1、类型一整体思想常见整体思想的应用,主要有三类:(1)求代数式的值时,如果不需要求出每个字母的值,而是利用这些字母的积或和,表示该代数式,进行整体代入来计算;(2)因式分解时,对于括号内式子不方便拆解的,往往看成一个整体,再进行分解;(3)解方程或方程组时,将经常出现的式子看成一个整体,换元后使方程(组)的结构得以简化,再进行求解.1.已知一元二次方程3(x-1)=x(x-1),则方程的解为()A.x=1B.x=3C.x=1或x=3D.x=0或x=1答案 C解析 把x-1看成整体,移项提取公因式,得(x-1)(3-x)=0,解得x=1或x=3,故选C.2.分解因式(x-1)2+2(x-1)+1的
2、结果是()A.(x-1)(x-2)B.x2C.(x+1)2D.(x-2)2答案 B解析将x-1看作一个整体,原式刚好是一个完全平方式,即(x-1)2+2(x-1)+1=(x-1+1)2=x2.3.设x1,x2是一元二次方程x2-2x-5=0的两个根,则的值为()A.6B.8C.14D.16答案 C解析 由根与系数的关系得x1+x2=2,x1x2=-5,于是x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=22-2(-5)=14,故选C.4.已知m,n是一元二次方程x2+2x-1=0的两个实数根,则m2-2n+2015的值是()A.2021B.2020C.2019D.2018答案 B解析 将m代入原
3、方程得m2+2m-1=0,即m2=1-2m,所以m2-2n+2015=1-2m-2n+2015=2016-2(m+n),由根与系数的关系得m+n=-2,所以m2-2n+2015=2016-2(-2)=2020,故选B.5.2020岳阳已知一元二次方程x2+2x=-1,则代数式5+x(x+2)的值为.答案 4解析 5+x(x+2)=x2+2x+5=-1+5=4.6.2019湘潭若a+b=5,a-b=3,则a2-b2=.15答案 m-29.先化简,再求值:(2m+1)(2m-1)-(m-1)2+(2m)3(-8m),其中m是方程x2+x-2=0的根.解:原式=4m2-1-(m2-2m+1)+8m3
4、(-8m)=4m2-1-m2+2m-1-m2=2m2+2m-2=2(m2+m-1).m是方程x2+x-2=0的根,m2+m-2=0,m2+m=2,原式=2(2-1)=2.注:此题把“m2+m”当作整体.类型二分类讨论思想当题干所给的条件指代不明时,往往需要分类讨论,常见的情形如下:(1)一般三角形中,涉及高的条件,不能明确高在三角形内部或者外部;(2)等腰三角形中,所给边是腰还是底边,所给角是顶角还是底角;(3)直角三角形中,没有指明直角边或斜边;(4)相似三角形没有指明边或角的对应关系;(5)圆中所给弦所对的弧,未指明是优弧或者劣弧;(6)一次函数,二次函数,反比例函数系数的正负未指明等.答
5、案D2.2020张家界已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2-6x+8=0的两个根,则该等腰三角形的底边长为()A.2B.4C.8D.2或4答案 A解析 解方程x2-6x+8=0,得x1=2,x2=4,因此等腰三角形的三边长可能为2,2,4或2,4,4,而2,2,4构不成三角形,因此只有可能是2,4,4,所以底边长为2,故选A.3.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25,则这个等腰三角形的顶角是()A.25B.65C.115D.65或115答案 D解析 当高在三角形内部时(如图),顶角是65;当高在三角形外部时(如图),顶角是115.故选D.4.如图Z1-1,直线AB,CD相交于点O
6、,AOC=30,半径为2 cm的P的圆心在射线OA上,且与点O的距离为6 cm,如果P以1 cm/s的速度沿直线AB由A向B的方向移动,那么P与直线CD相切时P运动的时间是()图Z1-1A.3 s或10 sB.3 s或8 sC.2 s或8 sD.2 s或10 s答案D解析 作PHCD于H,在RtOPH中,AOC=30,OP=2PH,分两种情况:当点P在OA上,P与直线CD相切时,OP=2PH=4 cm,点P运动的距离为6-4=2(cm),P运动的时间是2 s;当点P在OB上,P与直线CD相切时,OP=2PH=4 cm,点P运动的距离为6+4=10(cm),P运动的时间是10 s.故选D.5.若
7、等腰三角形的一个外角的度数为100,则等腰三角形的顶角度数为.答案 80或20解析 若这个外角是顶角的外角,则顶角度数为80,若这个外角是底角的外角,则底角为80,顶角为20.6.在平面直角坐标系内,当m取不同的实数时,点P(m-1,3-m)不可能出现在第象限内.答案三解析 若点P在第一象限,则m-10,3-m0,解得1m3,故点P可能在第一象限;若点P在第二象限,则m-10,解得m1,故点P可能在第二象限;若点P在第三象限,则m-10,3-m0,3-m3,故点P可能在第四象限;综上,点P不可能在第三象限,故填:三.另解:令x=m-1,y=3-m,消m得y=-x+2,即点P在直线y=-x+2上
8、,而直线y=-x+2经过第一、二、四象限,故点P不可能在第三象限,故填:三.7.在半径为2的O中,圆心O到弦AB的距离为1,则弦AB所对的圆周角的度数为度.答案 60或120答案 9或19.已知二次函数y=ax2-2ax+1在-1x2上的最大值为4,求a的值.解:当a0时,二次函数y=ax2-2ax+1的图象开口向上,对称轴为直线x=1,x=-1比x=2离对称轴更远一些,当x=-1时,y有最大值a+2a+1=4,解得a=1.当a0时,二次函数y=ax2-2ax+1的图象开口向下,对称轴为直线x=1,当x=1时,y有最大值a-2a+1=4,解得a=-3,综上,a=1或a=-3.图Z1-2图Z1-
9、2类型三转化思想常见的转化思想的应用有以下几种情况:(1)将实际应用问题转化为方程(组)或者不等式(组);(2)将立体图形转化为平面图形;(3)将不规则图形面积转化为规则图形面积;(4)将四边形、圆内问题转化为特殊三角形的问题;(5)将几何求长问题、函数图象求交点问题都转化为解方程(组);(6)将一般情况转化为特殊情况等.答案C图Z1-3图Z1-4答案B图Z1-5答案B4.2019常德小明网购了一本好玩的数学,同学们想知道书的价格,小明让他们猜.甲说:“至少15元.”乙说:“至多12元.”丙说:“至多10元.”小明说:“你们三个人都说错了”.则这本书的价格x(元)所在的范围为()A.10 x1
10、2B.12x15C.10 x15D.11x1)的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分),并将剩余部分沿虚线剪开,得到两个长方形,再将这两个长方形拼成图所示的长方形.这两个图能解释下列哪个等式()A.x2-2x+1=(x-1)2B.x2-1=(x+1)(x-1)C.x2+2x+1=(x+1)2D.x2-x=x(x-1)图Z1-8答案 B解析 题图中去掉阴影部分后的面积为:x2-12,题图拼成的长方形的面积为:(x+1)(x-1),两部分面积相等,所以x2-1=(x+1)(x-1).故选B.答案 D图Z1-93.2020湘潭如图Z1-10,直线y=kx+b(k0)的图象经过点P(1,1),
11、当kx+bx时,x的取值范围为()A.x1B.x1C.x1答案 A解析 观察图象,点P(1,1)在直线y=x上,且直线y=kx+b与y=x交于点(1,1),因此kx+bx时,观察直线y=kx+b在直线y=x的上方部分,对应的x的取值,即x1,故选A.另解:将(1,1)代入y=kx+b得k+b=1,即b=1-k,且b0,故1-k0,而kx+bx,可化为kx+1-kx,所以(k-1)xk-1,又k-14或m=0解析 从图象可以看出当y=0时,y=|x2-2x-3|的x值对应两个不相等的实数根,即m=0时,方程|x2-2x-3|=m(m为实数)有2个不相等的实数根;从图象可以看出y的值取其抛物线翻折
12、上去部分的顶点处纵坐标值时,在整个函数图象上对应的x的值有三个;当y的值比抛物线顶点处纵坐标的值大时,对于整个函数图象上对应的x值有两个不相等的实数根.而|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|,其最大值为4,所以当m4时,方程|x2-2x-3|=m(m为实数)有2个不相等的实数根.综上所述,当m=0或m4时,方程|x2-2x-3|=m(m为实数)有2个不相等的实数根.故答案为m=0或m4.9.2020株洲二次函数y=ax2+bx+c,若ab0,点A(x1,y1),B(x2,y2)在该二次函数的图象上,其中x1y2解析 a-b20,b20,a0.又ab0,b0,x1x2,x1+x2=0,x2=-x1,x10.y1y2.10.已知关于x的一元二次方程x2+(m+2)x+3=0的两个实数根x1,x2满足x11x2,求实数m的取值范围.解:设函数y=x2+(m+2)x+3,关于x的方程x2+(m+2)x+3=0的两个实数根x1,x2满足x11x2,函数y的图象与x轴有两个交点,且在直线x=1的左右两侧,x=1时,y0,即6+m0,解得m-6.
