO2+BO2+OG2=2a2+2b2.3.原创如图Z8-17,折叠平
8、行四边形ABCD,使得B,D分别落在BC,CD边上的点B,D处,AE,AF为折痕,以AE,AF为邻边作平行四边形AEGF,若AE=EC,则CGE的大小为.图Z8-17答案 45解析如图,延长AE到H,使得EH=EA,连接CH,HG,EF,AC.EA=EC,AEC=90,ACE=45,AEC+AFC=180,A,E,C,F四点共圆(利用取斜边AC的中点T,连接TE,TF,证明TE=TA=TC=TF),AFE=ACE=45.四边形AEGF是平行四边形,AFEG,AE=FG,AEFG,AFE=FEG=45,EH=AE=FG,又EHFG,四边形EHGF是平行四边形,EFHG,FEG=EGH=45.EC
9、=AE=EH,CEH=90,ECH=EHC=45,ECH=EGH,E,H,G,C四点共圆,EGC=EHC=45.4.如图Z8-18,ABCADE,BAC=DAE=90,AB=8,AC=6,F是DE的中点,若点E是直线BC上的动点,连接BF,则BF的最小值是.图Z8-18答案4图Z8-19答案10图Z8-20解:(1)证明:AE在线段AB上,ABC和ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,BAD=CAE=90,又AD=AE,AB=AC,BAD CAE,ABD=ACE.又BEF=CEA,BFECAE.图Z8-20图Z8-20图Z8-20类型三对角互补模型例3 在ABC中,ACB=90,AC=BC,AB
10、=2,现将一块三角板的直角顶点放在AB的中点D处,两直角边分别与直线AC,直线BC相交于点E,F,我们把DEAC时的位置定为起始位置(如图Z8-21),将三角板绕点D顺时针方向旋转一个角度(090).(1)如图Z8-21,在旋转过程中,当点E在线段AC上时,试判断DEF的形状,并说明理由.(2)设直线ED交直线BC于点G,在旋转过程中,是否存在点G,使得EFG为等腰三角形?若存在,求出CG的长;若不存在,请说明理由.图Z8-21(1)如图Z8-21,在旋转过程中,当点E在线段AC上时,试判断DEF的形状,并说明理由.图Z8-21(2)设直线ED交直线BC于点G,在旋转过程中,是否存在点G,使得
11、EFG为等腰三角形?若存在,求出CG的长;若不存在,请说明理由.图Z8-21【方法点析】在图-图中,条件:AOB+DCE=180,OC平分AOB,常用处理方法如下:方法一:过点C向AOB的两边作垂线段,得DCM ECN;方法二:过点C作FCO,使FCO=180-AOB,得ODCFEC.【配练】如图Z8-22,在ABC中,C=90,AC=BC=a,将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处,将三角板绕点P旋转,三角板与两直角边分别交于D,E两点.(1)线段PD与PE的数量关系是 .(2)在旋转过程中,判断PDE的形状,并给予证明.(3)在旋转过程中,四边形PDCE的面积是否发生变化?若不变,求
12、出面积的值(用含a的式子表示);若改变,请说明理由.图Z8-22PD=PE(2)在旋转过程中,判断PDE的形状,并给予证明.图Z8-22(3)在旋转过程中,四边形PDCE的面积是否发生变化?若不变,求出面积的值(用含a的式子表示);若改变,请说明理由.图Z8-221.如图Z8-23,四边形ABCD中,BAD=BCD=90,AB=AD,若四边形ABCD的面积是24,则AC的长为.图Z8-23 题型精练图Z8-24答案B3.如图Z8-25,在菱形ABCD中,EFP的顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上,且EP=FP.(1)求证:EPF+BAD=180;(2)如图,若BAD=120,求证:AE
13、+AF=AP.图Z8-25证明:(1)如图,作PMAD于M,PNAB于N.四边形ABCD是菱形,PAM=PAN,PM=PN,PE=PF,RtPMF RtPNE,MPF=NPE,EPF=MPN,BAD+MPN=360-AMP-ANP=180,EPF+BAD=180.3.如图Z8-25,在菱形ABCD中,EFP的顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上,且EP=FP.(2)如图,若BAD=120,求证:AE+AF=AP.图Z8-25证明(2)如图,作PMAD于M,PNAB于N.由(1)可知RtPMF RtPNE,FM=NE,PA=PA,PM=PN,RtPAM RtPAN,AM=AN,AF+AE=
14、(AM+FM)+(AN-EN)=2AM,BAD=120,PAM=60,易知PA=2AM,AE+AF=AP.图Z8-26图Z8-26图Z8-26图Z8-27解:(1)证明:BAD=BCD=90,A,B,C,D四点共圆.BAC=DAC,BC=CD.图Z8-27图Z8-276.如图Z8-28,AB是RtABC和RtABD的斜边,点O是AB的中点,且ODBC,连接CD交AB于点E,过点D作DFAB于点F,连接OC.(1)求证:AD=CD;(2)若点E是OB的中点,求证:四边形BCOD是菱形;(3)若SDOF=3,S四边形BCOD=10,求sinBAC的值.图Z8-28解:(1)证明:O点是RtABC和
15、RtABD的斜边中点,AO=BO=CO=DO.ODBC,BOD=OBC=BCO,COD=180-OCB,又AOD=180-BOD,COD=AOD,又OD=OD,AOD COD(SAS),AD=CD.6.如图Z8-28,AB是RtABC和RtABD的斜边,点O是AB的中点,且ODBC,连接CD交AB于点E,过点D作DFAB于点F,连接OC.(2)若点E是OB的中点,求证:四边形BCOD是菱形;图Z8-28解:(2)证明:E是OB的中点,OE=BE,由(1)知DOE=CBE,又DEO=CEB,DOE CBE,OD=BC,四边形BCOD是平行四边形,又OC=OD,四边形BCOD为菱形.6.如图Z8-
16、28,AB是RtABC和RtABD的斜边,点O是AB的中点,且ODBC,连接CD交AB于点E,过点D作DFAB于点F,连接OC.(3)若SDOF=3,S四边形BCOD=10,求sinBAC的值.图Z8-28类型四角含半角模型例4已知正方形ABCD中,MAN=45,MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N.(1)当MAN绕点A旋转到BM=DN时,如图Z8-29,则线段BM,DN和MN之间的数量关系是.(2)当MAN绕点A旋转到BMDN时,如图Z8-29,线段BM,DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想,并加以证明.(3)当MAN绕点A旋转到如图Z8-29的位
17、置时,线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.图Z8-29解:(1)BM+DN=MN解析如图,连接AC,交MN于点G.四边形ABCD为正方形,BC=CD,且CA平分BCD,又BM=DN,CM=CN,ACMN,且MG=GN,MAG=NAG.BAC=MAN=45,即BAM+GAM=GAM+GAN,BAM=GAN=GAM,ABM AGM(AAS),BM=MG,同理可得GN=DN,BM+DN=MG+GN=MN,故答案为:BM+DN=MN.(2)当MAN绕点A旋转到BMDN时,如图Z8-29,线段BM,DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想,并加以证明.图Z8-29例4已知正方
18、形ABCD中,MAN=45,MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N.(3)当MAN绕点A旋转到如图Z8-29的位置时,线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.图Z8-29解:(3)DN-BM=MN.【方法点析】角含半角模型条件:如图,AB=AD,B+D=180,2EAF=BAD.结论:EF=BE+DF.旋转是解决角含半角模型的基本方法,借助勾股定理,利用方程思想是求相应线段的关键.【配练】如图Z8-30,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是边BC,CD上的点,EAF=45,则ECF的周长为()A.2B.3C.4D.5图Z8-3
19、0C1.如图Z8-31,在正方形ABCD中,E,F分别是边BC,CD上的点,EAF=45,ECF的周长为4,则正方形ABCD的边长为()A.2B.3C.4D.5图Z8-31 题型精练答案A解析如图,将DAF绕点A顺时针旋转90得到BAG,易证G,B,C三点共线,由FAE GAE得EF=EG,ECF的周长=EF+CF+CE=BE+BG+CF+CE=2BC=4,故正方形的边长为2.2.如图Z8-32,正方形ABCD中,AB=6,G是BC的中点.将ABG沿AG对折至AFG,延长GF交DC于点E,则DE的长是()A.1B.1.5C.2D.2.5图Z8-32答案 C解析ABG沿AG对折至AFG,AB=A
20、F,GB=GF=3.连接AE.四边形ABCD是正方形,AB=AD=AF.RtAFE RtADE(HL).DE=EF.设DE=x,则EF=DE=x,GE=x+3,CE=6-x.在RtCGE中,由勾股定理得CG2+CE2=GE2,32+(6-x)2=(x+3)2,解得x=2.故选C.3.如图Z8-33,在正方形ABCD中,E是BC边上的一点,BE=4,EC=8,将ABE沿AE对折至AFE,延长EF交DC于G,连接AG,FC.现在有如下4个结论:EAG=45;FG=FC;FCAG;SGFC=14,其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4图Z8-33答案B4.如图Z8-34,等腰三角形ABC中
21、,BAC=120,AB=AC,点M,N在边BC上,M在N的左边,且MAN=60,若BM=2,NC=3,则MN的长为.图Z8-345.如图Z8-35,在正方形ABCD中,点M,N分别在边BC,CD上,AM,AN分别交BD于点P,Q,连接CQ,MQ,且CQ=MQ.(1)求AMQ的度数;(2)当BM=2,CN=3时,求AMN的面积.图Z8-35解:(1)由正方形的轴对称性可知CQ=AQ,BAQ=BCQ.CQ=MQ,AQ=MQ,BCQ=CMQ=BAQ.ABC+AQM+BAQ+BMQ=360,BAQ+BMQ=CMQ+BMQ=180,ABC=90,AQM=90,AMQ=MAQ=45.5.如图Z8-35,在
22、正方形ABCD中,点M,N分别在边BC,CD上,AM,AN分别交BD于点P,Q,连接CQ,MQ,且CQ=MQ.(2)当BM=2,CN=3时,求AMN的面积.图Z8-35解：(2)如图,延长CD至点E,使DE=BM,连接AE,则ABM ADE,AE=AM.MAN=45,NAE=90-45=45,EAN=NAM,AEN AMN,MN=EN=DN+DE=DN+BM.设正方形ABCD的边长为a,BM=2,CN=3,CM=a-2,DN=a-3.MN=DN+BM=a-3+2=a-1,MN2=CN2+CM2,(a-1)2=32+(a-2)2,解得a=6,即AD=6.6.如图Z8-36,在正方形ABCD中,E
23、是DC边上一点(与D,C不重合),连接AE,将ADE沿AE所在的直线折叠得到AFE,延长EF交BC于G,连接AG,作GHAG,与AE的延长线交于点H,连接CH.显然AE是DAF的平分线,EA是DEF的平分线,仔细观察,请逐一找出图中其他的角平分线(仅限于小于180的角的平分线),并说明理由.图Z8-36解:AG平分BAF,GA平分BGF,GH平分EGM,CH平分DCM.理由:由折叠可知,AF=AD,AFE=D=90,AF=AB,B=AFG=90,RtABG RtAFG,BAG=FAG,BGA=FGA,即AG平分BAF,GA平分BGF.如图,过点H作HNBM,垂足为点N,GAE=45,AGHG,
24、AGH为等腰直角三角形,AG=HG,BAG+AGB=90,AGB+HGN=90,BAG=HGN,ABG GNH,HN=BG,GN=AB,BG=CN,CN=HN,HCN为等腰直角三角形,即CH平分DCM.BGA+HGN=90,AGH=90,BGA=FGA,EGH=MGH,即GH平分EGM.7.方法引领如图Z8-37,点E,F分别是正方形ABCD的边BC,CD上的动点,连接AE,AF和EF,EAF=45.若BE=2,DF=3,求EF的长.聪聪同学的思路是:如图,将ABE绕点A逆时针旋转90,证明AEF AEF,从而得到EF=EF.请你帮助聪聪同学完成解题过程.灵活运用如图,RtABC中,ACB=9
25、0,AC=BC.点D,E在边AB上,且DCE=45.若AD=2,BE=3,求DE的长.拓展提升如图,ABC中,BAC=45,ADBC于点D.若CD=2,BD=3,请直接写出ABC的面积.图Z8-377.方法引领如图Z8-37,点E,F分别是正方形ABCD的边BC,CD上的动点,连接AE,AF和EF,EAF=45.若BE=2,DF=3,求EF的长.聪聪同学的思路是:如图,将ABE绕点A逆时针旋转90,证明AEF AEF,从而得到EF=EF.请你帮助聪聪同学完成解题过程.图Z8-37解:方法引领如图,将ABE绕点A逆时针旋转90,得ADE,则AE=AE,BAE=DAE,ADE=90=ADF,E,D
26、,F在同一直线上.正方形ABCD中,EAF=45,BAE+DAF=45=DAE+DAF=EAF,EAF=EAF.又AF=AF,AEF AEF(SAS),EF=EF.EF=ED+DF=BE+DF=5,EF=5.7.灵活运用如图,RtABC中,ACB=90,AC=BC.点D,E在边AB上,且DCE=45.若AD=2,BE=3,求DE的长.图Z8-377.拓展提升如图,ABC中,BAC=45,ADBC于点D.若CD=2,BD=3,请直接写出ABC的面积.图Z8-37类型五中点类模型例5 问题情境课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:如图Z8-38,在ABC中,若AB=12,AC=8,求BC边上的中
27、线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到E,使DE=AD,连接BE.请根据小明的方法思考:(1)由已知和作图能得到ADC EDB,依据是.A.SSSB.SASC.AASD.HL图Z8-38B(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 .解后反思:题目中出现“中点”“中线”等条件,可考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.初步运用如图,AD是ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.若EF=3,EC=2,求线段BF的长.图Z8-382AD10灵活运用如图,在ABC中,A=90,D为BC的中点,DEDF
28、,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,试猜想线段BE,CF,EF三者之间的等量关系,并证明你的结论.图Z8-38初步运用如图,AD是ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.若EF=3,EC=2,求线段BF的长.图Z8-38初步运用如图,延长AD到M,使DM=AD,连接BM,AE=EF,EF=3,EC=2,AC=5,AD是ABC的中线,CD=BD,ADC MDB,BM=AC,CAD=M,AE=EF,CAD=AFE,AFE=BFD,BFD=CAD=M,BF=BM=AC,即BF=5.灵活运用如图,在ABC中,A=90,D为BC的中点,DEDF,DE交AB于点E,DF交AC于
29、点F,连接EF,试猜想线段BE,CF,EF三者之间的等量关系,并证明你的结论.图Z8-38灵活运用线段BE,CF,EF之间的等量关系为:BE2+CF2=EF2.证明:如图,延长ED到点G,使DG=ED,连接GF,GC,EDDF,EF=GF,D是BC的中点,BD=CD,DBE DCG(SAS),BE=CG,B=GCD,A=90,B+ACB=90,GCD+ACB=90,即GCF=90,在RtCFG中,CF2+GC2=GF2,BE2+CF2=EF2.【方法点析】在题目中遇到中点问题常见的解题策略有:中点+直角三角形斜边上的中线性质;中点+等腰三角形“三线合一”定理;中点+中点中位线定理;倍长中线法.
30、倍长中线法:如图,已知M为BC的中点,延长AM至点D,使MD=AM,连接CD,则有ABM DCM,进而可证ABCD;反过来,若M为BC的中点,作CDAB交AM的延长线于点D,则有ABM DCM.【配练】如图Z8-39,在ABC中,AB=5,AC=13,边BC上的中线AD=6,则BC的长为.图Z8-391.如图Z8-40,M,P分别为ABC的边AB,AC上的点,且AM=BM,AP=2CP,BP与CM相交于点N,已知PN=1,则PB的长为()A.5B.4C.3D.2 题型精练图Z8-40答案B2.如图Z8-41,ABC中,M是BC的中点,AD平分BAC,BDAD于D,延长BD交AC于N.若AB=1
31、0,AC=16,则MD的长为()A.5B.4C.3D.2图Z8-41答案C3.如图Z8-42,ABC中,B=2C,ADBC 于D,M为BC的中点,若AB=10,则MD的长为.图Z8-42答案54.如图Z8-43,ABC中,AB=4,AC=7,M为BC的中点,AD平分BAC,过M作MFAD,交AC于F,则FC的长等于.图Z8-43答案 5.55.如图Z8-44,在正方形ABCD中,点E,F分别为边CD,AD的中点,连接AE,BF交于点O,连接OC,求证:OC=BC.图Z8-446.如图Z8-45,在ABC中,AD是BAC的平分线,M是BC的中点,过M作MEAD交BA的延长线于点E,交AC于点F.
32、求证:BE=CF.图Z8-45证明:方法一:如图,过点B作BNAC交EM的延长线于点N.BNAC,BM=CM,CF BN=CM BM=1 1,CFM=N,CF=BN.又ADME,AD平分BAC,CFM=DAC=BAD=E,E=N,BEN是等腰三角形,即BE=BN=CF.6.如图Z8-45,在ABC中,AD是BAC的平分线,M是BC的中点,过M作MEAD交BA的延长线于点E,交AC于点F.求证:BE=CF.图Z8-45证明:方法二:如图,过点C作CGEM,交BA的延长线于点G,AE EG=AF FC,而AD平分BAC,ADEM,BAD=CAD,BAD=AEF,EFA=CAD,AEF=AFE,AE
33、=AF,EG=CF,而EMCG,BM=CM,BE=EG,BE=CF.图Z8-46图Z8-46图Z8-46证明:由知DOF AOB,OA=OD,OB=OF,四边形ABDF为平行四边形.图Z8-46综合提升训练图Z8-47图Z8-47图Z8-47图Z8-472.已知两个共顶点的等腰直角三角形ABC和CEF,ABC=CEF=90,连接AF,M是AF的中点,连接MB,ME.(1)如图Z8-48,当CB与CE在同一直线上时,求证:MBCF;(2)如图,若CB=a,CE=2a,求BM,ME的长;(3)如图,当BCE=45时,求证:BM=ME.图Z8-48解:(1)证明:如图,延长AB交CF于点D,则易知A
34、BC与BCD均为等腰直角三角形,AB=BC=BD,点B为线段AD的中点,又点M为线段AF的中点,BM为ADF的中位线,MBCF.(2)如图,若CB=a,CE=2a,求BM,ME的长;(3)如图,当BCE=45时,求证:BM=ME.图Z8-49解:(1)证明:四边形ABCD是矩形,点E在BA的延长线上,EAF=DAB=90,又AE=AD,AF=AB,AEF ADB,AEF=ADB.GEB+GBE=ADB+ABD=90,BGE=90,故BDEC.图Z8-49图Z8-49图Z8-50证明:(1)在ABP中,APB=135,ABP+BAP=45,又ABC为等腰直角三角形,ABC=45,即ABP+CBP
35、=45,BAP=CBP,又APB=BPC=135,PABPBC.图Z8-50图Z8-505.2018安徽23题如图Z8-51,RtABC中,ACB=90,点D为边AC上一点,DEAB于点E,点M为BD的中点,CM的延长线交AB于点F.(1)求证:CM=EM;(2)若BAC=50,求EMF的大小;(3)如图,若DAE CEM,点N为CM的中点,求证:ANEM.图Z8-515.2018安徽23题如图Z8-51,RtABC中,ACB=90,点D为边AC上一点,DEAB于点E,点M为BD的中点,CM的延长线交AB于点F.(2)若BAC=50,求EMF的大小;图Z8-515.2018安徽23题如图Z8-
36、51,RtABC中,ACB=90,点D为边AC上一点,DEAB于点E,点M为BD的中点,CM的延长线交AB于点F.(3)如图,若DAE CEM,点N为CM的中点,求证:ANEM.图Z8-516.2017安徽23题已知正方形ABCD中,点M为边AB的中点,如图Z8-52.(1)如图,点G为线段CM上的一点,且AGB=90,延长AG,BG分别与边BC,CD交于点E,F.求证:BE=CF;BE2=BCCE.(2)如图,在边BC上取一点E,满足BE2=BCCE,连接AE交CM于点G,连接BG并延长交CD于点F,求tanCBF的值.图Z8-526.2017安徽23题已知正方形ABCD中,点M为边AB的中
37、点,如图Z8-52.(1)如图,点G为线段CM上的一点,且AGB=90,延长AG,BG分别与边BC,CD交于点E,F.求证:BE=CF;图Z8-52解:(1)证明:在ABG中,AGB=90,GAB+ABG=90.正方形ABCD,AB=BC,ABC=BCD=90,ABC=ABG+GBC=90,GAB=GBC,RtEAB RtFBC,BE=CF.(1)如图,点G为线段CM上的一点,且AGB=90,延长AG,BG分别与边BC,CD交于点E,F.求证:BE2=BCCE.图Z8-52(2)如图,在边BC上取一点E,满足BE2=BCCE,连接AE交CM于点G,连接BG并延长交CD于点F,求tanCBF的值.图Z8-52
